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1、代数发展史第1页，本讲稿共17页代数发展小史第一时期：9世纪16世纪 字母变换及代数方程式的学问第二时期：16世纪19世纪 代数方程式的理论、矩阵理论第三时期：19世纪至今 抽象代数、代数系统 第2页，本讲稿共17页代数发展小史 本节主要内容三次方程与四次方程高次方程可解性问题的解决古希腊三大难题的解决第3页，本讲稿共17页一.三次方程与四次方程1.二次方程求解 公元前1700年，发现最早二次方程的解法“已知两数的和与积求此两数”2.花拉子米（Al-Khowarizmi）(约780-850)首先给出了求根公式3.韦达公式第4页，本讲稿共17页一.三次方程与四次方程塔塔利亚塔塔利亚 Tartag
2、lia,1499-1557Niccolo Fontanax3+px2=q (p,q 0)x3+px=q (p,q 0)(1515,S.Ferro)15351。塔塔利亚。塔塔利亚第5页，本讲稿共17页一.三次方程与四次方程2。Ars Magna 大法大法1545年年包含三次方程和包含三次方程和四次方程的代数四次方程的代数解法解法根的个数根的个数卡尔达诺卡尔达诺 G.Cardano,1501-1576第6页，本讲稿共17页一.三次方程与四次方程3.卡尔达诺公式方程方程x3+px+q=0 今今D=q2/4+p3/27 则方程的解为则方程的解为 x=(-q/2+D)1/3+(-q/2-D)1/3 第7
3、页，本讲稿共17页二 高次方程可解性问题的解决基本问题：基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。五次或更高次的代数方程的根式解。即在即在n 5时，对于形如时，对于形如xn+a1xn1+a n1x+an=0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。得到。第8页，本讲稿共17页二 高次方程可解性问题的解决J.L.Lagrange1736-1813 1770年：年：关于代数方程解的思考关于代数方程解的思考不可能用根式解四不可能用根式解四次以上的方程次以上的方程第9页，
4、本讲稿共17页二 高次方程可解性问题的解决N.H.Abel,1802-1829 1824年年:论代数方程，论代数方程，证明一般五次方程的证明一般五次方程的 不可解性不可解性 方程次数大于等方程次数大于等于五时，任何以其系于五时，任何以其系数符号组成的根式都数符号组成的根式都不可能表示方程的一不可能表示方程的一般解。般解。阿贝尔方程阿贝尔方程第10页，本讲稿共17页二 高次方程可解性问题的解决E.Galois,1811-1832 伽罗瓦找到了方程根式可伽罗瓦找到了方程根式可解的充分必要条件。解的充分必要条件。基本问题：基本问题：什么样的特殊方什么样的特殊方程能够用根式来求解？程能够用根式来求解？
5、置换群置换群伽罗瓦群伽罗瓦群第11页，本讲稿共17页二 高次方程可解性问题的解决伽伽罗罗瓦瓦关关于于群群的的发发现现工工作作，可可以以看看成成是是近近世世代代数数的的发发端端。这这不不只只是是因因为为它它解解决决了了方方程程根根式式可可解解性性这这样样一一个个难难题题，更更重重要要的的是是群群的的概概念念的的引引进进导导致致了了代代数数学学在在对对象象、内内容容和方法上的深刻变革。和方法上的深刻变革。群群可可以以理理解解为为一一类类对对象象的的集集合合，这这些些对对象象之之间间存存在在着着类类似似于于加加法法或或乘乘法法那那样样的的二二元元运运算算关关系系，这这种种运运算算使使得得该该集集合合
6、满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。群群概概念念的的划划时时代代意意义义在在于于：代代数数学学由由于于群群的的概概念念的的引引进进和和发发展展而而获获得得了了新新生生，它它不不再再仅仅仅仅是是研研究究代代数数方方程程，而而更更多多地地是是研研究究各各种种抽抽象象“对对象象”的的运运算算关关系系，一一方方面面，数数的的概概念念有有了了极极大大推推广广，另另一一方方面面，许许多多抽抽象象的的对对象象，在在更更高高层层次次上上与与数数的的概概念获得了统一。念获得了统一。第12页，本讲稿共17页三 三大几何难题三等份任意角立方倍积问题求作
7、一立方体，使其体积等于已知立方体体积的二倍 化圆为方问题求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积 第13页，本讲稿共17页历史上的代数与当前中学代数原始代数从古巴伦人就开始了，最早的问题是解方程。称为还原与对消的科学，也称解方程的科学或方程学。在中国是1859年由李善兰和伟列亚力共同翻译以上书籍时，首次使用的。被称为代数学之父的共有四个人物，分别是：丢番图在250年左右引入字母代替数字，使表述有所简便；820年左右花拉子米对方程的分类及其解答，并给每一类方程命名；1592年左右韦达的符号体系引起了代数性质上的重大变革，系统的使用符号，使代数是对事物类的运算，从而使代数从算术中区分开来；1797
8、年左右高斯的代数基本定理，n次方程必有n个根。在开始阶段主要是研究一、二次的方程，代数学的突破是在15-16世纪，首先是得出三次方程的求根公式，给出了四次方程的解法，后来伽罗瓦证明了一般五次方程没有公式解，且创立了群论，促进了符号代数的发展。第14页，本讲稿共17页现代中学代数主要是研究集合与逻辑的初步知识、数与式的运算、方程与不等式及简单的初等函数，是符号型的代数。而其中的方程只研究一次方程（一次方程组）、一元二次方程和可化为一元二次方程的分式方程及无理方程，简单的二元二次方程组。既有历史上代数内容，又比历史上的代数内容有很大的扩充，充分体现时代的特性，是社会公民适应社会生产和生活所必需基础
9、知识。第15页，本讲稿共17页数学符号在中国殷商时代的甲骨文和古巴比仑的楔形文字中，有记数方法，这可以看作是数学符号的萌芽。在代数中有意识地使用符号是丢番图首开其端，韦达是符号代数学的奠基人，而欧拉则是数学符号大师（欧拉创立的f（x）、i、sin、cos、tg、等），莱布尼兹在此方面也重大贡献。代数上的进步是引用了较好的符号体系，有了这一步才使代数学成为一门科学。数学本质上是一种书写语言，符号是数学抽象物的表现形式，符号化也是一种数学思想。1,凭借数学符号语言的严密性和简捷性，数学家们就可以表达和研究数学思想，就可以提高思维的准确性、敏捷性和思维的效率，这是其它语言望尘莫及的；第16页，本讲稿共17页2,具有计算功能，有了数学符号，才使运算问题简捷，才使一些运算成为可能，如：零号“0”的引进，是进位制计数法的精髓，有了它，进位制才完备；3,具有模型功能，利用数学符号，可以表示事物或他们之间的相互关系，如数学公式、函数解析式等；能用最简捷的语言符号去表达最复杂的形式关系，林而更利于抽象，形成更高的概括；4,数学符号的准确性，能更好的体现事物关系及解决实际问题，如：、e、i等；数学符号语言是一种国际通用的语言，更利于互相学习和交流第17页，本讲稿共17页