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1、第八章多元函数的极限与连续偏导数第1页，共55页，编辑于2022年，星期三链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页，共55页，编辑于2022年，星期三参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版社高等教育出版社第3页，共55页，编辑于2022
2、年，星期三第八章第八章 多元函数多元函数空间解析几何简介空间解析几何简介多元函数的概念多元函数的概念二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续偏导数偏导数全微分全微分复合函数的微分法复合函数的微分法隐函数的微分法隐函数的微分法二元函数的极值二元函数的极值二重积分二重积分第4页，共55页，编辑于2022年，星期三8-3 8-3 二元函数的极限二元函数的极限与连续与连续8-4 8-4 偏导数偏导数第5页，共55页，编辑于2022年，星期三1 1、多元函数的极限、多元函数的极限用平面上用平面上(x x0 0,y,y0 0),(),(x,yx,y)的距离的距离第6页，共55页，编辑于2022年，星期三第
3、7页，共55页，编辑于2022年，星期三（1 1）定义中）定义中 的方式可能是多种多样的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的.（2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。等价无穷小代换等。说明：说明：第8页，共55页，编辑于2022年，星期三证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 第9页，共55页，编辑于2
4、022年，星期三例例3 3 求极限求极限 解解其中其中第10页，共55页，编辑于2022年，星期三例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第11页，共55页，编辑于2022年，星期三确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第12页，共55页，编辑于2022年，星期三2 2、二元函数的连续性、二元函数的连续性第13页，共55页，编辑于2022年，星期三例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取当当 时时故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.第14页，共55页，编辑于2022年，星期三例例6
5、 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)(0,0)处不连续处不连续第15页，共55页，编辑于2022年，星期三闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次第16页，共55页，编辑于2022年，星期三（2）介值定理）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如
6、果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得介于上取得介于这两值之间的任何值至少一次这两值之间的任何值至少一次多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第17页，共55页，编辑于2022年，星期三第18页
7、，共55页，编辑于2022年，星期三多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质3、小结、小结第19页，共55页，编辑于2022年，星期三思考题思考题第20页，共55页，编辑于2022年，星期三不能不能.例例取取原因为若取原因为若取思考题解答思考题解答第21页，共55页，编辑于2022年，星期三练练 习习 题题第22页，共55页，编辑于2022年，星期三二二.求下列各极限求下列各极限:第23页，共55页，编辑于2022年，星期三第24页，共55页，
8、编辑于2022年，星期三练习题答案练习题答案第25页，共55页，编辑于2022年，星期三偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一只考虑函数对其中一个自变量的
9、变化率，个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是函数的变化率问题，这就是偏导数概念偏导数概念，对此给，对此给出如下定义。出如下定义。第26页，共55页，编辑于2022年，星期三一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法第27页，共55页，编辑于2022年，星期三第28页，共55页，编辑于2022年，星期三 如果函数如果函数z=fz=f(x,yx,y)在区域在区域D D 内任一点内任一点(x,yx,y)处对的处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x x、y y 的函数，它的函数，它就称为函数就称为函数
10、对自变量的对自变量的偏导数。偏导数。记为：记为：第29页，共55页，编辑于2022年，星期三同理可以定义函数同理可以定义函数 z=fz=f(x,yx,y)对自变量对自变量y y的偏导数的偏导数记为：记为：第30页，共55页，编辑于2022年，星期三偏导数的求法偏导数的求法求求 时把时把 y y 视为常数而对视为常数而对 x x 求导求导求求 时把时把 x x 视为常数而对视为常数而对 y y 求导求导这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题第31页，共55页，编辑于2022年，星期三偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数第32页，共55页，编辑于2022年
11、，星期三一般地一般地 设设第33页，共55页，编辑于2022年，星期三解解证证第34页，共55页，编辑于2022年，星期三原结论成立原结论成立解解第35页，共55页，编辑于2022年，星期三不存在不存在第36页，共55页，编辑于2022年，星期三证证第37页，共55页，编辑于2022年，星期三有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求计算计算 f x (x0 ,y0)时可先将时可先将 y=y0 代入代入 f(x,y)再对再对 x x 求导求导,然后代入然后代入 x x=x x0 0 计算计算 f f y y (x
12、x0 0 ,y y0 0 )时同理时同理解解3 3、第38页，共55页，编辑于2022年，星期三4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。为常量。5 5、若若 f f(x x,y y)=)=f f(y y,x x)则称则称 f f(x x,y y)关于关于 x x,y y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时只需将所求的只需将所求的 中的中的 x x,y y 互换即可互换即可第39页，共55页，编辑于2022年，星期三6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系
13、一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.第40页，共55页，编辑于2022年，星期三7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义:第41页，共55页，编辑于2022年，星期三二、高阶偏导数二、高阶偏导数纯偏导纯偏导第42页，共55页，编辑于2022年，星期三混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.第43页，共55页，编辑于2022年，星期三观察上例中原函数
14、、偏导函数与二阶混合偏导函数观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：图象间的关系：原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形第44页，共55页，编辑于2022年，星期三解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？第45页，共55页，编辑于2022年，星期三解解第46页，共55页，编辑于2022年，星期三第47页，共55页，编辑于2022年，星期三三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题第48页，共55页，编辑于2022年，星期三思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,第49页，共55页，编辑于2022年，星期三练练 习习 题题第50页，共55页，编辑于2022年，星期三第51页，共55页，编辑于2022年，星期三第52页，共55页，编辑于2022年，星期三练习题答案练习题答案第53页，共55页，编辑于2022年，星期三第54页，共55页，编辑于2022年，星期三第55页，共55页，编辑于2022年，星期三