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1、异方差性异方差性HeteroscedasticityHeteroscedasticity一、异方差性的概念及类型一、异方差性的概念及类型二、异方差性的后果二、异方差性的后果三、异方差性的检验三、异方差性的检验四、异方差的修正四、异方差的修正五、案例五、案例第1页/共72页1.1.什么是异方差？什么是异方差？对于模型（i=1,2,n）同方差性假设为（i=1,2,n）如果出现（i=1,2,n）即对于不同的样本点i，随机误差项的方差不再是常数，则认为出现了异方差性。注意：对于每一个样本点i，随机误差项 i都是随机变量，服从均值为0的正态分布；而方差 i2衡量的是随机误差项围绕其均值0的分散程度。所以
2、，所谓异方差性，是指这些服从正态分布的随机变量围绕其均值0的分散程度不同。一、异方差性的概念及类型一、异方差性的概念及类型第2页/共72页异方差性示意图异方差性示意图概率密度或者，也可以说，对于每一个样本点i，随机误差项的方差 i2衡量的是被解释变量的观测值Yi围绕回归线E(Yi)=0+1Xi1+kXik的分散程度。而所谓异方差性，是指被解释变量观测值的分散程度随样本点的不同而不同。【庞皓P130】第3页/共72页2.2.异方差的类型异方差的类型 同方差性假定是指，每个i围绕其0均值的方差并不随解释变量Xi的变化而变化，不论解释变量的观测值是大还是小，每个i的方差保持相同，即 i2=常数（i=
3、1,2,n）在异方差的情况下，i2已不是常数，它随Xi的变化而变化，即 i2=f(Xi)（i=1,2,n）第4页/共72页 异方差一般可以归结为三种类型：（1）单调递增型：i2=f(Xi)随Xi的增大而增大；（2）单调递减型：i2=f(Xi)随Xi的增大而减小；（3）复杂型：i2=f(Xi)随Xi的变化呈复杂形式。第5页/共72页3.3.实际经济问题中的异方差性实际经济问题中的异方差性 在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化。例4.1
4、.1：在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。第6页/共72页 一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先先减后增减后增。例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设、以分组数据（将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值）作样本建立居民消费函数：Ci=0+1Yi+i 如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值
5、的增大而先减后增（先减后增（U形）形），出现了异方差性。第7页/共72页例4.1.3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。第8页/共72页规规 律律一般经验告诉人们：对于采用截面数据作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点（即不同空间）上解释变量以外的其他因素的差异较大，
6、所以往往存在异方差性。第9页/共72页1.1.参数估计量非有效参数估计量非有效 当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。而且，在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。即同方差和无序列相关条件。因为在有效性证明（见教材P70-71）中利用了 二、异方差性的后果二、异方差性的后果第10页/共72页2.2.变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验失去意义在变量的显著性检验中，t统计量（j=0,1,2,k）如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算t t统计量，将使统计量，将使t t统计量失真统计量
7、失真【偏大或偏小，见第三版P110补充说明】，从而使从而使t t检验失效检验失效【使某些原本显著的解释变量可能无法通过显著性检验，或者使某些原本不显著的解释变量可能通过显著性检验】。第11页/共72页3.3.模型的预测失效模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困难，它的预测功能失效。其中【书上这句话有点问题】第12页/共72页1.1.检验方法的共同思路检验方法的共同思路 既然异方差性异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与检验异方差性，也就是
8、检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式形式”。各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。三、异方差性的检验三、异方差性的检验（教材（教材P111）第13页/共72页问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？一般的处理方法：一般的处理方法：第14页/共72页2.2.图示检验法图示检验法（1）用X-Y的散点图进行判断（李子奈P108）看是否存在明显的散点扩大散点扩大、缩小缩小或复杂型复杂型趋势趋势（即不在一个固定的带型域中）。随机误差项随机误差项 的的方差描述的是方差描述的是 取值的离散程取值的离散程度。而由于被度。而由于被解释变量解释
9、变量Y Y与随与随机误差项机误差项 有相有相同的方差，所同的方差，所以利用以利用Y Y与与X X之之间的相关图形间的相关图形也可以粗略地也可以粗略地看出看出 的离散程的离散程度与度与X X之间是否之间是否有相关关系。有相关关系。第15页/共72页看是否形成一条斜率为零的直线。（教材P111）第16页/共72页3.3.戈里瑟戈里瑟（Gleiser）检验与帕克检验与帕克（Park）检验检验戈里瑟检验与帕克检验的思想：戈里瑟检验与帕克检验的思想：如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。由于f(Xj)的具体形式未知，因此需要选择各种形式进行试验。第17页/共72页4.4.戈
10、德菲尔德戈德菲尔德-匡特匡特（Goldfeld-Quandt）检验检验 G-Q检验以F检验为基础，仅适用于样本容量较大、异方差为单调递增或单调递减的情况。G-Q检验的思想检验的思想：先按某一被认为有可能引起异方差的解释变量对样本排序，再将排序后的样本一分为二，对子样本和子样本分别进行OLS回归，然后利用两个子样本的残差平方和之比构造F统计量进行异方差检验。第18页/共72页G-Q检验的步骤：检验的步骤：将n对样本观察值(Xi1,Xi2,Xik,Yi)按某一被认为有可能引起异方差的解释变量观察值Xij的大小排队。将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的容量相同的两个
11、子样本，每个子样本的样本容量均为(n-c)/2。第19页/共72页检验。给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值F（1，2）。若FF（1，2），则拒绝H0，认为存在异方差；反之，则不存在异方差。H0成立，意味着同方差；H1成立，意味着异方差。第20页/共72页5.5.怀特怀特(White)(White)检验检验G-Q检验需按某一被认为有可能引起异方差的解释变量对样本排序，而且只能检验单调递增或单调递减型异方差；怀特(White)检验则不需要排序，且对任何形式的异方差都适用。第21页/共72页怀特怀特(White)(White)检验的基本思想与步骤检验的基本思想与步骤下面，以二元回归为例，说明
12、怀特检验的基本思想与步骤：设回归模型为：首先，对该模型做普通最小二乘回归，记残差为：然后，以上述残差的平方为被解释变量，以原模型中各解释变量的水平项、平方项（还可以有更高次项）、交叉项等各种组合为解释变量，做如下的辅助回归：第22页/共72页则在同方差性假设下【也即H0：1=5=0】，该辅助回归方程的可决系数R2与样本容量n的乘积渐近地服从自由度=辅助回归方程中解释变量个数【该例=5】的 2分布：第23页/共72页怀特怀特(White)(White)检验的检验的EViewsEViews软件操作要点软件操作要点在OLS的方程对象Equation中，选择View/Residual tests/Wh
13、ite Heteroskedasticity。在选项中，EViews提供了包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（no cross terms）”这样两个选择。软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平方为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。以教材P118的例子为例，包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”的输出结果为：第24页/共72页怀特检验的软
14、件输出界面：可见，怀特统计量nR2=20.55085【=31 0.662931】，大于自由度【也即辅助回归方程中解释变量的个数】为5的2分布临界值11.07，因此，在5%的显著性水平下拒绝同方差的原假设。第25页/共72页四、异方差的修正四、异方差的修正1.加权最小二乘法（weighted least squares）2.异方差稳健标准误法（heteroscedasticity robust standard error）第26页/共72页1.1.加权最小二乘法的基本思想加权最小二乘法的基本思想加权最小二乘法（加权最小二乘法（Weighted Least SquaresWeighted Lea
15、st Squares）：）：是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。例如：在递增的异方差下，与较小的Xi对应的Yi离回归线较近，残差ei较小；而与较大的Xi对应的Yi离回归线较远，残差ei较大。为了更可靠地估计总体回归函数，我们应该给那些紧密围绕其（总体）均值的观测值较大的权数，而给那些远离其均值的观测值较小的权数。古扎拉蒂P355（一）（一）加权最小二乘法加权最小二乘法第27页/共72页 于是，我们可以 对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和实施OLS法：最小最小第2
16、8页/共72页例如：如果在检验过程中已经知道：2.2.一个例子一个例子（重要！）（重要！）第29页/共72页 i=1,2,n 在该模型中，存在 即满足同方差性。这就是加权最小二乘法。在这里，权数为 。注意：注意：将这里的权数平方之后，才是对残差平方加权的权数。第30页/共72页【第三版P114补充】可见，实施加权最小二乘法的关键是寻找适当的“权”，或者说寻找模型中随机干扰项的方差与解释变量间的适当的函数形式。如果发现那么，加权最小二乘法的“权”即为（注意：其中的 2完全可以是1）注意：注意：这里的“权”仍然是指用来乘原模型两边的“权”，相当于对原模型的残差ei加权。将这里的权数平方之后，才是对
17、原模型的残差平方ei2加权的权数。第31页/共72页那么，可以用 作为权数，去乘原模型的两边，得到下面的模型：补充补充特别地，如果像教材P111(4.1.4)式那样，近似地有该模型满足同方差性，可以用普通最小二乘法估计：i=1,2,n 第32页/共72页EviewsEviews软件中的加权最小二乘法（软件中的加权最小二乘法（WLSWLS）正是这样）正是这样设计的：设计的：（）所以，Eviews软件中WLS法的“权”，是指对原模型两边加权的“权”，而不是对原模型的残差平方ei2加权的权数。第33页/共72页3.3.一般情况一般情况（只需了解其思想。第三版已删掉，（只需了解其思想。第三版已删掉，跳
18、跳过过）对于模型Y=XB+N如果存在 其中 即存在异方差性：Var(i)=2wi（i=1,2,n）补充：设A为一个实系数对称矩阵，如果对任何一个非零实向量X，都使二次型XAX正定（也即大于0），那么A称为正定矩阵。第34页/共72页那么，由于W是一正定矩阵，存在一个可逆矩阵D，使得 显然记作该模型具有同方差性：因为用D-1左乘原模型Y=XB+N两边，可以得到一个新的模型：第35页/共72页 这就是原模型的加权最小二乘估计量，它是无偏、有效的。于是，可以用普通最小二乘法估计新模型，得到参数估计量，为：这里权矩阵为D-1-1，它来自于矩阵W。第36页/共72页4.4.如何得到权矩阵D-1-1？从上
19、述推导过程可以看出，D-1-1来自于原模型的随 机 误 差 项 N的 方 差-协 方 差 矩 阵Var-Cov(N)=2W，因此仍然可以对原模型首先采用OLS法，得到随机误差项的近似估计量，以此构造W的估计量，进而得到权矩阵D-1-1。即（假定 2=1，这是完全可以的）第37页/共72页总结：总结：加权最小二乘法的具体步骤加权最小二乘法的具体步骤（）注意：用手工加权得到WLS法的结果，即先用GENR命令生成新序列E（残差的绝对值）及YE（即Y/E）、CE（即1/E）、XE（即X/E），然后用OLS法估计，得到WLS法的结果。要求能写出有关的命令格式。第38页/共72页注 意 在实际建模过程中，
20、人们通常并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。第39页/共72页1.1.异方差稳健标准误法的基本思想异方差稳健标准误法的基本思想异方差稳健标准误法（heteroscedasticity robust standard error）：）：该方法由怀特（White）于1980年提出，是指先采用普通最小二乘法估计原模型，然后用残差的平方作为相应的随机误差项方差的代表，对参数估计量的方差或标准误差进行修正。见教材P115-116。不要求，从略。（二）异方差稳健标
21、准误法（二）异方差稳健标准误法第40页/共72页五、案例五、案例1（补充）（补充）某地区居民储蓄模型某地区居民储蓄模型第41页/共72页某地区31年来居民收入与储蓄额数据表第42页/共72页1.1.普通最小二乘估计普通最小二乘估计直接使用OLS法，得到：（-5.87）（18.04）R2=0.9182 第43页/共72页2.2.异方差检验异方差检验（1 1）图示检验）图示检验第44页/共72页 G-Q检验检验【这里没有按这里没有按X X排序，是因为排序，是因为X X是逐年增大的是逐年增大的】求两个子样本（n1=n2=12）回归方程的残差平方和RSS1与RSS2；第45页/共72页计算F统计量 F
22、=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726查表 在5%的显著性水平下，第1和第2自由度均为（31-7）/2-2=10的F分布临界值为 F0.05(10,10)=2.97 由于 F=4.726 F0.05(10,10)=2.97因此，否定两组子样本的方差相同的假设，从而该总体随机误差项存在递增型异方差。第46页/共72页 Park Park检验检验 显然，lnXi前的参数在统计上是显著的，表明原模型存在异方差。第47页/共72页3.3.异方差模型的估计异方差模型的估计第48页/共72页 与OLS估计结果相比较，拟合效果更差。为什么？关于异方差形式的假定可能存在问题。第4
23、9页/共72页与OLS估计结果相比较，拟合效果更好。第50页/共72页五、案例五、案例2 2（补充）（补充）中国消费函数模型中国消费函数模型第51页/共72页中国消费函数模型（中国消费函数模型（二元回归）二元回归）根据消费模型的一般形式，选择消费总额为被解释变量被解释变量，国内生产总值和前一年的消费总额为解释变量解释变量，变量之间关系为简单线性关系，选取1981年至1996年统计数据为样本观测值。第52页/共72页中国消费数据表 单位：亿元 第53页/共72页1.OLS估计结果第54页/共72页2.WLS2.WLS估计结果估计结果注：这里的权数E（也可以用别的符号）为OLS估计的残差项的绝对值
24、的倒数。第55页/共72页3.3.比较比较R2:0.999739 0.999999F:28682 980736e2:438613 29437 t:6.4 22.0 4.2 25.2 134.1 22.9D.W.:1.45 1.81各项统计检验指标全面改善!第56页/共72页五、案例五、案例3中国农村居民人均消费函数模中国农村居民人均消费函数模型型见第三版教材P116-120例4.1.4，也是一个非常好的案例（仅仅是把第二版的2001年数据替换成了2006年的数据）。主要的EViews软件输出结果如下：第57页/共72页全样本的全样本的OLSOLS回归回归Dependent Variable:L
25、NYMethod:Least SquaresDate:05/02/11 Time:18:07Sample:1 31Included observations:31VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C3.2660681.0415913.1356530.0040LNX10.1502140.1085381.3839750.1773LNX20.4774530.0515959.2538530.0000R-squared0.779878 Mean dependent var7.928613Adjusted R-squared0.764155 S.D.d
26、ependent var0.355750S.E.of regression0.172766 Akaike info criterion-0.581995Sum squared resid0.835744 Schwarz criterion-0.443222Log likelihood12.02092 F-statistic49.60117Durbin-Watson stat1.699959 Prob(F-statistic)0.000000软件操作：create u 1 31data y x1 x2genr lny=log(y)genr lnx1=log(x1)genr lnx2=log(x2
27、)ls lny c lnx1 lnx2第58页/共72页怀特检验的软件输出界面：可见，怀特统计量nR2=20.55085【=31 0.662931】，大于自由度【也即辅助回归方程中解释变量的个数】为5的2分布临界值11.07，因此，在5%的显著性水平下拒绝同方差的原假设。在OLS方程对象窗口中，选择view/Residual test/White Heteroskedasticity。Eviews提供了包含交叉项的怀特异方差检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀特异方差检验“White Heteroskedasticity（no cr
28、oss terms）”这样两个选项。第59页/共72页按lnx2排序后，子样本1的OLS回归Dependent Variable:LNYMethod:Least SquaresDate:05/02/11 Time:18:08Sample:1 12Included observations:12VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C3.1412081.1223582.7987570.0208LNX10.3983850.0787915.0562340.0007LNX20.2347510.1097472.1390090.0611R-squared0
29、.739693 Mean dependent var7.700532Adjusted R-squared0.681847 S.D.dependent var0.156574S.E.of regression0.088316 Akaike info criterion-1.803481Sum squared resid0.070197 Schwarz criterion-1.682255Log likelihood13.82089 F-statistic12.78726Durbin-Watson stat1.298449 Prob(F-statistic)0.002343按lnx2排序的操作：d
30、ata T （用于还原）sort lnx2子样本1的操作：smpl 1 12ls lny c lnx1 lnx2第60页/共72页按lnx2排序后，子样本2的OLS回归Dependent Variable:LNYMethod:Least SquaresDate:05/02/11 Time:18:10Sample:20 31Included observations:12VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C3.9936441.8840542.1197080.0631LNX1-0.1137660.159962-0.7112050.4950LNX
31、20.6201680.1116545.5543800.0004R-squared0.876931 Mean dependent var8.239746Adjusted R-squared0.849582 S.D.dependent var0.375812S.E.of regression0.145754 Akaike info criterion-0.801478Sum squared resid0.191197 Schwarz criterion-0.680251Log likelihood7.808868 F-statistic32.06485Durbin-Watson stat2.565
32、362 Prob(F-statistic)0.000080子样本2的操作：smpl 20 31ls lny c lnx1 lnx2第61页/共72页将数据还原（包括样本区间还原、数据顺序还原），再采用WLS法回归Dependent Variable:LNYMethod:Least SquaresDate:05/02/11 Time:18:14Sample:1 31Included observations:31Weighting series:WVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C3.3265760.17357219.165430.0000
33、LNX10.1509450.0248196.0818320.0000LNX20.4678640.00978247.830950.0000Weighted StatisticsR-squared0.999984 Mean dependent var7.895881Adjusted R-squared0.999983 S.D.dependent var10.29463S.E.of regression0.042488 Akaike info criterion-3.387401Sum squared resid0.050548 Schwarz criterion-3.248628Log likel
34、ihood55.50472 F-statistic1325.761Durbin-Watson stat1.780377 Prob(F-statistic)0.000000其中，w=1/abs(resid)数据还原的操作：smpl 1 31sort TWLS的软件操作：ls lny c lnx1 lnx2genr w=1/abs(resid)然后，用菜单实现WLS第62页/共72页手工加权的回归结果其中，E=abs(resid)，LNYE=LNY/E，CE=1/E，LNX1E=LNX1/E，LNX2E=LNX2/EDependent Variable:LNYEMethod:Least Squar
35、esDate:05/02/11 Time:19:18Sample:1 31Included observations:31VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.CE3.3265760.17357219.165430.0000LNX1E0.1509450.0248196.0818320.0000LNX2E0.4678640.00978247.830950.0000R-squared0.999984 Mean dependent var188.5956Adjusted R-squared0.999983 S.D.dependent var245.8
36、904S.E.of regression1.014851 Akaike info criterion2.959126Sum squared resid28.83782 Schwarz criterion3.097899Log likelihood-42.86646 Durbin-Watson stat1.780377软件操作：smpl 1 31sort Tls lny c lnx1 lnx2genr e=abs(resid)genr lnye=lny/egenr ce=1/egenr lnx1e=lnx1/egenr lnx2e=lnx2/els lnye ce lnx1e lnx2e第63页
37、/共72页线性回归模型的基本假定线性回归模型的基本假定(见教材见教材P64-65)P64-65)（2）解释变量Xj是确定性变量，不是随机变量，在重复抽样中取固定值；解释变量之间不存在严格的线性相关性（无完全多重共线性）。（3）各个解释变量Xj在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，各个解释变量Xj的样本方差趋于一个非零的有界常数Qj。即当n时，（1）回归模型是正确设定的。为使参数的普通最小二乘估计量具有良好的统计性质，对多元线性回归模型提出下列基本假定：第64页/共72页（4）随机误差项具有零均值和同方差；随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序列相关：E(i)=0 i=1
38、,2,n Var(i)=2 i=1,2,n Cov(i,j)=0 ij i,j=1,2,n注意：严格讲，这里应该是条件期望、条件方差和条件协方差的形式。教材P65指出：这里的条件期望、条件方差和条件协方差均可以简写为非条件的形式。第65页/共72页（5）随机误差项与解释变量之间不相关：Cov(Xij,i)=0 i=1,2,n；j=1,2,k（6）随机误差项服从零均值、同方差、零协方差的正态分布：iN(0,2)i=1,2,n注意：注意：以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设。满足这些假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regress
39、ion Model,CLRM）。在经典假设下，严格讲，这里也应该是条件协方差形式。严格讲，这里也应该是条件分布形式。第66页/共72页线性回归模型的基本假定线性回归模型的基本假定（矩阵形式）（矩阵形式）关于多元线性回归模型的基本假定26，也可以写成矩阵形式。见教材P64-65，一定要熟记。如：秩(X)=k+1，即Xn(k+1)为列满秩矩阵。第67页/共72页线性回归模型的基本假定线性回归模型的基本假定（矩阵形式）（矩阵形式）第68页/共72页线性回归模型的基本假定线性回归模型的基本假定（矩阵形式）（矩阵形式）返回第69页/共72页举例：变量显著性检验失去意义对于一元线性回归模型其普通最小二乘估计为于是，在异方差的情况下有下式成立：参见古扎拉蒂计量经济学上册P352第70页/共72页举例：变量显著性检验失去意义所以，如果仍按同方差下的如下公式计算：则必然存在偏误，导致t统计量失真（偏大或偏小）。返回第71页/共72页谢谢您的观看！第72页/共72页