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1、销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？这是为什么呢？第1页/共13页问题：问题：1.1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设计？设计？2.2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧面厚度的侧面厚度的3 3倍），如何设计最优？倍），如何设计最优？第2页/共13页一、摘要一、摘要 对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。对问题二，在假设
2、易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型 由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省；在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：第3页/共13页二、模型建立二、模型建立 问题二：问题二：正圆柱形正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型易拉罐尺寸的最优设计模型（1 1）易拉罐）易拉罐各点罐壁厚度相同各点罐壁厚度相同的情形由图的情形由图1 1可知：可知：容积容积为为 ：表面积表面积为为 ：模型一：模型一：图1 各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐模型一：第4页/共13页（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情
3、形的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根据同，根据材料的用量与其体积成正比。材料的用量与其体积成正比。容积一定时，所用容积一定时，所用材料的体积最小时的材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸尺寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料，所需要的材料为：为：图2 有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐模型二：模型二：应使应使Y Y取最小值，取最小值，模型二：模型二：第5页/共13页（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度4的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝长度也尽量取到最小。根据模型分析，可得焊缝长度：
4、将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以将二者直接相加。模型三：（此模型即为求解问题二的完善模型）第6页/共13页1.问题一的求解 表1 101 10种355ml355ml易拉罐饮料的相关测量数据罐体罐体直径直径(cm)(cm)圆圆台口台口直径直径(cm)(cm)罐体罐体高度高度(cm)(cm)整罐整罐高度高度(cm)(cm)顶顶盖盖厚度厚度(cm)(cm)侧侧面面厚度厚度(cm)(cm)圆圆台台厚度厚度(cm)(cm)罐底罐底厚度厚度(cm)(cm)可口可可口可乐乐6.6164.55210.11612.1640.04710.01090.03186.616雪碧雪碧6.624.5
5、6210.08812.1920.04480.0110.03326.62天府百天府百柠柠6.664.57410.10212.1820.04620.01130.03226.66百事可百事可乐乐6.6184.55410.11412.1740.04660.01080.03266.618七喜七喜劲柠劲柠6.6144.54810.11212.1720.04620.01020.03166.614美年达美年达6.6164.53610.11612.1620.0470.01080.0326.616醒目醒目6.6464.5510.11412.1660.04730.01070.03186.646轻轻怡怡6.6284.
6、55210.11812.1660.04680.01040.0326.628菠菠萝萝啤酒啤酒6.624.54810.10812.1580.04820.01130.03226.62雪花啤酒雪花啤酒6.6144.5510.1112.1660.04750.01070.03246.614项项目目数数值值种种类类三、模型求解三、模型求解第7页/共13页表2 GB2 GBT 9106T 910620012001中中规定的罐体主要尺寸定的罐体主要尺寸(单位：毫米位：毫米)5名称名称符号符号公称尺寸极限极限偏差偏差250mL250mL275mL275mL300mL300mL335mL335mL500mL500m
7、L罐体高度罐体高度H H90.9390.9398.9598.95115.2115.2122.22122.22167.84167.840.380.38罐体外径罐体外径D D1 166.0466.04缩颈内径缩颈内径D D2 257.4057.400.250.25翻边宽度翻边宽度B B2.222.220.250.25第8页/共13页（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形，根据模型二，用拉格朗日乘数法求解新的函数：然后分别对，解得：即 圆柱体的高与半径 之比为6时为最优尺寸第9页/共13页（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模型一知：取最小值时，必定有，图7 体积一定时随变化的曲线即易拉罐的高度为半径
8、的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。第10页/共13页根据问题一中测得的实际数据可以得到 表3 检验数据表罐体高度罐体高度（cmcm）罐体直径罐体直径(cm)(cm)雪碧雪碧10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 可口可乐可口可乐10.08810.0886.626.621.524 1.524 天府百柠天府百柠10.10210.1026.666.661.517 1.517 百事可乐百事可乐10.11410.1146.6186.6181.528 1.528 七喜劲柠七喜劲柠10.11210.1126.6146.6141.529 1.529 美年达美年达10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 醒目醒目10.11410.1146.6466.6461.522 1.522 轻怡轻怡10.11810.1186.6286.6281.527 1.527 菠萝啤酒菠萝啤酒10.10810.1086.626.621.527 1.527 雪花啤酒雪花啤酒10.1110.116.6146.6141.529 1.529 由表3可知：所有均在此范围内，在1与3之间必有一个最优值符合实际条件，从结果可大致得出此最优值应该在1.5附近。因此，实际值是合理的，而的比例关系式也符合实际情况。第11页/共13页第12页/共13页感谢您的观看。第13页/共13页