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1、1 1.1 1.1 排队系统的组成与特征 排队系统一般有三个基本组成部分：1.1.输入过程；2.2.排队规则；3.3.服务机构。现分别说明：1 1 1 1 排队论的基本概念排队论的基本概念排队论的基本概念排队论的基本概念第1页/共46页2输入即为顾客的到达，可有下列3 3种情况：1）顾客来源。顾客总体(称为顾客源)的组成可能是有限的，也可能是无限的。如，上游河水流入水库可以认为总体是无限的，工厂内停机待修的机器显然是有限的总体。2）顾客到达方式。顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是成批的。如，到餐厅就餐就有单个到来的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客。1.1.输入过程输入过程第2页/共46页
2、33）顾客流的概率分布。顾客随机一个(批)个(批)来到排队系统，顾客流的概率分布用来描述相继到达的顾客之间的间隔时间分布是确定的还是随机的，分布参数是什么，到达的间隔时间是否独立，分布是随时间变化的还是平稳的。第3页/共46页4 2.排队规则 1）损失制。顾客到达时，如果所有的服务台都被占用，且服务机构又不允许顾客等待，顾客只能离去，这种服务规则就是损失制。2）等待制。当顾客到达时，如果所有服务台都被顾客占用而无空闲，这时该顾客自动加入队列排队等待服务，服务完才离开。（1）先到先服务 FCFS（2）后到先服务 LCFS（3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。第4页/共46页53.3.
3、服务机构 1 1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不同形式的排队服务机构，如：第5页/共46页6 上述特征中最主要的、影响最大的是：顾客相继到达的间隔时间分布服务时间的分布服务台数 D.G.KendallD.G.Kendall，19531953提出了分类法，称为KendallKendall记号(适用于并列服务台)即：X/Y/Z:A/B/CX/Y/Z:A/B/C 2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。3)服务时间分为确定型和随机型。4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。1.2 1.2 排队系统的模型分类第6页/共46页7 式中：X顾
4、客相继到达间隔时间分布。M负指数分布Markov，D确定型分布Deterministic，EkK阶爱尔朗分布Erlang，GI 一般相互独立随机分布(General Independent)，G 一般随机分布。Y填写服务时间分布（与上同）Z填写并列的服务台数A排队系统的最大容量B顾客源数量 C排队规则 如 M/M/1:M/M/1:/FCFS/FCFS/FCFS/FCFS即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统模型。第7页/共46页8系统指标(1)队长，指在系统中的顾客数，它的期望值记Ls；(2)排队长，指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值
5、记作Lq 系 统 中顾客 数在队列中等待服务的顾客数正被服务的顾客数+=一般情形，Ls(或Lq)越大，说明服务效率越低。第8页/共46页9(3)逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Ws；(4)等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq；等待时间服务时间+逗留时间=第9页/共46页101.3 1.3 排队论研究的基本问题排队论研究的基本问题 1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时
6、间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。第10页/共46页111.4 1.4 排队问题求解(主要指性态问题)求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。排队问题的一般步骤：1.1.确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布(可实测)。2.2.研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数。状态概率用P Pn n(t)(t)表示,即在t t时刻系统中有n n个顾客的概率，也称瞬态概率。
7、第11页/共46页12 求解状态概率P Pn n(t)(t)方法是建立含P Pn n(t)(t)的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的话)：稳态的物理意义见右图，系统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。值得注意的是求稳态概率Pn并不一定求t的极限,而只需求Pn(t)=0 即可。过渡状态稳定状态pnt图3 排队系统状态变化示意图 称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态(Statistical Equilibrium State)的解。第12页/共46页
8、132 2 排队论主要知识点排队论主要知识点排队系统的组成与特征排队系统的模型分类顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布稳态概率P Pn n的计算标准的M/M/1M/M/1模型(M/M/1:/FCFS)/FCFS)系统容量有限制的模型M/M/1:N/FCFS/FCFS顾客源有限模型M/M/1/M/M/FCFSFCFS标准的M/M/CM/M/C模型M/M/C:/FCFS/FCFS第13页/共46页14M/M/C型系统和C个M/M/1型系统系 统 容 量 有 限 制 的 多 服 务 台 模 型(M/M/C/N/)顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/M)(M/M/C/M)一般服务时间的（
9、M/G/1M/G/1）模型Pollaczek-Khintchine(P-K)公式定长服务时间 M/D/1M/D/1模型爱尔朗服务时间M/Ek/1模型排队系统优化M/M/1 模型中的最优服务率u标准的M/M/1Model系统容量为N的情形M/M/C模型中最优服务台数C第14页/共46页153 3 到达间隔时间分布和服务时到达间隔时间分布和服务时间的分布间的分布 一个排队系统的最主要特征参数是顾客的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现存系统原始资料统计出它们的经验分布（见P315P315319319），然后与理论分布拟合，若能照应，我们就可以得出上述的
10、分布情况。第15页/共46页163.1 3.1 经验分布 经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。分布的拟合检验一般采用 2检验。由数理统计的知识我们知：若样本量n充分大(n50)，则当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度为k-r-1的 2分布，其中k为分组数，r为检验分布中被估计的参数个数。第16页/共46页173.2 3.2 理论分布 式中为常数(0)，称X服从参数为的泊松分布，若在上式中引入时间参数t，即令t代替，则有：1.1.泊松分布
11、泊松分布 在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变量为X，则有：n=0,1,2,（1）与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程，即泊松过程泊松过程。t0，n=0,1,2,（2）第17页/共46页18（t2t1，n0）若设N(t)表示在时间区间0,t)内到达的顾客数(t0),Pn(t1,t2)表示在时间区间t1,t2)(t2t1)内有n(0)个顾客到达的概率。即：在一定的假设条件下 顾客的到达过程就是一个泊松过程。当Pn(t1,t2)符合下述三个条件时，顾客到达过程就是泊松过程(顾客到达形成普阿松流)。第18页/共46页19 无后效性：各区间的到达相互独立,即Markov性。也就是说过程在t+
12、t所处的状态与t以前所处的状态无关。平稳性：即对于足够小的t，有：普阿松流具有如下特性：在t,t+t内有一个顾客到达的概率与t无关,而与t成正比。第19页/共46页20 普通性：对充分小的t,在时间区间（t,t+t）内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小.由此知，在(t，t+t)区间内没有顾客到达的概率为：令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。即P0+P1+P2=1在上述假设下，t时刻系统中有n个顾客的概率pn(t)：第20页/共46页21 A n pn(t)01-t+(t)pn(t)(1-t+(t)B
13、 n-1 pn-1(t)1t pn-1(t)t(t)(t)n-2 Pn-2(t)2C n-3 Pn-3(t)30 P0(t)n第21页/共46页22(1)(2)当n=0时，则(3)（没有顾客到达的概率）（n个顾客到达的概率）（4）瞬态方程（1）、（2）两式求导并令导数为0，得稳态概率：第22页/共46页23级数级数令k=n-1，则：同理方差为：顾客到达过程是一个泊松过程泊松过程(泊松流泊松流)。期望第23页/共46页24 表示单位时间内顾客平均到达数。1/表示顾客到达的平均间隔时间。对顾客的服务时间：系统处于忙期时两顾客相继离开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，接受服务，然后离开服务时间
14、的分布：2.2.负指数分布 可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继到达的时间间隔T T独立且服从负指数分布。（等价），则第24页/共46页25其中：表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均 服务率。1/表示一个顾客的平均服务时间。3.爱尔朗(Erlang)分布 设v1,v2，,vk是k个独立的随机变量，服从相同参数 k 的负指数分布，那么：，则令 ，则称为服务强度。第25页/共46页26 串联的k个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数k），那么一顾客走完k个服务台总共所需要服务时间就服从上述的k阶Erlang分布。则称T服从k阶爱尔朗分布。其特征值为：,其概率密度是1/k表
15、示一个顾客的一个服务台的平均服务时间。第26页/共46页27 例:有易碎物品500件,由甲地运往乙地,根据以往统计资料,在运输过程中易碎物品按普阿松流发生破碎,其破损率为0.002,现求:1.破碎3件物品的概率;2.破碎少于3件的概率和多于3件的概率;3.至少有一件破损的概率.解:=0.002500=1 1破碎3件物品的概率为:P(k=3)=(3/3！)e-=(13/3！)e-1=0.0613 即物品破碎3件的概率为6.13 2.破碎物品少于3件的概率:第27页/共46页28 破碎物品少于3件的概率为91.97破碎物品多于3件的概率为:3.至少有一件破碎的概率为 Pk 1=1-(1k/k!)e
16、-=1-(10/0!)e-1=0.632第28页/共46页29 对排队模型，在给定输入和服务条件下，主要研究系统的下述运行指标：(1)系统的平均队长Ls(期望值)和平均队列长Lq(期望值)；(2)系统中顾客平均逗留时间Ws与队列中平均等待时间Wq；本节只研究M/M/1模型，下面分三种情况讨论：4.M/M/14.M/M/1模型模型第29页/共46页304.1 标准的M/M/1模型 系统中有n个顾客M/M/1:/FCFS模型 1.稳态概率Pn的计算 在任意时刻t，状态为n的概率Pn(t)（瞬态概率），它决定了系统的运行特征。已知顾客到达服从参数为的泊松过程，服务时间服从参数为的负指数分布。现仍然通
17、过研究区间t，t+t）的变化来求解。在时刻t+t，系统中有n个顾客不外乎有下列四种情况（t，t+t）内到达或离开2个以上没列入）。？第30页/共46页31 由于这四种情况是互不相容的，所以Pn(t+t)应是这四项之和，则有：所有的高阶无穷小合并第31页/共46页32令t0，得关于Pn(t)的微分差分方程：(1)当n=0时，只有表中的（A）、（B）两种情况，因为在较小的t内不可能发生（D）（到达后即离去），若发生可将t取小即可。(2)生灭过程瞬态解第32页/共46页33由此可得该排队系统的状态转移图：由（4）得：其中服务强度 将其代入（3）式并令n=1,2,(也可从状态转移图中看出状态平衡方程)
18、得：关于Pn的差分方程n-1nn+1201 稳态时，它对时间的导数为0，所以由(1)、(2)两式得：Pn(t)与时间无关,可以写成Pn,(3)(4)第33页/共46页34n=1n=2第34页/共46页35以此类推，当n=n时，(5)以及概率性质知：(数列的极限为 )(6)否则排队无限远系统稳态概率系统的运行指标第35页/共46页362.系统的运行指标计算 (1)系统中的队长Ls（平均队长）(01)即:(7)期望第36页/共46页37(2)队列中等待的平均顾客数Lq(8)(3)顾客在系统中的平均逗留时间Ws 顾客在系统中的逗留时间是随机变量，可以证明，它服从参数为-的负指数分布，分布函数第37页
19、/共46页38和密度函数为：（w0）(4)顾客在队列中的平均逗留时间Wq 等待时间 顾客在队列中的平均逗留时间应为Ws减去平均服务时间。考虑LS与WS的关系第38页/共46页39四个指标的关系为(Little 公式)：3.系统的忙期与闲期系统处于空闲状态的概率：系统处于繁忙状态的概率：服务强度第39页/共46页40在繁忙状态下，队列中的平均顾客数Lb：顾客平均等待时间:忙期的平均长度:(由 来)一个忙期平均服务的顾客数为：LbP(N0)=Lq第40页/共46页41例：某医院手术室根据病人来诊和完成手术的时间记录，任意抽查100个工作小时，每小时来就诊的病人数n的出现次数如表9-4。又任意抽查了
20、100个完成手术的病历，所用时间v(小时)出现的次数如表9-5。计算手术室的各项指标。第41页/共46页42到达的病人到达的病人数数n n出现次数出现次数f fn n0 010101 128282 229293 316164 410105 56 66 6以上以上1 1合计合计100100为病人完成手术时间为病人完成手术时间v(v(小时小时)出现次出现次数数f fv v0.00.00.20.238380.20.20.40.425250.40.40.60.617170.60.60.80.89 90.80.81.01.06 61.01.01.21.25 51.21.2以上以上0 0合计合计10010
21、0表9-4表9-5第42页/共46页431.1.参数的确定参数的确定算出每小时病人平均到达率算出每小时病人平均到达率 2.1(2.1(人人/小时小时)每次手术平均时间每次手术平均时间 0.4(0.4(小时小时/人人)每小时完成手术人数每小时完成手术人数(平均服务率平均服务率)2.5(2.5(人人/小时小时)2.2.取取2.12.1，2.52.5，可以通过统计检验的方法，可以通过统计检验的方法(例如例如2 2检检验法验法)，认为病人到达数服从参数为，认为病人到达数服从参数为2.12.1的普阿松分布，手的普阿松分布，手术时间服从参数为术时间服从参数为2.52.5的负指数分布。的负指数分布。3.3.
22、它说明服务机构它说明服务机构(手术室手术室)有有8484的时间是繁忙的时间是繁忙(被利用被利用)，有，有1616的时间是空闲的。的时间是空闲的。第43页/共46页444.4.依次算出各指标：依次算出各指标：在病房中病人数在病房中病人数(期望值期望值)排队等待病人数排队等待病人数(期望值期望值)病人在病房中逗留时间病人在病房中逗留时间(期望值期望值)病人排队等待时间病人排队等待时间(期望值期望值)第44页/共46页45+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z
23、1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOf
24、RjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(
25、x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaM
26、ePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w
27、-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLd
28、OgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%
29、v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlX&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOf
30、RiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(
31、x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPgWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQ
32、iTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w
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