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1、第十章-时间序列计量经济模型 传统计量经济学模型的假定条件：时间序传统计量经济学模型的假定条件：时间序传统计量经济学模型的假定条件：时间序传统计量经济学模型的假定条件：时间序列数据是平稳的。列数据是平稳的。列数据是平稳的。列数据是平稳的。所谓所谓所谓所谓“伪回归伪回归伪回归伪回归”，是指变量间本来不存在相依，是指变量间本来不存在相依，是指变量间本来不存在相依，是指变量间本来不存在相依关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误结论。结论。结论。结论。20202020世纪世纪世纪世
2、纪70707070年代，年代，年代，年代，GrangeGrange、NewboldNewbold研究发现，研究发现，研究发现，研究发现，造成造成造成造成“伪回归伪回归伪回归伪回归”的根本原因在于时序序列变量的根本原因在于时序序列变量的根本原因在于时序序列变量的根本原因在于时序序列变量的非平稳性。的非平稳性。的非平稳性。的非平稳性。2 2、伪回归问题、伪回归问题二、随机过程的概念二、随机过程的概念 有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机
3、变量过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量来表达。来表达。来表达。来表达。例例例例1 1 在测量飞机的距离时存在随机误差，若以在测量飞机的距离时存在随机误差，若以在测量飞机的距离时存在随机误差，若以在测量飞机的距离时存在随机误差，若以e e e e(t)(t)表示时刻表示时刻表示时刻表示时刻t t的测量误差，则它是一个随机变量，的测量误差，则它是一个随机变量，的测量误差，则它是一个随机变量，的测量误差，则它是一个随机变量，飞机随时间飞机随时间飞机随时间飞机随时间t t运动，测量误差也随时间运动，测量误
4、差也随时间运动，测量误差也随时间运动，测量误差也随时间t t而变化，即而变化，即而变化，即而变化，即e e e e(t)(t)是依赖于时间是依赖于时间是依赖于时间是依赖于时间t t的一族随机变量。则的一族随机变量。则的一族随机变量。则的一族随机变量。则 e e e e(t)(t)是一随是一随是一随是一随机过程机过程机过程机过程 例例例例2 2 某国某年的某国某年的某国某年的某国某年的GDPGDP总量，是一随机变量，但总量，是一随机变量，但总量，是一随机变量，但总量，是一随机变量，但若考查它随时间变化的情形，则若考查它随时间变化的情形，则若考查它随时间变化的情形，则若考查它随时间变化的情形，则G
5、DPGDPt t 是一随机过是一随机过是一随机过是一随机过程。程。程。程。随机过程（随机过程（随机过程（随机过程（stochastic processstochastic process）的定义）的定义）的定义）的定义 设设设设T T是无限实数集，若对于每一是无限实数集，若对于每一是无限实数集，若对于每一是无限实数集，若对于每一t tT T ，Y Yt t 为一随为一随为一随为一随机变量，则称随机变量族机变量，则称随机变量族机变量，则称随机变量族机变量，则称随机变量族 Y Yt t 为一个为一个为一个为一个随机过程随机过程随机过程随机过程。若若若若T T为一连续区间，则为一连续区间，则为一连续
6、区间，则为一连续区间，则 Y Yt t 称为称为称为称为连续型随机过程连续型随机过程连续型随机过程连续型随机过程。若若若若T T为一离散集合，如为一离散集合，如为一离散集合，如为一离散集合，如 T T=0,1,2,=0,1,2,或或或或 T T=,-2,-1,0,1,2,=,-2,-1,0,1,2,则则则则 Y Yt t 称为称为称为称为离散型随机过程离散型随机过程离散型随机过程离散型随机过程。离散型时间指标集的随机过程通常称为离散型时间指标集的随机过程通常称为离散型时间指标集的随机过程通常称为离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时随机型时随机型时随机型时间序列间序列间序列间序列，简称，简
7、称，简称，简称时间序列时间序列时间序列时间序列。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即所谓有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即所谓有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即所谓有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即所谓平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳
8、随机过程，它的特点是：其统计特性不随时间，它的特点是：其统计特性不随时间，它的特点是：其统计特性不随时间，它的特点是：其统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对任意正整数的推移而变化。严格地说，如果对任意正整数的推移而变化。严格地说，如果对任意正整数的推移而变化。严格地说，如果对任意正整数n n，任意任意任意任意t t1 1,t t2 2,t tn nT T和任意实数和任意实数和任意实数和任意实数h h，n n维随机变量维随机变量维随机变量维随机变量具有相同的分布函数，则称具有相同的分布函数，则称具有相同的分布函数，则称具有相同的分布函数，则称 YtYt 为为为为平稳随机过程平稳随机过程
9、平稳随机过程平稳随机过程。与与与与三、时间序列的平稳性三、时间序列的平稳性 当当当当T T是离散型时间指标集时，也称时间序列具有是离散型时间指标集时，也称时间序列具有是离散型时间指标集时，也称时间序列具有是离散型时间指标集时，也称时间序列具有平稳性平稳性平稳性平稳性（stationary)stationary)直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线。绕其均值上下波动的曲线。绕其均值上下波动的曲线。绕其均值上下波动的曲线。在实际中，确定过程的分布函数，并
10、用它来判在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判定其平稳性，一般很难办到。定其平稳性，一般很难办到。定其平稳性，一般很难办到。定其平稳性，一般很难办到。考察一下考察一下考察一下考察一下平稳过程平稳过程平稳过程平稳过程的数字特征的数字特征的数字特征的数字特征 （1 1）设平稳过程）设平稳过程）设平稳过程）设平稳过程 Y Yt t 的均值函数的均值函数的均值函数的均值函数E E(Y Yt t)存在存在存在存在,由平稳性定义，随机变量由平稳性定义，随机变量由平稳性定义，随机变量由平稳性定义，随机变量Y Yt t与与与与Y
11、 Yt+ht+h同分布，于是同分布，于是同分布，于是同分布，于是 E E(Y Yt t)=)=E E(Y Yt+ht+h)令令令令h h=-t t，则有，则有，则有，则有E E(Y Yt t)=)=E E(Y Y0 0)为常数，记为为常数，记为为常数，记为为常数，记为m m m m；（2 2）同理，平稳过程）同理，平稳过程）同理，平稳过程）同理，平稳过程 Y Yt t 的方差函数也为常的方差函数也为常的方差函数也为常的方差函数也为常数，记为数，记为数，记为数，记为 2 2 2 2；（3 3）由平稳性定义，二维随机变量）由平稳性定义，二维随机变量）由平稳性定义，二维随机变量）由平稳性定义，二维随
12、机变量(Y Yt t,Y Ys s)与与与与(Y Yt+h t+h,Y Ys+hs+h)同分布，从而同分布，从而同分布，从而同分布，从而 Cov Cov(Y Yt t,Y Ys s)=)=CovCov(Y Yt+h t+h,Y Ys+hs+h)令令令令h h=-s-s-s-s，有，有，有，有 CovCov(Y Yt t,Y Ys s)=)=CovCov(Y Yt-s t-s,Y Y0 0)记记记记 r r(t t,s s)=)=CovCov(Y Yt t,Y Ys s)于是于是于是于是 r r(t t,s s)=)=r r(t t-s,s,0)=0)=r rt-st-s 当随机过程当随机过程当
13、随机过程当随机过程 Y Yt t 的均值、方差和协方差不随时的均值、方差和协方差不随时的均值、方差和协方差不随时的均值、方差和协方差不随时间的推移而变化时，即满足：间的推移而变化时，即满足：间的推移而变化时，即满足：间的推移而变化时，即满足：则称则称则称则称 Y Yt t 为为为为弱平稳过程弱平稳过程弱平稳过程弱平稳过程。在以后的讨论中，平稳性通常是指在以后的讨论中，平稳性通常是指在以后的讨论中，平稳性通常是指在以后的讨论中，平稳性通常是指弱平稳弱平稳弱平稳弱平稳，而，而，而，而前面用分布函数定义的平稳称为前面用分布函数定义的平稳称为前面用分布函数定义的平稳称为前面用分布函数定义的平稳称为严格
14、平稳严格平稳严格平稳严格平稳，显然，显然，显然，显然，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，但正态过程是一个例外。但正态过程是一个例外。但正态过程是一个例外。但正态过程是一个例外。与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过程处于过渡阶段总是非平稳的。例如，飞机控制在程处于过渡阶段总是非平稳的。例如，飞机控制在程处于过渡阶段总是非平稳的
15、。例如，飞机控制在程处于过渡阶段总是非平稳的。例如，飞机控制在高度为高度为高度为高度为 h h 的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度响，实际飞行高度响，实际飞行高度响，实际飞行高度HH(t t)应在应在应在应在 h h 水平面上下随机波动，水平面上下随机波动，水平面上下随机波动，水平面上下随机波动，HH(t t)看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主要
16、条件随时间发生变化，因而要条件随时间发生变化，因而要条件随时间发生变化，因而要条件随时间发生变化，因而HH(t t)的主要特征也随的主要特征也随的主要特征也随的主要特征也随时间而变化，这时时间而变化，这时时间而变化，这时时间而变化，这时HH(t t)是非平稳的。是非平稳的。是非平稳的。是非平稳的。所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即时间序列的计规律随着时间的位移而发生变化，即时间序列的计规律随着时间的位移而发生变化，即时间序列的计规律随着
17、时间的位移而发生变化，即时间序列的数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的“伪回伪回伪回伪回归归归归”.”.例例例例1 1一个最简单的随
18、机时间序列是一具有零一个最简单的随机时间序列是一具有零一个最简单的随机时间序列是一具有零一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：均值同方差的独立分布序列：均值同方差的独立分布序列：均值同方差的独立分布序列：Y Yt t=e e e et t ，e e e et t N N(0,(0,2 2)该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个白噪声白噪声白噪声白噪声（white noisewhite noise）。）。）。）。由于由于由于由于X Xt t具有相同的均值与方差，且协方差为零具有相同的均值与方差，且协方差为零具有相同的均值与方差，且协
19、方差为零具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义由定义由定义由定义,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。例例例例2 2几种常用的非平稳时间序列模型。几种常用的非平稳时间序列模型。几种常用的非平稳时间序列模型。几种常用的非平稳时间序列模型。（1 1）随机游走序列随机游走序列随机游走序列随机游走序列（random walkrandom walk），该序列），该序列），该序列），该序列由如下随机过程生成：由如下随机过程生成：由如下随机过程生成：由如下随机过程生成：Y Yt t=Y Yt t-1-1+e e e et t这里，这里，这里，这里，e
20、 e e et t 是一个白噪声。是一个白噪声。是一个白噪声。是一个白噪声。由于由于由于由于 E E(Y Yt t)=)=E E(Y Yt t-1-1)+)+E E(e e e et t)=)=E E(Y Yt t-1-1)所以该序列有相同的均值。所以该序列有相同的均值。所以该序列有相同的均值。所以该序列有相同的均值。为了检验该序列是否具有相同的方差，设为了检验该序列是否具有相同的方差，设为了检验该序列是否具有相同的方差，设为了检验该序列是否具有相同的方差，设Y Yt t的初值为的初值为的初值为的初值为Y Y0 0，则易知，则易知，则易知，则易知 Y Y1 1=Y Y0 0+e e e e1
21、1 Y Y2 2=Y Y1 1+e e e e2 2=Y Y0 0+e e e e1 1+e e e e2 2 Y Yt t=Y Y0 0+e e e e1 1+e e e e2 2+e e e et t 由于由于由于由于Y Y0 0为常数，为常数，为常数，为常数，e e e et t t t 是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此 VarVar(Y Yt t)=)=t t 2 2 即即即即Y Yt t的方差与时间的方差与时间的方差与时间的方差与时间t t t t有关，它是一非平稳序列。有关，它是一非平稳序列。有关，它是一非平稳序列。有关，它是一非平稳序列。（
22、2 2）带漂移项的随机游走序列带漂移项的随机游走序列带漂移项的随机游走序列带漂移项的随机游走序列（random walk random walk with driftwith drift）Y Yt t=a a a a+Y Yt t-1-1+e e e et t这里，这里，这里，这里，a a a a 是一非零常数，称为是一非零常数，称为是一非零常数，称为是一非零常数，称为漂移项漂移项漂移项漂移项。如果对如果对如果对如果对Y Yt t 取一阶差分取一阶差分取一阶差分取一阶差分（first differencefirst difference）:Y Yt t=Y Yt t-Y Yt t-1-1=e
23、e e et t由于由于由于由于e e e et t 是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列 Y Yt t 成为平稳序列。成为平稳序列。成为平稳序列。成为平稳序列。将上式写成一阶差分形式将上式写成一阶差分形式将上式写成一阶差分形式将上式写成一阶差分形式 Y Yt t=Y Yt t-Y Yt t-1-1=a a a a+e e e et tY Yt t向上或向下漂移，取决于向上或向下漂移，取决于向上或向下漂移，取决于向上或向下漂移，取决于a a a a的符号是正还是负。的符号是正还是负。的符号是正还是负。的符号是正还是负。通过直接迭代通过直接迭代通过直接
24、迭代通过直接迭代 都是时间都是时间都是时间都是时间 t t 的函数，且随时间发散到无穷大，它是的函数，且随时间发散到无穷大，它是的函数，且随时间发散到无穷大，它是的函数，且随时间发散到无穷大，它是非平稳时间序列。非平稳时间序列。非平稳时间序列。非平稳时间序列。于是于是于是于是 （3 3）带漂移和时间趋势的随机游走序列带漂移和时间趋势的随机游走序列带漂移和时间趋势的随机游走序列带漂移和时间趋势的随机游走序列 Y Yt t=a a a a+b b b b t t+Y Yt t-1-1+e e e et t容易证明它也是非平稳时间序列。容易证明它也是非平稳时间序列。容易证明它也是非平稳时间序列。容易
25、证明它也是非平稳时间序列。以上三种情况，其数据生成过程都可以写成以上三种情况，其数据生成过程都可以写成以上三种情况，其数据生成过程都可以写成以上三种情况，其数据生成过程都可以写成如下形式：如下形式：如下形式：如下形式：Y Yt t=m m m m+g g g g Y Yt t-1-1+e e e et t当当当当 m m m m=0,=0,g g g g=1=1=1=1 时，为随机游走过程；时，为随机游走过程；时，为随机游走过程；时，为随机游走过程；当当当当 m m m m=a a a a,g g g g=1=1=1=1 时，为带漂移项随机游走过程；时，为带漂移项随机游走过程；时，为带漂移项随
26、机游走过程；时，为带漂移项随机游走过程；当当当当 m m m m=a a a a+b b b b t t,g g g g=1=1=1=1 时，为带漂移项和时间趋势的时，为带漂移项和时间趋势的时，为带漂移项和时间趋势的时，为带漂移项和时间趋势的 随机游走过程；随机游走过程；随机游走过程；随机游走过程；第二节 时间序列平稳性的单位根检验 时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和现代方法，传统方法中主要有散点图法、自相关函现代方法，传统方法中主要有散点图法、自相关函现代方法，传统方
27、法中主要有散点图法、自相关函现代方法，传统方法中主要有散点图法、自相关函数检验法。数检验法。数检验法。数检验法。散点图法散点图法散点图法散点图法是最简单的一种平稳检验方法，通过是最简单的一种平稳检验方法，通过是最简单的一种平稳检验方法，通过是最简单的一种平稳检验方法，通过画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是围绕其平均值上下波动
28、，如果是，则该时间序列是平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，但精确度不高。但精确度不高。但精确度不高。但精确度不高。我们把我们把我们把我们把 r rt t-s s=CovCov(Y Yt t,Y Ys s)称为时间序列称为时间序列称为时间序列称为时间序列 YtYt 的自相关函数。的自相关函数。的自相关函数。的自相关函数。自相关函数法自相关函数法自相关函数法自相关函数法就是看自相关函数是否为不随就是看自相关函数是否为不随就是看自相关函数是否为不随就是看自相关
29、函数是否为不随时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平稳的。稳的。稳的。稳的。在在在在Y Yt t=m m m m+g g g g Y Yt t-1-1+e e e et t 中，若中，若中，若中，若m m m m=0=0，则有，则有，则有，则有 Y Yt t=g g g g Y Yt t-1-1+e e e et t称称称称时时时时间间间间序序序序列列列列为为为为1 1 1 1阶阶阶阶自自自自回回回回归归归归过过过过程程程程，记记记记为为为为AR(1)AR(1)。可
30、可可可以以以以证证证证明当明当明当明当g g g g 1 1时，是平稳的，其他情况是非平稳的。时，是平稳的，其他情况是非平稳的。时，是平稳的，其他情况是非平稳的。时，是平稳的，其他情况是非平稳的。1 1阶自回归过程可写成阶自回归过程可写成阶自回归过程可写成阶自回归过程可写成 Y Yt t -g g g g Y Yt t-1-1=e e e et t 或或或或 （1 1 -g g g g L L)Y Yt t =e e e et t 其中，其中，其中，其中，L L是是是是滞后运算符滞后运算符滞后运算符滞后运算符或或或或滞后算子滞后算子滞后算子滞后算子，即，即，即，即 LY LYt t =Y Yt
31、 t-1-1 一、单位根检验一、单位根检验 称方程称方程称方程称方程1-1-g g g g z z=0=0 为时间序列为时间序列为时间序列为时间序列 Y Yt t 的的的的特征方程特征方程特征方程特征方程，该，该，该，该方程的根为方程的根为方程的根为方程的根为z z=1/=1/g,g,g,g,由于当由于当由于当由于当g g g g 1 1 1，而如果，而如果，而如果，而如果g g g g =1=1，序列的生，序列的生，序列的生，序列的生成过程变为随机游走过程，它是非平稳的，此时成过程变为随机游走过程，它是非平稳的，此时成过程变为随机游走过程，它是非平稳的，此时成过程变为随机游走过程，它是非平稳
32、的，此时z z=1=1通常称序列含有通常称序列含有通常称序列含有通常称序列含有单位根单位根单位根单位根，或者说序列的生成过程为，或者说序列的生成过程为，或者说序列的生成过程为，或者说序列的生成过程为单位根过程单位根过程单位根过程单位根过程。由此可见检验序列的非平稳性就变为。由此可见检验序列的非平稳性就变为。由此可见检验序列的非平稳性就变为。由此可见检验序列的非平稳性就变为检验特征方程是否有单位根。检验特征方程是否有单位根。检验特征方程是否有单位根。检验特征方程是否有单位根。事实上，特征根事实上，特征根事实上，特征根事实上，特征根 z z 也可能落在单位圆内，这种过也可能落在单位圆内，这种过也可
33、能落在单位圆内，这种过也可能落在单位圆内，这种过程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，
34、所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况极为少见，在此不作讨论。极为少见，在此不作讨论。极为少见，在此不作讨论。极为少见，在此不作讨论。含一个单位根的过程含一个单位根的过程含一个单位根的过程含一个单位根的过程 Y Yt t ，其一阶差分，其一阶差分，其一阶差分，其一阶差分 Y Yt t=Y Yt t -Y Yt t-1-1=e e e et t是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的是一个平稳序列，象
35、这种经过一阶差分后变为平稳的是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的序列称为序列称为序列称为序列称为一阶单整序列一阶单整序列一阶单整序列一阶单整序列，记为，记为，记为，记为 Y Yt t I I(1)(1)。1 1阶自回归阶自回归阶自回归阶自回归ARAR(1)(1)可推广到可推广到可推广到可推广到 k k 阶自回归阶自回归阶自回归阶自回归ARAR(k k)：Y Yt t=1 1Y Yt t-1-1+2 2Y Yt t-2-2+k kY Yt-kt-k+e e e et t可用滞后算子写为：可用滞后算子写为：可用滞后算子写为：可用滞后算子写为：（1 1-1 1L L -2 2L L2 2
36、-k kL Lk k)Y Yt t=e e e et t其特征方程为其特征方程为其特征方程为其特征方程为 1 1-1 1z z -2 2z z2 2 -k kz zk k=0 0 若时间序列若时间序列若时间序列若时间序列 Y Yt t 含有含有含有含有 d d 个单位根，经过个单位根，经过个单位根，经过个单位根，经过 d d 阶差阶差阶差阶差分后变为平稳，而分后变为平稳，而分后变为平稳，而分后变为平稳，而d d-1-1 阶差分不平稳，则称为阶差分不平稳，则称为阶差分不平稳，则称为阶差分不平稳，则称为 d d 阶阶阶阶单整序列单整序列单整序列单整序列，记为，记为，记为，记为 Y Yt t I I
37、(d d)。特别地，若。特别地，若。特别地，若。特别地，若 Y Yt t 本身本身本身本身是平稳的，则称它是平稳的，则称它是平稳的，则称它是平稳的，则称它零阶单整序列零阶单整序列零阶单整序列零阶单整序列，记为，记为，记为，记为 Y Yt t I I(d d)。二、二、二、二、Dickey-FullerDickey-Fuller检验（迪克检验（迪克检验（迪克检验（迪克福勒检验）福勒检验）福勒检验）福勒检验）大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当这种趋势一旦受到冲击时，一般会出
38、现两种情形，这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，平稳的，这时如采
39、用最小二乘法可能导致伪回归，平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位根检验。根检验。根检验。根检验。假设时间序列是由下列自回归模型生成的：假设时间序列是由下列自回归模型生成的：假设时间序列是由下列自回归模型生成的：假设时间序列是由下列自回归模型生成的：Y Yt t=g g g g Y Yt t-1-1+e e e et t 要检验该序列是否含有单位根，其原假设为要检验该序列是否含有单位根，其原假设为要检验该序列是否含
40、有单位根，其原假设为要检验该序列是否含有单位根，其原假设为 HH0 0:g g g g=1 =1 检验所用的统计量为检验所用的统计量为检验所用的统计量为检验所用的统计量为其中，其中，其中，其中，e e e et t 独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为 2 2其中其中其中其中 为为为为 g g g g 的的的的OLSOLS估计量，估计量，估计量，估计量，g g g g=1=1 但但但但DickeyDickey，Fuller Fuller 通过研究发现，该统计是并通过研究发现，该统计是并通过研究发现，该统计是并通过研究发
41、现，该统计是并不服从不服从不服从不服从 t t 分布，而是服从一个非标准的，甚至是非分布，而是服从一个非标准的，甚至是非分布，而是服从一个非标准的，甚至是非分布，而是服从一个非标准的，甚至是非对称的分布，从而传统的对称的分布，从而传统的对称的分布，从而传统的对称的分布，从而传统的 t t 检验失效。但其极限分检验失效。但其极限分检验失效。但其极限分检验失效。但其极限分布存在，一般称为布存在，一般称为布存在，一般称为布存在，一般称为Dickey-FullerDickey-Fuller分布（分布（分布（分布（DFDF分布）分布）分布）分布）。根据这一分布所作的检验称为根据这一分布所作的检验称为根据
42、这一分布所作的检验称为根据这一分布所作的检验称为DFDF检验检验检验检验。步骤如下：步骤如下：步骤如下：步骤如下：（1 1）用）用）用）用OLSOLS估计一阶自回归模型估计一阶自回归模型估计一阶自回归模型估计一阶自回归模型 Y Yt t=g g g g Y Yt t-1-1+e e e et t得到得到得到得到 g g g g 的估计量的估计量的估计量的估计量（2 2）提出假设）提出假设）提出假设）提出假设 HH0 0:g g g g=1=1，计算常规，计算常规，计算常规，计算常规 t t 统计量：统计量：统计量：统计量：（3 3）查）查）查）查DFDF检验临界值表得临界值，检验：若检验临界值
43、表得临界值，检验：若检验临界值表得临界值，检验：若检验临界值表得临界值，检验：若t t统计统计统计统计量值大于或等于量值大于或等于量值大于或等于量值大于或等于DFDF检验临界值，则拒绝原假设检验临界值，则拒绝原假设检验临界值，则拒绝原假设检验临界值，则拒绝原假设 ，说明序列不存在单位根，否则，接受原假设说明序列不存在单位根，否则，接受原假设说明序列不存在单位根，否则，接受原假设说明序列不存在单位根，否则，接受原假设 ，说明，说明，说明，说明存在单位根。存在单位根。存在单位根。存在单位根。Dickey Dickey，FullerFuller研究发现，研究发现，研究发现，研究发现，DFDF检验的临
44、界值同检验的临界值同检验的临界值同检验的临界值同序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农（MackinnonMackinnon）把临界值表加以扩充，形成了目前）把临界值表加以扩充，形成了目前）把临界值表加以扩充，形成了目前）把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在使用广泛的临
45、界值表，在使用广泛的临界值表，在使用广泛的临界值表，在EviewsEviews软件中使用的就是软件中使用的就是软件中使用的就是软件中使用的就是MackinnonMackinnon临界值表。临界值表。临界值表。临界值表。Y Yt t=a a a a+b b b b t t+g g g gY Yt t-1-1+e e e et t Y Yt t=a a a a+g g g gY Yt t-1-1+e e e et t Y Yt t=g g g gY Yt t-1-1+e e e et t 三种模型为：三种模型为：三种模型为：三种模型为：三、三、三、三、Augmented Dickeg-Fuller
46、Augmented Dickeg-Fuller检验检验检验检验 DF DF检验有一个前提条件检验有一个前提条件检验有一个前提条件检验有一个前提条件:在检验所设定的模型在检验所设定的模型在检验所设定的模型在检验所设定的模型中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关时，直接使用时，直接使用时，
47、直接使用时，直接使用DFDF检验会出现偏误。为了保证单位根检验会出现偏误。为了保证单位根检验会出现偏误。为了保证单位根检验会出现偏误。为了保证单位根的检验有效性，人们对的检验有效性，人们对的检验有效性，人们对的检验有效性，人们对DFDF检验进行拓展，从而形成检验进行拓展，从而形成检验进行拓展，从而形成检验进行拓展，从而形成了了了了扩展的扩展的扩展的扩展的DFDF检验检验检验检验，简称为，简称为，简称为，简称为ADFADF检验检验检验检验。考虑模型：考虑模型：考虑模型：考虑模型：Y Yt t=g g g g Y Yt t-1-1+e e e et t （1 1）设设设设 e e e et t 存
48、在自相关，且具有存在自相关，且具有存在自相关，且具有存在自相关，且具有 p p 阶自回归形式：阶自回归形式：阶自回归形式：阶自回归形式：e e e et t=a a a a1 1e e e et t-1-1+a a a a2 2e e e et t-2-2+a a a ak ke e e et-pt-p+u ut t其中，其中，其中，其中，u ut t 独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为独立同分布，期望为零，方差为 2 2，且，且，且，且满足古典假定。满足古典假定。满足古典假定。满足古典假定。由模型（由模型（由模型（由模型（1 1）得：）得：）
49、得：）得：Y Yt-1 t-1=g g g g Y Yt t-2-2+e e e et-1t-1 Y Yt-Pt-P=g g g g Y Yt t-p p-1-1+e e e et-pt-p 从而从而从而从而Y Yt t-a a a a1 1Y Yt t-1-1-a a a a2 2Y Yt t-2-2-a a a ak kY Yt-pt-p=即即即即Y Yt t=g g g g Y Yt-1 t-1+a a a a1 1(Y Yt t-1-1 -g g g g Y Yt t-2-2)+)+a a a a2 2(Y Yt t-2-2-g g g g Y Yt t-3-3)+a a a aP P
50、 (Y Yt t-p p-g g g g Y Yt t-p-p-1 1)+)+u ut t +e e e et t-a a a a1 1 e e e et t-1-1-a a a a2 2e e e et t-3-3-a a a aP P e e e et t-p p g g g g Y Yt t-1-1 -a a a a1 1g g g g Y Yt t-2-2-a a a a2 2g g g g Y Yt t-3-3-a a a aP P g g g g Y Yt t-p-p-1 1 所以为了使单位根检验有更广的实用性，还应所以为了使单位根检验有更广的实用性，还应所以为了使单位根检验有更广