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1、一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积第1页/共31页解决步骤解决步骤:1)大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得第2页/共31页3)近似和近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积第3页/共31页2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知
2、速度n 个小段过的路程为第4页/共31页3)近似和近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限第5页/共31页二、定积分定义二、定积分定义(P225)任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间上的定积分,即此时称 f(x)在 a,b 上可积.记作第6页/共31页积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即第7页/共31页定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和第8页/
3、共31页可积的充分条件可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将 0,1 n 等分,分点为第9页/共31页注注 注.当n 较大时,此值可作为 的近似值第10页/共31页例例2.用定积分表示下列极用定积分表示下列极限限:解:第12页/共31页三三.定积分的近似计定积分的近似计算算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a,b 分成 n 等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式第13页/共31页推导3.梯形公式梯形公式4.抛物线法公式第14页/共31页例例3.用梯形公式和抛物线法公用梯形公式和抛物线法公式式解:计算yi(见右表)的近似值.ixiyi0
4、0.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为计算定积分第16页/共31页四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)证:=右端第17页/共31页证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是第18页/共31页当当 a,b,c 的相对位置任意时的相对位置任意时,例如例如则有第19页/
5、共31页6.若在若在 a,b 上上则证:推论1.若在 a,b 上则第20页/共31页推论推论2.证:即7.设则第21页/共31页例例4.试证试证:证:设则在上,有即故即第22页/共31页8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 第23页/共31页说明说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因第24页/共31页例例5.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度第25页/共31页内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式第26页/共31页思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或第27页/共31页思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示:极限为 0!第28页/共31页2.P235 题题33.P236 题13(2),(4)题13(4)解:设则即第29页/共31页作业作业 P235 *2(2);6 ;7;10(3),(4);12(3);13(1),(5)第二节 第30页/共31页感谢您的欣赏！第31页/共31页