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1、线性代数的几何含义第1页，共39页，编辑于2022年，星期一线性代数概念的几何含义线性代数概念的几何含义及及MATLAB绘图演示绘图演示西安电子科技大学西安电子科技大学 杨威杨威2010.72010.7第2页，共39页，编辑于2022年，星期一一、线性方程组解的几何含义一、线性方程组解的几何含义二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义四、四、行列式的几何含义行列式的几何含义五、线性变换的几何含义五、线性变换的几何含义(特征向量特征向量)六、二次型的几何含义六、二次型的几何含义基本内容基本内容三、三、向量组线性相关性的几何含义向量组线性相关性的几何含义第3页，共39页，编辑于20
2、22年，星期一一、进一步理解线性代数抽象概念一、进一步理解线性代数抽象概念 的几何含义的几何含义二、掌握二、掌握MATLABMATLAB软件实现线性代数软件实现线性代数 基本运算的命令基本运算的命令基本目标基本目标三、灵活应用三、灵活应用MATLABMATLAB软件的绘图功能软件的绘图功能 演示线性代数概念的几何含义演示线性代数概念的几何含义第4页，共39页，编辑于2022年，星期一一、一、线性方程组解的几何含义线性方程组解的几何含义1 1、二元方程组、二元方程组例例1 1 求下列非齐次线性方程组的解，并用求下列非齐次线性方程组的解，并用MATLABMATLAB绘出绘出解的情况。解的情况。第5
3、页，共39页，编辑于2022年，星期一解：用解：用MATLABMATLAB解线性方程组解线性方程组 Ax=b Ax=b 的方法有：的方法有：用用MATLABMATLAB绘制直线的简单方法为：绘制直线的简单方法为：（1 1）求逆法（）求逆法（A A为方阵）：为方阵）：x=inv(A)*bx=inv(A)*b，或，或 x=A-1*b x=A-1*b（2 2）初等行变换法：）初等行变换法：rref(A,b)rref(A,b)（3 3）左除法：）左除法：x=Abx=Ab ezplot()单引号内为直线方程单引号内为直线方程第6页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口
4、中运行程序命令窗口中运行程序 g01.m g01.m，可以得到图形：，可以得到图形：第7页，共39页，编辑于2022年，星期一一、一、线性方程组解的几何含义线性方程组解的几何含义2 2、三元方程组、三元方程组例例2 2 求下列线性方程组的解，并用求下列线性方程组的解，并用MATLABMATLAB绘出解的情况。绘出解的情况。（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）第8页，共39页，编辑于2022年，星期一解：用解：用MATLABMATLAB的的 rref rref 命令可以解得：命令可以解得：用用MATLABMATLAB绘制平面的简单方法为：绘制平面的简单方法为：方程组（方程组（1 1）有唯一解
5、）有唯一解方程组（方程组（2 2）有无穷组解）有无穷组解方程组（方程组（3 3）和（）和（4 4）无解）无解 ezmesh()单引号内为平面方程单引号内为平面方程第9页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g02.m g02.m，可以得到图形：，可以得到图形：第10页，共39页，编辑于2022年，星期一一、一、线性方程组解的几何含义线性方程组解的几何含义3 3、用、用MATLABMATLAB解矛盾方程的近似解解矛盾方程的近似解例例3 3 下表给出平面坐标系中下表给出平面坐标系中5 5个点的坐标，求过这个点的坐标，求过这5 5个点
6、的圆个点的圆心坐标。并用心坐标。并用MATLABMATLAB绘出该圆。绘出该圆。12345x-1.10.64.10.65.0y1.24.1-0.8-1.01.2第11页，共39页，编辑于2022年，星期一解：设圆心坐标为解：设圆心坐标为(x(x，y)y)，根据圆心到已知，根据圆心到已知5 5点的距离相等，点的距离相等，列方程：列方程：进行化简，可以得到以下线性方程组：进行化简，可以得到以下线性方程组：第12页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g03.m g03.m，可以得到图形：，可以得到图形：第13页，共39页，编辑于20
7、22年，星期一二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义1 1、向量的几何含义、向量的几何含义二维（三维）向量可以理解为平面坐标系（空间坐标系）中二维（三维）向量可以理解为平面坐标系（空间坐标系）中一个有方向的线段，其起点在坐标原点。一个有方向的线段，其起点在坐标原点。如下图所示。如下图所示。第14页，共39页，编辑于2022年，星期一二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义2 2、向量加法的平行四边形法则，如图所示、向量加法的平行四边形法则，如图所示3 3、负向量与向量减法：、负向量与向量减法：u-v=u+(-v)u-v=u+(-v)第15页，共39页，编辑于2
8、022年，星期一二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义4 4、向量的数乘、向量的数乘设设u=(1,2,3)u=(1,2,3)T T,那么那么2u=(2,4,6)2u=(2,4,6)T T,如图如图所示所示,可知可知2u2u与与u u共线，共线，它们的长度是它们的长度是2 2倍关倍关系。系。第16页，共39页，编辑于2022年，星期一二、二、向量及向量运算的几何含义向量及向量运算的几何含义5 5、向量的线性表示举例、向量的线性表示举例例例4 4 已知向量已知向量 ，请用向量，请用向量u u和和v v来线性表示向量来线性表示向量w w，并用，并用MATLABMATLAB绘制出线性
9、表示情况。绘制出线性表示情况。解：求解方程组解：求解方程组，解得：，解得：第17页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g04.m g04.m，可以得到图形：，可以得到图形：第18页，共39页，编辑于2022年，星期一三、三、向量组线性相关性的几何含义向量组线性相关性的几何含义1 1、若两个向量的夹角不为零（不共线），则这、若两个向量的夹角不为零（不共线），则这 两个向量线性无关两个向量线性无关2 2、若两个向量的夹角为零（共线），则这两个、若两个向量的夹角为零（共线），则这两个 向量线性相关向量线性相关3 3、若三个向量不共面
10、，则这三个向量线性无关、若三个向量不共面，则这三个向量线性无关4 4、若三个向量共面，则这三个向量线性相关、若三个向量共面，则这三个向量线性相关第19页，共39页，编辑于2022年，星期一三、三、向量组线性相关性的几何含义向量组线性相关性的几何含义5 5、三个、三个3 3维向量线性相关性的判断维向量线性相关性的判断例例5 5 分析向量组分析向量组的线性相关性，的线性相关性，并用并用MATLABMATLAB绘制其图形。绘制其图形。解：设解：设A=(u,v,w)A=(u,v,w)，计算，计算A A的行列式的行列式|A|A|，可以判断其线性相，可以判断其线性相关性。关性。第20页，共39页，编辑于2
11、022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口中运行程序命令窗口中运行程序 g05.m g05.m，可以得到图形：，可以得到图形：第21页，共39页，编辑于2022年，星期一四、行列式四、行列式的几何含义的几何含义1 1、行列式的几何含义、行列式的几何含义设设u u、v v为二维列向量，以它们为相邻边构成的平行四边形的为二维列向量，以它们为相邻边构成的平行四边形的面积为矩阵面积为矩阵A=(u,v)A=(u,v)的行列式的行列式|A|A|的绝对值。的绝对值。设设u u、v v，w w为三维列向量，以它们为相邻棱构成的平行六面为三维列向量，以它们为相邻棱构成的平行六面体的体积为矩阵体的体积
12、为矩阵A=(u,v,w)A=(u,v,w)的行列式的行列式|A|A|的绝对值。的绝对值。第22页，共39页，编辑于2022年，星期一四、行列式四、行列式的几何含义的几何含义2 2、行列式几何含义的应用举例、行列式几何含义的应用举例例例6 6（1 1）已知三角形）已知三角形ABCABC三个顶点的坐标分别为：三个顶点的坐标分别为：(1,2),(3,3),(4,1)(1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积；，计算该三角形的面积；（2 2）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3
13、),(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),(-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积。计算该九边形的面积。（3 3）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。第23页，共39页，编辑于2022年，星期一解：解：(1)(1)如图所示，三角形如图所示，三角形 ABC ABC 的面积就等于向量的面积就等于向量ABAB和向量和向量ACAC所所构成平行四边形面积的一半。其中：构成平行四边形面积的一半。其中：第24页，共39页，编辑于2022年，星期一解：解：(2)
14、(2)如图所示，凸九边形面积是由如图所示，凸九边形面积是由9-2=79-2=7个三角形面积组成。个三角形面积组成。第25页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g06.mg06.m，即可以算出三角形和九，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：边形面积，同时可以得到图形：第26页，共39页，编辑于2022年，星期一五、线性变换的五、线性变换的几何含义几何含义1 1、线性变换几何含义举例、线性变换几何含义举例例例7 7 已知向量已知向量 。请分析经过线性变换。请分析经过线性变换 后，向量后，向量 与向量与向量 的几何关系。其中的
15、几何关系。其中 分别为：分别为：第27页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g07.mg07.m，可以得到图形：，可以得到图形：第28页，共39页，编辑于2022年，星期一五、线性变换的五、线性变换的几何含义几何含义2 2、特征向量几何含义的举例、特征向量几何含义的举例例例8 8 已知矩阵已知矩阵MATLABMATLAB分析特征向量的几何含义。分析特征向量的几何含义。，求它们的特征值和特征向量，并用，求它们的特征值和特征向量，并用第29页，共39页，编辑于2022年，星期一解：用解：用MATLABMATLAB求矩阵特征值和特征向量的
16、方法为：求矩阵特征值和特征向量的方法为：用用MATLABMATLAB演示矩阵演示矩阵A A的特征向量几何含义的命令为：的特征向量几何含义的命令为：（1 1）r=eig(A),r=eig(A),列向量列向量r r为矩阵为矩阵A A的特征值的特征值（2 2）V,D=eig(A)V,D=eig(A)，对角矩阵，对角矩阵D D的对角线元素为矩阵的对角线元素为矩阵A A的特征值，的特征值，矩阵矩阵V V的列向量为矩阵的列向量为矩阵A A的特征向量。的特征向量。eigshow(A)eigshow(A)第30页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序
17、g08.mg08.m，可以分别得到图形：，可以分别得到图形：第31页，共39页，编辑于2022年，星期一五、线性变换的五、线性变换的几何含义几何含义3 3、线性变换应用举例（刚体的平面运动）、线性变换应用举例（刚体的平面运动）例例9 9 用下列数据表示一个用下列数据表示一个“A A”形状的刚体。形状的刚体。利用线性变换，对该刚体进行以下平面运动。利用线性变换，对该刚体进行以下平面运动。（1 1）向上移动）向上移动1515，向左移动，向左移动3030；（2 2）先逆时针转动）先逆时针转动90,90,然后向上移动然后向上移动3030，向右移动，向右移动2020；（3 3）先向上移动）先向上移动30
18、30，向右移动，向右移动20,20,然后逆时针转动然后逆时针转动9090。x04610853.56.16.53.220y014140011664.54.500第32页，共39页，编辑于2022年，星期一解：用解：用3 3n的矩阵的矩阵X X来表示刚体图形，其中第来表示刚体图形，其中第3 3行全为行全为1 1。设平移矩阵为：设平移矩阵为：，平移变换为：，平移变换为：。转动矩阵为：转动矩阵为：，转动变换为：，转动变换为：。第33页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g09.mg09.m，可以得到图形：，可以得到图形：第34页，共39页，
19、编辑于2022年，星期一六、二次型的六、二次型的几何含义几何含义1 1、利用正交变换化二次型为标准形的几何含义。、利用正交变换化二次型为标准形的几何含义。例例10 10 用正交变换，把下列二次型化为标准形，并讨论变换前后所用正交变换，把下列二次型化为标准形，并讨论变换前后所对应的二次曲线对应的二次曲线 及及 。解：用解：用MATLABMATLAB命令命令eigeig可以算出二次型矩阵的特征值分别为：可以算出二次型矩阵的特征值分别为：4.38204.3820，6.6180 6.6180 和和3.70163.7016，-2.7016-2.7016。第35页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在
20、MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g10.mg10.m，可以得到图形：，可以得到图形：第36页，共39页，编辑于2022年，星期一六、二次型的六、二次型的几何含义几何含义2 2、二次型正定、负定的几何含义。、二次型正定、负定的几何含义。例例11 11 分析下列二次型的正定性，并画出对应的二次曲面分析下列二次型的正定性，并画出对应的二次曲面 。第37页，共39页，编辑于2022年，星期一 在在MATLABMATLAB命令窗口运行程序命令窗口运行程序g11.mg11.m，可以得到图形：，可以得到图形：第38页，共39页，编辑于2022年，星期一谢谢！谢谢！第39页，共39页，编辑于2022年，星期一