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1、分析化学的误差分析第1页，共89页，编辑于2022年，星期五3-1 3-1 误差误差误差误差(Error)(Error)及其产生的原因及其产生的原因及其产生的原因及其产生的原因 误差：测定结果与真实值之间的差值。误差：测定结果与真实值之间的差值。误差：测定结果与真实值之间的差值。误差：测定结果与真实值之间的差值。一、系统误差一、系统误差一、系统误差一、系统误差(Systematic Error)(Systematic Error)指由于某些固定原因所导致的误差。指由于某些固定原因所导致的误差。指由于某些固定原因所导致的误差。指由于某些固定原因所导致的误差。特点：特点：特点：特点：“重复性重复性
2、重复性重复性”、“单向性单向性单向性单向性”、“可测性可测性可测性可测性”。第2页，共89页，编辑于2022年，星期五 1.1.仪器和试剂引起的误差仪器和试剂引起的误差仪器和试剂引起的误差仪器和试剂引起的误差 由于仪器本身的缺陷所造成的误差叫仪器误由于仪器本身的缺陷所造成的误差叫仪器误由于仪器本身的缺陷所造成的误差叫仪器误由于仪器本身的缺陷所造成的误差叫仪器误差。差。差。差。由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质而由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质而由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质而由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质而引起的误差叫试剂误差。引起的误差叫试剂误差。引起的误差叫试剂误差。引起的误差叫
3、试剂误差。第3页，共89页，编辑于2022年，星期五 2.2.个人操作上引起的误差个人操作上引起的误差个人操作上引起的误差个人操作上引起的误差 由于操作不当或主观原因而引起的误差称为操作误差。由于操作不当或主观原因而引起的误差称为操作误差。由于操作不当或主观原因而引起的误差称为操作误差。由于操作不当或主观原因而引起的误差称为操作误差。3.3.方法误差方法误差方法误差方法误差 由所采用的分析方法本身的固有特性所引起。由所采用的分析方法本身的固有特性所引起。由所采用的分析方法本身的固有特性所引起。由所采用的分析方法本身的固有特性所引起。反应不能定量地完成或者有副反应；反应不能定量地完成或者有副反应
4、；反应不能定量地完成或者有副反应；反应不能定量地完成或者有副反应；干扰成分的存在；干扰成分的存在；干扰成分的存在；干扰成分的存在；在重量分析中沉淀的溶解损失，共沉淀和后沉淀的在重量分析中沉淀的溶解损失，共沉淀和后沉淀的在重量分析中沉淀的溶解损失，共沉淀和后沉淀的在重量分析中沉淀的溶解损失，共沉淀和后沉淀的 现象，灼烧沉淀时部分挥发损失或称量形式具有吸现象，灼烧沉淀时部分挥发损失或称量形式具有吸现象，灼烧沉淀时部分挥发损失或称量形式具有吸现象，灼烧沉淀时部分挥发损失或称量形式具有吸 湿性等；湿性等；湿性等；湿性等；在滴定分析中，滴定终点与化学计量点不相符。在滴定分析中，滴定终点与化学计量点不相符
5、。在滴定分析中，滴定终点与化学计量点不相符。在滴定分析中，滴定终点与化学计量点不相符。第4页，共89页，编辑于2022年，星期五 系统误差的性质：系统误差的性质：系统误差的性质：系统误差的性质：系统误差会在多次测定中重复出现；系统误差会在多次测定中重复出现；系统误差会在多次测定中重复出现；系统误差会在多次测定中重复出现；系统误差具有单向性；系统误差具有单向性；系统误差具有单向性；系统误差具有单向性；系统误差的数值基本是恒定不变的。系统误差的数值基本是恒定不变的。系统误差的数值基本是恒定不变的。系统误差的数值基本是恒定不变的。二、偶然误差二、偶然误差二、偶然误差二、偶然误差(Accident E
6、rror)(Accident Error)指由于某些偶然的、微小的和不可知的因指由于某些偶然的、微小的和不可知的因指由于某些偶然的、微小的和不可知的因指由于某些偶然的、微小的和不可知的因素所引起的误差。素所引起的误差。素所引起的误差。素所引起的误差。这类误差是不固定的，或大或小，时正时这类误差是不固定的，或大或小，时正时这类误差是不固定的，或大或小，时正时这类误差是不固定的，或大或小，时正时负。负。负。负。第5页，共89页，编辑于2022年，星期五 例：取一个瓷坩埚，在同一天平上用同一砝码例：取一个瓷坩埚，在同一天平上用同一砝码例：取一个瓷坩埚，在同一天平上用同一砝码例：取一个瓷坩埚，在同一天
7、平上用同一砝码进行称重，得到下面的克数：进行称重，得到下面的克数：进行称重，得到下面的克数：进行称重，得到下面的克数：29.3465 29.3463 29.3465 29.3463 29.3464 29.3466 29.3464 29.3466 为什么四次称重数据会不同呢？为什么四次称重数据会不同呢？为什么四次称重数据会不同呢？为什么四次称重数据会不同呢？第6页，共89页，编辑于2022年，星期五 正态分布有三种性质：正态分布有三种性质：正态分布有三种性质：正态分布有三种性质：离散性；离散性；离散性；离散性；集中趋势；集中趋势；集中趋势；集中趋势；对称性。对称性。对称性。对称性。误差的正态分布
8、曲线误差的正态分布曲线误差的正态分布曲线误差的正态分布曲线第7页，共89页，编辑于2022年，星期五 3-2 3-2 测定值的准确度与精密度测定值的准确度与精密度测定值的准确度与精密度测定值的准确度与精密度 一、准确度一、准确度一、准确度一、准确度一、准确度一、准确度(AccuracyAccuracy)与误差与误差与误差与误差与误差与误差(ErrorErrorError)准确度：准确度：准确度：准确度：准确度：准确度：测定值与真实值的符合程度。测定值与真实值的符合程度。测定值与真实值的符合程度。测定值与真实值的符合程度。测定值与真实值的符合程度。测定值与真实值的符合程度。准确度较现实的定义：准
9、确度较现实的定义：准确度较现实的定义：准确度较现实的定义：准确度较现实的定义：准确度较现实的定义：“测得值与公认真实值相符合的测得值与公认真实值相符合的测得值与公认真实值相符合的测得值与公认真实值相符合的测得值与公认真实值相符合的测得值与公认真实值相符合的程度程度程度程度程度程度”。绝对误差：绝对误差：绝对误差：绝对误差：测得值与真实值之差测得值与真实值之差测得值与真实值之差测得值与真实值之差 绝对误差（绝对误差（绝对误差（绝对误差（绝对误差（绝对误差（E Ea aa）=测得值（测得值（测得值（测得值（测得值（测得值（X XXi ii）-真实值（真实值（真实值（真实值（真实值（真实值（T T
10、T）例如：例如：例如：例如：例如：例如：测定某铜合金中铜的含量，测定结果为测定某铜合金中铜的含量，测定结果为测定某铜合金中铜的含量，测定结果为测定某铜合金中铜的含量，测定结果为测定某铜合金中铜的含量，测定结果为测定某铜合金中铜的含量，测定结果为80.18%80.18%80.18%，已知真实结果为已知真实结果为已知真实结果为已知真实结果为80.13%80.13%，则，则，则，则 绝对误差（绝对误差（绝对误差（绝对误差（E Ea a）=80.18%-80.13%=+0.05%=80.18%-80.13%=+0.05%=80.18%-80.13%=+0.05%第8页，共89页，编辑于2022年，星期
11、五 相对误差：相对误差：相对误差：相对误差：误差在分析结果中所占的百误差在分析结果中所占的百误差在分析结果中所占的百误差在分析结果中所占的百分率或千分率分率或千分率分率或千分率分率或千分率 例如：上面测铜的结果，其相对误差为例如：上面测铜的结果，其相对误差为例如：上面测铜的结果，其相对误差为例如：上面测铜的结果，其相对误差为第9页，共89页，编辑于2022年，星期五 例：例：例：例：例：例：用分析天平称量两个试样，称得用分析天平称量两个试样，称得用分析天平称量两个试样，称得用分析天平称量两个试样，称得1 1号为号为号为号为号为号为1.7542g1.7542g1.7542g，2 2号为号为号为号
12、为号为号为0.1754g0.1754g。假定二者的真实质量各为。假定二者的真实质量各为。假定二者的真实质量各为。假定二者的真实质量各为1.7543g1.7543g和和和和和和0.1755g0.1755g0.1755g，则两，则两，则两，则两，则两，则两者称量的绝对误差分别为：者称量的绝对误差分别为：者称量的绝对误差分别为：者称量的绝对误差分别为：者称量的绝对误差分别为：者称量的绝对误差分别为：1 1号：号：号：号：E E1 1=1.7542-1.7543=-0.0001(g)=1.7542-1.7543=-0.0001(g)2 2号：号：号：号：E E2 2=0.1754-0.1755=-0.
13、0001(g)=0.1754-0.1755=-0.0001(g)两者称量的相对误差分别为：两者称量的相对误差分别为：两者称量的相对误差分别为：两者称量的相对误差分别为：1 1号：号：号：号：2 2号：号：号：号：第10页，共89页，编辑于2022年，星期五 例：例：例：例：用沉淀滴定法测得纯用沉淀滴定法测得纯用沉淀滴定法测得纯用沉淀滴定法测得纯NaClNaCl试剂中氯的百分含试剂中氯的百分含试剂中氯的百分含试剂中氯的百分含量为量为量为量为60.53%,60.53%,计算绝对误差和相对误差。计算绝对误差和相对误差。计算绝对误差和相对误差。计算绝对误差和相对误差。解：纯解：纯解：纯解：纯NaClN
14、aCl试剂中试剂中试剂中试剂中Cl%Cl%的理论值是的理论值是的理论值是的理论值是绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差E Ea a=60.53%-60.66%=-0.13%=60.53%-60.66%=-0.13%第11页，共89页，编辑于2022年，星期五 结论结论结论结论:(1)(1)绝对误差相等，相对误差并不一定相同绝对误差相等，相对误差并不一定相同;(2)(2)同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对 误差就比较小误差就比较小,测定的准确度也就比较高测定的准确度也就比较高;(3)(3)用相对误差来表示各种情况下测定结果的准用相对误差来表示各种情况下测定结
15、果的准 确度更为确切确度更为确切;(4)(4)绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值 表示分析结果偏高，负值表示分析结果偏低表示分析结果偏高，负值表示分析结果偏低;(5)(5)实际工作中，真值实际上是无法获得实际工作中，真值实际上是无法获得;常用纯常用纯 物质的理论值、国家标准局提供的标准参考物质的理论值、国家标准局提供的标准参考 物质的证书上给出的数值、或多次测定结果物质的证书上给出的数值、或多次测定结果 的平均值当作真值。的平均值当作真值。第12页，共89页，编辑于2022年，星期五二、精密度二、精密度二、精密度二、精密度(PrecisionPreci
16、sion)与偏差与偏差与偏差与偏差(DeviationDeviation)在相同条件下多次测定结果相互吻合的程度就叫精密度，在相同条件下多次测定结果相互吻合的程度就叫精密度，在相同条件下多次测定结果相互吻合的程度就叫精密度，在相同条件下多次测定结果相互吻合的程度就叫精密度，用偏差来量度。用偏差来量度。用偏差来量度。用偏差来量度。1.1.绝对偏差（绝对偏差（绝对偏差（绝对偏差（绝对偏差（绝对偏差（d di i）绝对偏差（绝对偏差（绝对偏差（绝对偏差（d di i）=个别测得值（个别测得值（个别测得值（个别测得值（x xi i）-测得平均值测得平均值测得平均值测得平均值()()2.2.相对偏差相对
17、偏差相对偏差相对偏差（式中（式中n为测定总次数）为测定总次数）第13页，共89页，编辑于2022年，星期五3.3.算术平均偏差算术平均偏差算术平均偏差算术平均偏差（）4.4.相对平均偏差相对平均偏差相对平均偏差相对平均偏差第14页，共89页，编辑于2022年，星期五5.标准偏差标准偏差（S）6.相对标准偏差（变异系数）相对标准偏差（变异系数）第15页，共89页，编辑于2022年，星期五例：例：例：例：例：例：P.47 P.47 例例例例3-2 3-2 3-2 （略）（略）（略）（略）例：例：例：例：用碘量法测得某铜合金中铜的质量分数用碘量法测得某铜合金中铜的质量分数用碘量法测得某铜合金中铜的质
18、量分数用碘量法测得某铜合金中铜的质量分数(%)(%)为：为：为：为：第第第第1 1批测定结果：批测定结果：批测定结果：批测定结果：10.3,9.8,10.3,9.8,9.69.6,10.2,10.1,10.2,10.1,10.410.4,10.0,9.7,10.2,9.7,10.0,9.7,10.2,9.7 第第第第2 2批测定结果批测定结果批测定结果批测定结果 10.0,10.1,10.0,10.1,9.39.3,10.2,9.9,9.8,10.2,9.9,9.8,10.510.5,9.8,10.3,9.9 ,9.8,10.3,9.9 比较两批数据的精密度，分别以平均偏差和标准偏差比较两批数
19、据的精密度，分别以平均偏差和标准偏差比较两批数据的精密度，分别以平均偏差和标准偏差比较两批数据的精密度，分别以平均偏差和标准偏差表示之。表示之。表示之。表示之。计算结果：计算结果：计算结果：计算结果：S S1 1 S S2 2故故故故 第第第第1 1组数据的精密度较第组数据的精密度较第组数据的精密度较第组数据的精密度较第2 2组高组高组高组高第16页，共89页，编辑于2022年，星期五标准偏差的计算公式变换形式，导出一个等效公式标准偏差的计算公式变换形式，导出一个等效公式 7.7.平均值的标准偏差平均值的标准偏差平均值的标准偏差平均值的标准偏差（n n ）三、准确度三、准确度三、准确度三、准确
20、度(AccuracyAccuracyAccuracy)与精密度与精密度与精密度与精密度(PrecisionPrecisionPrecision)的关系的关系的关系的关系第17页，共89页，编辑于2022年，星期五 用四种分析方法各作了用四种分析方法各作了4次次测定的测定结果。图测定的测定结果。图中中“小圆点小圆点”表示个别测定结果，表示个别测定结果，“虚线虚线”代表真值：代表真值：37.4，“竖实线竖实线”代表平均结果。代表平均结果。第18页，共89页，编辑于2022年，星期五 测定结果：测定结果：测定结果：测定结果：1.1.准确度和精密度都很高；准确度和精密度都很高；准确度和精密度都很高；准
21、确度和精密度都很高；2.2.精密度高，准确度不高；精密度高，准确度不高；精密度高，准确度不高；精密度高，准确度不高；3.3.准确度和精密度都很差；准确度和精密度都很差；准确度和精密度都很差；准确度和精密度都很差；4.4.精密度很差，结果不可靠，已失去衡量准精密度很差，结果不可靠，已失去衡量准精密度很差，结果不可靠，已失去衡量准精密度很差，结果不可靠，已失去衡量准确度的前提。确度的前提。确度的前提。确度的前提。结论：精密度高是保证准确度高的先决结论：精密度高是保证准确度高的先决结论：精密度高是保证准确度高的先决结论：精密度高是保证准确度高的先决条件；但精密度高不一定准确度就高；若精条件；但精密度
22、高不一定准确度就高；若精条件；但精密度高不一定准确度就高；若精条件；但精密度高不一定准确度就高；若精密度很低，说明测定结果不可靠，在这种情密度很低，说明测定结果不可靠，在这种情密度很低，说明测定结果不可靠，在这种情密度很低，说明测定结果不可靠，在这种情况下，自然失去了衡量准确度的前提。况下，自然失去了衡量准确度的前提。况下，自然失去了衡量准确度的前提。况下，自然失去了衡量准确度的前提。第19页，共89页，编辑于2022年，星期五3-33-3随机误差的正态分布随机误差的正态分布随机误差的正态分布随机误差的正态分布一、数据处理中常用名词的一、数据处理中常用名词的一、数据处理中常用名词的一、数据处理
23、中常用名词的 含义含义含义含义 1.1.总体、样本和个体总体、样本和个体总体、样本和个体总体、样本和个体 在统计学中，所研究对象在统计学中，所研究对象在统计学中，所研究对象在统计学中，所研究对象的全体称为的全体称为的全体称为的全体称为总体总体总体总体（又叫（又叫（又叫（又叫母体母体母体母体），），），），其中的一个基本单元称为其中的一个基本单元称为其中的一个基本单元称为其中的一个基本单元称为个个个个体体体体。从总体中随机抽取出来。从总体中随机抽取出来。从总体中随机抽取出来。从总体中随机抽取出来的部分个体的集合体称为的部分个体的集合体称为的部分个体的集合体称为的部分个体的集合体称为样样样样本本本
24、本（又叫（又叫（又叫（又叫子样子样子样子样）。）。）。）。第20页，共89页，编辑于2022年，星期五2.2.样本容量（样本大小）样本容量（样本大小）样本容量（样本大小）样本容量（样本大小）样本中所含数据（如测定值）的个数称为样本中所含数据（如测定值）的个数称为样本中所含数据（如测定值）的个数称为样本中所含数据（如测定值）的个数称为样本容样本容样本容样本容量量量量，用，用，用，用n n表示。表示。表示。表示。3.3.3.算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值 （简称平均值）（简称平均值）（简称平均值）（简称平均值）算术平均值是一组精密度相等的测定值的平均值。算术平均值是一组精密度相等的测定值
25、的平均值。算术平均值是一组精密度相等的测定值的平均值。算术平均值是一组精密度相等的测定值的平均值。样本平均值样本平均值样本平均值样本平均值样本平均值样本平均值 总体平均值总体平均值总体平均值总体平均值：当测定次数当测定次数当测定次数当测定次数n n 时，样本平均值就时，样本平均值就时，样本平均值就时，样本平均值就等于总体平均值，即等于总体平均值，即等于总体平均值，即等于总体平均值，即（n ）第21页，共89页，编辑于2022年，星期五4.4.中位数（中位数（中位数（中位数（MM）中位数（中位数（中位数（中位数（MM）是指将一组测定值按一定）是指将一组测定值按一定）是指将一组测定值按一定）是指将
26、一组测定值按一定大小顺序排列时的中间项的数值。大小顺序排列时的中间项的数值。大小顺序排列时的中间项的数值。大小顺序排列时的中间项的数值。第22页，共89页，编辑于2022年，星期五 5.5.标准偏差标准偏差标准偏差标准偏差(Standard Deviation)(Standard Deviation)方差的平方根为标准偏差（简称标准差）方差的平方根为标准偏差（简称标准差）方差的平方根为标准偏差（简称标准差）方差的平方根为标准偏差（简称标准差）样本标准样本标准样本标准样本标准偏偏偏偏差差差差 总体标准总体标准总体标准总体标准偏偏偏偏差差差差（n ）第23页，共89页，编辑于2022年，星期五 8
27、.8.相对标准偏差相对标准偏差相对标准偏差相对标准偏差(Relative Standard Deviation)(Relative Standard Deviation)（又称变异系数或变差系数）（又称变异系数或变差系数）（又称变异系数或变差系数）（又称变异系数或变差系数）9.9.平均偏差平均偏差平均偏差平均偏差 和相对平均偏差和相对平均偏差和相对平均偏差和相对平均偏差第24页，共89页，编辑于2022年，星期五10.10.极差极差极差极差R R（全距）（全距）（全距）（全距）在一组数据中最大值与最小值之差称为极差在一组数据中最大值与最小值之差称为极差在一组数据中最大值与最小值之差称为极差在一
28、组数据中最大值与最小值之差称为极差（又叫全距），用（又叫全距），用（又叫全距），用（又叫全距），用R R表示。即表示。即表示。即表示。即 R=XR=X最大最大最大最大-X-X最小最小最小最小 例：分析某铁矿试样中铁的含量，得到下列数例：分析某铁矿试样中铁的含量，得到下列数例：分析某铁矿试样中铁的含量，得到下列数例：分析某铁矿试样中铁的含量，得到下列数据：据：据：据：37.45%37.45%、37.30%37.30%、37.20%37.20%、37.50%37.50%、37.25%37.25%，计算分析结果的算术平均值、中位数、，计算分析结果的算术平均值、中位数、，计算分析结果的算术平均值、中位
29、数、，计算分析结果的算术平均值、中位数、标准差、相对标准差（变异系数）、平均偏差、标准差、相对标准差（变异系数）、平均偏差、标准差、相对标准差（变异系数）、平均偏差、标准差、相对标准差（变异系数）、平均偏差、相对平均偏差和极差。数据列入下表：相对平均偏差和极差。数据列入下表：相对平均偏差和极差。数据列入下表：相对平均偏差和极差。数据列入下表：第25页，共89页，编辑于2022年，星期五第26页，共89页，编辑于2022年，星期五 中位数中位数中位数中位数 M=37.30%M=37.30%标准标准标准标准偏偏偏偏差差差差 极差极差极差极差R=37.50%-37.20%=0.3%R=37.50%-
30、37.20%=0.3%分析结果报导如下：分析结果报导如下：分析结果报导如下：分析结果报导如下：n=5n=5；=37.34%=37.34%；S=0.13%S=0.13%相对标准差相对标准差相对标准差相对标准差%=0.35%=0.35%平均偏差平均偏差平均偏差平均偏差 第27页，共89页，编辑于2022年，星期五11.11.频数频数频数频数 将平行测定次数足够多的数据划分为若干组，将平行测定次数足够多的数据划分为若干组，将平行测定次数足够多的数据划分为若干组，将平行测定次数足够多的数据划分为若干组，落入每一个组内的数据个数叫该组数据的频数。落入每一个组内的数据个数叫该组数据的频数。落入每一个组内的
31、数据个数叫该组数据的频数。落入每一个组内的数据个数叫该组数据的频数。12.12.相对频数相对频数相对频数相对频数 频数与所测数据总个数（样本容量）之比值，频数与所测数据总个数（样本容量）之比值，频数与所测数据总个数（样本容量）之比值，频数与所测数据总个数（样本容量）之比值，叫相对频数。叫相对频数。叫相对频数。叫相对频数。13.13.概率密度概率密度概率密度概率密度 各组数据的各组数据的各组数据的各组数据的相对频数（概率）除以组距相对频数（概率）除以组距相对频数（概率）除以组距相对频数（概率）除以组距就是就是就是就是概率密度。概率密度。概率密度。概率密度。组距就是最大值与最小值之差除以组数。组距
32、就是最大值与最小值之差除以组数。组距就是最大值与最小值之差除以组数。组距就是最大值与最小值之差除以组数。第28页，共89页，编辑于2022年，星期五 例：教材例：教材例：教材例：教材P.49P.49 在相同条件下对某试样中镍的质量分数在相同条件下对某试样中镍的质量分数在相同条件下对某试样中镍的质量分数在相同条件下对某试样中镍的质量分数（%）进行重复测定，共测定）进行重复测定，共测定）进行重复测定，共测定）进行重复测定，共测定9090次，其结果见书次，其结果见书次，其结果见书次，其结果见书上（表）。上（表）。上（表）。上（表）。9090个测定值，分为个测定值，分为个测定值，分为个测定值，分为9
33、9组，其组距为：组，其组距为：组，其组距为：组，其组距为：若要求第若要求第若要求第若要求第5 5组数据的概率密度，可先查教材组数据的概率密度，可先查教材组数据的概率密度，可先查教材组数据的概率密度，可先查教材P.50P.50表求表求表求表求得第得第得第得第5 5组的相对频数（概率）组的相对频数（概率）组的相对频数（概率）组的相对频数（概率）=0.244=0.244第29页，共89页，编辑于2022年，星期五二、测定值的频数分布二、测定值的频数分布二、测定值的频数分布二、测定值的频数分布 算出极差算出极差算出极差算出极差算出极差算出极差R R R（即全距）（即全距）（即全距）（即全距）R=XR=
34、X最大最大最大最大 -X-X最小最小最小最小 =1.74-1.49=0.25=1.74-1.49=0.25 确定组数和组距确定组数和组距确定组数和组距确定组数和组距确定组数和组距确定组数和组距 组数：组数：组数：组数：9 9组组组组 组距：最大值减最小值除以组数组距：最大值减最小值除以组数组距：最大值减最小值除以组数组距：最大值减最小值除以组数 组距值表明：组距值表明：组距值表明：组距值表明：每组内两个数据间相差每组内两个数据间相差每组内两个数据间相差每组内两个数据间相差0.030.03。即。即。即。即 1.481.51 1.481.51 1.481.51，1.511.54 1.511.54
35、1.511.54，1.4851.5151.4851.515，1.5151.545 1.5151.545 1.5151.545，1.5451.575 1.5451.575 1.5451.575，第30页，共89页，编辑于2022年，星期五 统计频数和计算相对频数统计频数和计算相对频数统计频数和计算相对频数统计频数和计算相对频数 将组值范围、频数和相对频数列入表中，将组值范围、频数和相对频数列入表中，将组值范围、频数和相对频数列入表中，将组值范围、频数和相对频数列入表中，即可得频数分布表（见四师即可得频数分布表（见四师即可得频数分布表（见四师即可得频数分布表（见四师P.49P.49表）。表）。表）
36、。表）。第31页，共89页，编辑于2022年，星期五 绘直方图绘直方图绘直方图绘直方图 若以组界值为横坐标，相对频数若以组界值为横坐标，相对频数若以组界值为横坐标，相对频数若以组界值为横坐标，相对频数(频率频率频率频率)为为为为纵坐标作图，可得相对频数分布直方图（教材纵坐标作图，可得相对频数分布直方图（教材纵坐标作图，可得相对频数分布直方图（教材纵坐标作图，可得相对频数分布直方图（教材P.49P.49，图，图，图，图3-33-3）。）。）。）。由于相对频数（概率）的总和为由于相对频数（概率）的总和为由于相对频数（概率）的总和为由于相对频数（概率）的总和为1 1，所以相对，所以相对，所以相对，所
37、以相对频数直方图上长方形的总面积为频数直方图上长方形的总面积为频数直方图上长方形的总面积为频数直方图上长方形的总面积为1 1。三、随机误差的正态分布三、随机误差的正态分布三、随机误差的正态分布三、随机误差的正态分布1.1.正态分布正态分布正态分布正态分布(Normal Distribution)N(Normal Distribution)N（，2 2）第32页，共89页，编辑于2022年，星期五随机误差有以下的规律性：随机误差有以下的规律性：随机误差有以下的规律性：随机误差有以下的规律性：偏差大小相等、符号相反的偏差大小相等、符号相反的偏差大小相等、符号相反的偏差大小相等、符号相反的 测定值出
38、现的概率大致相等；测定值出现的概率大致相等；测定值出现的概率大致相等；测定值出现的概率大致相等；高斯正态分布的数学表达式：高斯正态分布的数学表达式：高斯正态分布的数学表达式：高斯正态分布的数学表达式：偏差小的测定值比偏差较大的测定值出现的概率多，偏差小的测定值比偏差较大的测定值出现的概率多，偏差小的测定值比偏差较大的测定值出现的概率多，偏差小的测定值比偏差较大的测定值出现的概率多，偏差很大的测定值出现的概率极小；偏差很大的测定值出现的概率极小；偏差很大的测定值出现的概率极小；偏差很大的测定值出现的概率极小；各测定值的算术平均值比个别测定值的可靠性要大。各测定值的算术平均值比个别测定值的可靠性要
39、大。各测定值的算术平均值比个别测定值的可靠性要大。各测定值的算术平均值比个别测定值的可靠性要大。第33页，共89页，编辑于2022年，星期五 平均值平均值平均值平均值 相同，精密度相同，精密度相同，精密度相同，精密度 不同（不同（不同（不同（1 12 2）的两个系列测定的）的两个系列测定的）的两个系列测定的）的两个系列测定的正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线:若精密度若精密度若精密度若精密度 相同，平均值相同，平均值相同，平均值相同，平均值 不同（不同（不同（不同（1 12 21u1u1，则面积为则面积为则面积为则面积为则面积为则面积为0.5-0.3413=0.15870.5-0
40、.3413=0.15870.5-0.3413=0.1587，几率为，几率为，几率为，几率为，几率为，几率为15.9%15.9%15.9%如果如果如果如果u2.0,u2.0,则面积为则面积为则面积为则面积为0.5-0.4773=0.02260.5-0.4773=0.0226，几，几，几，几 率率率率为为为为2.3%2.3%则在该范围内出现的几率分别为则在该范围内出现的几率分别为则在该范围内出现的几率分别为则在该范围内出现的几率分别为50%50%。第43页，共89页，编辑于2022年，星期五对于任何正态分布，测定值落在区间（对于任何正态分布，测定值落在区间（对于任何正态分布，测定值落在区间（对于任
41、何正态分布，测定值落在区间（a a，b b）的概率）的概率）的概率）的概率P P为：为：为：为：或写成一般式：或写成一般式：或写成一般式：或写成一般式：第44页，共89页，编辑于2022年，星期五 例例例例3 3：某数值：某数值：某数值：某数值x x落在平均值的落在平均值的落在平均值的落在平均值的2 2个标准偏差（个标准偏差（个标准偏差（个标准偏差（）以）以）以）以内的概率是多少？落在平均值的内的概率是多少？落在平均值的内的概率是多少？落在平均值的内的概率是多少？落在平均值的3 3个标准偏差以个标准偏差以个标准偏差以个标准偏差以内的概率是多少？内的概率是多少？内的概率是多少？内的概率是多少？解
42、：查四师解：查四师解：查四师解：查四师P.54P.54表表表表3-13-1，u=2u=2时，面积为时，面积为时，面积为时，面积为0.47730.4773 概率为：概率为：概率为：概率为：当当当当u=3u=3时，面积为时，面积为时，面积为时，面积为0.49870.4987，于是出现的概率为：，于是出现的概率为：，于是出现的概率为：，于是出现的概率为：例例例例3-33-3 （题略）四师（题略）四师（题略）四师（题略）四师P.54 P.54 例例例例3-43-4（题略）四师（题略）四师（题略）四师（题略）四师P.54 P.54 第45页，共89页，编辑于2022年，星期五 1.1.假如对假如对假如对
43、假如对FeFe2 2OO3 3进行了多次测定。进行了多次测定。进行了多次测定。进行了多次测定。FeFe2 2OO3 3的平的平的平的平均含量均含量均含量均含量 为为为为11.04%11.04%，为为为为0.03%0.03%，试计算，试计算，试计算，试计算FeFe2 2OO3 3含量落在含量落在含量落在含量落在2 2个标准偏差以内的几率。个标准偏差以内的几率。个标准偏差以内的几率。个标准偏差以内的几率。2.2.已知某试样中含已知某试样中含已知某试样中含已知某试样中含CoCo的标准值为的标准值为的标准值为的标准值为1.75%1.75%，标，标，标，标准偏差准偏差准偏差准偏差=0.10%=0.10%
44、，设测量时无系统误差，求，设测量时无系统误差，求，设测量时无系统误差，求，设测量时无系统误差，求分析结果落在分析结果落在分析结果落在分析结果落在1.75%0.15%1.75%0.15%范围内的概率。范围内的概率。范围内的概率。范围内的概率。讨论讨论讨论讨论第46页，共89页，编辑于2022年，星期五讨论讨论讨论讨论 3.3.已知某试样中含已知某试样中含已知某试样中含已知某试样中含CoCo的标准值为的标准值为的标准值为的标准值为1.75%1.75%，标，标，标，标准偏差准偏差准偏差准偏差=0.10%=0.10%，设测量时无系统误差，求，设测量时无系统误差，求，设测量时无系统误差，求，设测量时无系
45、统误差，求分析结果大于分析结果大于分析结果大于分析结果大于2.00%2.00%的概率。的概率。的概率。的概率。4.4.求平均值求平均值求平均值求平均值-0.6-0.6至至至至+0.6+0.6区间内的概率。区间内的概率。区间内的概率。区间内的概率。5.5.对某试样中铁含量量进行了对某试样中铁含量量进行了对某试样中铁含量量进行了对某试样中铁含量量进行了130130次分析，分次分析，分次分析，分次分析，分析结果符合正态分布析结果符合正态分布析结果符合正态分布析结果符合正态分布N N（55.20%55.20%，0.20%0.20%），），），），求分析结果大于求分析结果大于求分析结果大于求分析结果大于
46、55.60%55.60%可能出现的次数。可能出现的次数。可能出现的次数。可能出现的次数。第47页，共89页，编辑于2022年，星期五 3-4 3-4 有限测定数据的统计处理有限测定数据的统计处理有限测定数据的统计处理有限测定数据的统计处理 一、置信度一、置信度一、置信度一、置信度(Confidence)(Confidence)与与与与 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间 (Confidence Enterval)(Confidence Enterval)真值落在某一指定范围内的概率就叫置信概率真值落在某一指定范围内的概率就叫置信概率真值落在某一指定范围内的概率就叫置信概率真值落在某一指定
47、范围内的概率就叫置信概率(或叫置信度或叫置信度或叫置信度或叫置信度,置信水平置信水平置信水平置信水平),),这个范围就叫做置信区间。这个范围就叫做置信区间。这个范围就叫做置信区间。这个范围就叫做置信区间。置信度置信度置信度置信度(Confidence)(Confidence)假设分析某钢样中的含磷量，四次平行测定的假设分析某钢样中的含磷量，四次平行测定的假设分析某钢样中的含磷量，四次平行测定的假设分析某钢样中的含磷量，四次平行测定的平均值为平均值为平均值为平均值为0.0087%0.0087%。已知。已知。已知。已知=0.0022%,=0.0022%,如果将分析结如果将分析结如果将分析结如果将分
48、析结果报告为：果报告为：果报告为：果报告为：根据置信区间公式根据置信区间公式根据置信区间公式根据置信区间公式：第48页，共89页，编辑于2022年，星期五表示成：表示成：表示成：表示成：或写成：或写成：或写成：或写成：第49页，共89页，编辑于2022年，星期五如果将分析结果报告为：如果将分析结果报告为：如果将分析结果报告为：如果将分析结果报告为：或或或或第50页，共89页，编辑于2022年，星期五 P P为为为为68.3%68.3%、95.5%95.5%、99.7%99.7%等表示在等表示在等表示在等表示在、22、33区间内包含真值的概率；区间内包含真值的概率；区间内包含真值的概率；区间内包
49、含真值的概率；在此区间外的概率称在此区间外的概率称在此区间外的概率称在此区间外的概率称为显著性水平，以为显著性水平，以为显著性水平，以为显著性水平，以 表示表示表示表示。第51页，共89页，编辑于2022年，星期五置信区间置信区间置信区间置信区间(Confidence Enterval)(Confidence Enterval)1.1.已知总体标准偏差已知总体标准偏差已知总体标准偏差已知总体标准偏差 时的置信区间时的置信区间时的置信区间时的置信区间单次测定值的单次测定值的单次测定值的单次测定值的置信区间置信区间置信区间置信区间平均值的置平均值的置平均值的置平均值的置信区间信区间信区间信区间四师
50、四师四师四师P.56 P.56 例例例例3-53-5（略）（略）（略）（略）第52页，共89页，编辑于2022年，星期五2.2.已知样本标准偏差已知样本标准偏差已知样本标准偏差已知样本标准偏差S S时的置信区间时的置信区间时的置信区间时的置信区间单次测定值的置单次测定值的置单次测定值的置单次测定值的置信区间信区间信区间信区间有限次测定有限次测定的平均值的的平均值的置信区间置信区间第53页，共89页，编辑于2022年，星期五t t分布曲线分布曲线分布曲线分布曲线从从从从t t值表和值表和值表和值表和u u值积分表看，值积分表看，值积分表看，值积分表看，随着自由度的增加，随着自由度的增加，随着自由