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1、数控技术插补第1页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础 在插补过程中，计算机应在规定的插补时间在插补过程中，计算机应在规定的插补时间t t内给出各坐标方向的增内给出各坐标方向的增X Xi iZ Zi i，因此实际因此实际的刀具位置为：的刀具位置为：第2页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础 由于给定的进给速度由于给定的进给速度F F大小不同及直线的斜率不同，因此大小不同及直线的斜率不同，因此X Xi iZ
2、 Zi i值随之变化。由图可知：值随之变化。由图可知：f fi i=F=Ft t。由于进给速度由于进给速度F F的单位为的单位为mm/minmm/min，为使为使f fi i单位为单位为mm/msmm/ms，则：则：又：又：因此：因此：第3页，共38页，编辑于2022年，星期六3.4.23.4.2扩展扩展DDADDA法圆弧插补法圆弧插补 将将DDADDA的切向逼近改变为割线逼近。具体还是计算一个插补周期的切向逼近改变为割线逼近。具体还是计算一个插补周期 t t内，轮内，轮廓步长廓步长L L的坐标分量的坐标分量 X Xi i和和 Y Yi i由右图经过推导由右图经过推导可得：可得：其中其中:新加
3、工点新加工点A Ai i 的坐标位置的坐标位置 特点：计算简单，速度快，精度高。特点：计算简单，速度快，精度高。BAiCXYMHQOAiAi-1第4页，共38页，编辑于2022年，星期六3.5 刀具半径补偿原理第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础 在轮廓加工过程中由于刀具的磨损或在轮廓加工过程中由于刀具的磨损或因换刀引起的因换刀引起的刀具半径变化刀具半径变化，或在粗加，或在粗加工和半精加工时，还要预留加工量，故刀工和半精加工时，还要预留加工量，故刀具中心的轨迹并不是零件的实际轮廓。第具中心的轨迹并不是零件的实际轮廓。第二章介绍了刀具半
4、径补偿功能，如图所示，二章介绍了刀具半径补偿功能，如图所示，根据根据ISO标准，当刀具中心轨迹在标准，当刀具中心轨迹在编程轨迹前进方向的右边是，称为编程轨迹前进方向的右边是，称为右刀补，用右刀补，用G42表示，反之为左刀补，表示，反之为左刀补，用用G41表示。表示。刀具刀具刀具中心刀具中心轨迹轨迹编程编程轨迹轨迹第5页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础 刀具半径补偿功能的作用要求数控系统根刀具半径补偿功能的作用要求数控系统根据工件轮廓程序和刀具中心偏移量，自动据工件轮廓程序和刀具中心偏移量，自动计
5、算出刀具中心轨迹。所以刀具半径不是计算出刀具中心轨迹。所以刀具半径不是在在CNCCNC系统内部由计算机自动完成的，编程系统内部由计算机自动完成的，编程人员只按零件图纸的轮廓编制加工程序。人员只按零件图纸的轮廓编制加工程序。在实际轮廓加工过程中，刀具半径补偿在实际轮廓加工过程中，刀具半径补偿的执行过程分为：的执行过程分为：刀补的建立刀补的进行刀补的建立刀补的进行和刀补撤销和刀补撤销三个步骤。三个步骤。第6页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础建立刀补建立刀补 执行刀补执行刀补 取消刀补取消刀补 刀具轨
6、迹中心刀具轨迹中心编程轨迹编程轨迹刀补进行刀补进行刀补建立刀补建立刀补撤销刀补撤销起始点起始点 本节介绍的主要内容：刀具半径补偿建立取消刀具中本节介绍的主要内容：刀具半径补偿建立取消刀具中心点与刀具轮廓起点和终点的位置关系；工件轮廓拐角时，心点与刀具轮廓起点和终点的位置关系；工件轮廓拐角时，刀具中心拐点与工件轮廓拐点的位置关系。刀具中心拐点与工件轮廓拐点的位置关系。第7页，共38页，编辑于2022年，星期六3.5.13.5.1直线两端点处刀具中心的位置直线两端点处刀具中心的位置 如图所示，刀具半径为如图所示，刀具半径为r，左刀补左刀补G41刀具中刀具中心轨迹心轨迹ab直线；右刀补直线；右刀补G
7、42刀具中心轨迹刀具中心轨迹cd直线。由图中的几何关系可知：直线。由图中的几何关系可知：a点点:Xa=XA-Ag Ya=YA+ga b点点:Xb=XB-Be Yb=YB+eb c点点:Xc=XA+Ah Yc=YA-hc d点点:Xd=XB+Bf Yd=YB-fd 由图可知：agA,agA,beB,beB,dfBdfB都与都与AMBAMB相似；相似；AM=X AM=XB B-X-XA A,MB=Y,MB=YB B-Y-YA A第8页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础a点点:Xa=XA-rsin Ya
8、=YA+rcosb点点:Xb=XB-rsin Yb=YB+rcos c点点:Xc=XA+rsin Yc=YA-rcos d点点:Xd=XB+rsin Yd=YB-rcos 因此因此:G41G41G42G42 若把若把c c点点中的中的r r值的符号改为负号，则和式值的符号改为负号，则和式a a点点中完全一样，因此再实际应用中，只用式前中完全一样，因此再实际应用中，只用式前两式计算直线端点处的刀具中心位置，在两式计算直线端点处的刀具中心位置，在G41G41方式下方式下r r取正值，在取正值，在G42G42方式下方式下r r取负值。取负值。第9页，共38页，编辑于2022年，星期六3.5.2 3.
9、5.2 圆弧两端点处刀具中心的位置圆弧两端点处刀具中心的位置如图所示圆弧如图所示圆弧AB是加工轮廓线，半径为是加工轮廓线，半径为R，加工方向是加工方向是从从A到到B,刀具半径为刀具半径为r，G41方式时，刀具中心轨迹是方式时，刀具中心轨迹是ab,G42方式时，刀具中心轨迹是方式时，刀具中心轨迹是cd.由图可知：由图可知：第10页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础顺圆顺圆G41G41G42G42 r r值在顺圆弧值在顺圆弧G41G41方式和逆圆弧方式和逆圆弧G42G42方式下方式下r r取正值，在顺
10、圆弧取正值，在顺圆弧G42G42方式和逆圆弧方式和逆圆弧G41G41方式下方式下r r取负值。取负值。第11页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础 工件轮廓有拐点时，工件轮廓有拐点时，拐点拐点可是可是直线与直线、直线与直线、直线与圆弧、直线与圆弧、圆圆弧与圆弧弧与圆弧的交点。图中的交点。图中AB,AD为刀具半径矢量。对应于编程轨为刀具半径矢量。对应于编程轨迹迹OA,AF，刀具中心轨迹刀具中心轨迹JB与与DK交点为交点为C.直线拐角时拐角的大小等于两直线矢量的夹角；直线与圆弧直线拐角时拐角的大小等于两
11、直线矢量的夹角；直线与圆弧连接时拐角的大小是直线矢量与拐点处圆弧切线矢量的夹角；连接时拐角的大小是直线矢量与拐点处圆弧切线矢量的夹角；圆弧与圆弧连接时是两圆弧在交点处切线矢量的夹角圆弧与圆弧连接时是两圆弧在交点处切线矢量的夹角。由于。由于两矢量夹角不同以及两矢量夹角不同以及G41,G42偏置方向不同，使刀具中心轨迹偏置方向不同，使刀具中心轨迹的转接方式有所不同，共有三种转接方式：的转接方式有所不同，共有三种转接方式：缩短型，伸长型和缩短型，伸长型和插入型。插入型。3.5.3 3.5.3 转接矢量计算转接矢量计算第12页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的
12、数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础伸长型伸长型（如图所示）（如图所示）在在G42方式下，两矢量夹角方式下，两矢量夹角:090 刀具中心越过刀具中心越过B点，在点，在C点转点转折，比折，比OA多走了多走了BC的距离，的距离，比比AF多走了多走了CD的距离的距离亦亦称伸长型。称伸长型。在在G41方式下，两矢量夹角方式下，两矢量夹角:270360G41G42第13页，共38页，编辑于2022年，星期六缩短型（如图所示）缩短型（如图所示）第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础 编程轨迹编程轨迹OA、AF，刀具中心轨，刀具中
13、心轨迹迹JB与与DK将在将在C点相交。这样，点相交。这样，相对于相对于OA和和AF而言，缩短一而言，缩短一个个CB与与CD的长度的长度。在在G41方式下，两矢量夹角方式下，两矢量夹角:0 180在在G42方式下，两矢量夹角方式下，两矢量夹角:180 360G41G42第14页，共38页，编辑于2022年，星期六插入型插入型(如图所示如图所示)第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础在在G41方式下，两矢量夹角方式下，两矢量夹角:180 270在在G42方式下，两矢量夹角方式下，两矢量夹角:90 180 刀具中心在刀具中心在C C点和点和C
14、C点两次转折，点两次转折，CCCC是插入直线必须保证是插入直线必须保证BC=DCBC=DCr r G41G42第15页，共38页，编辑于2022年，星期六 3.5.4 3.5.4 轮廓拐角处刀具中心的圆弧连接轮廓拐角处刀具中心的圆弧连接 上述刀具中心转接方式都是折上述刀具中心转接方式都是折线另一种转接方式是圆弧，如图线另一种转接方式是圆弧，如图所示。利用（所示。利用（3-17）和（）和（3-19）式）式计算出刀具中心在直线或圆弧端计算出刀具中心在直线或圆弧端点的位置，在两矢量的起点和终点的位置，在两矢量的起点和终点连接处，以轮廓拐点为中心，点连接处，以轮廓拐点为中心，以刀具半径为半径，插入圆弧
15、。以刀具半径为半径，插入圆弧。作为刀具中心在拐角处的运动轨作为刀具中心在拐角处的运动轨迹，由于圆弧连接不需要作转接迹，由于圆弧连接不需要作转接交点的复杂计算，因而简单方交点的复杂计算，因而简单方便，但因刀具圆周在作圆弧拐便，但因刀具圆周在作圆弧拐角时与轮廓拐角相接触，因而角时与轮廓拐角相接触，因而不不能得到完好的尖角。能得到完好的尖角。第16页，共38页，编辑于2022年，星期六第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础第三章轮廓加工的数学基础 对于缩短型，插入的圆弧将对于缩短型，插入的圆弧将使刀具产生过切现象，这是使刀具产生过切现象，这是圆弧过度的弊端。如图圆弧
16、过度的弊端。如图3-28所示。两矢量连接时，刀具所示。两矢量连接时，刀具中心相对前一矢量的终点和中心相对前一矢量的终点和后以矢量起点位置都是由式后以矢量起点位置都是由式3-17或式或式3-19计算得出，插入计算得出，插入的圆弧又是刀具中心移动轨的圆弧又是刀具中心移动轨迹，因而对于缩短型必然产迹，因而对于缩短型必然产生过切现象。生过切现象。利用圆弧连接利用圆弧连接件编程时，应把编程轨迹件编程时，应把编程轨迹改成有过渡圆弧的形式，改成有过渡圆弧的形式，如图如图3-29所示，过渡圆弧所示，过渡圆弧要大于或等于刀具半径，要大于或等于刀具半径，并且与原来的工件轮廓线并且与原来的工件轮廓线相切。相切。第1
17、7页，共38页，编辑于2022年，星期六第四章第四章 数控加工与编程的数控加工与编程的数值计算方法数值计算方法 数控加工数控加工与与数控编程数控编程实质上是实质上是曲线、曲面几曲线、曲面几何学何学在机械制造业的应用。在机械制造业的应用。数控加工中，有简单数控加工中，有简单曲线和曲面（如直曲线和曲面（如直线、圆弧及球面等）数学描述及处理；还有线、圆弧及球面等）数学描述及处理；还有不不能用二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面能用二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面自由曲线或自由曲面自由曲线或自由曲面。第18页，共38页，编辑于2022年，星期六l 自由曲面自由曲面是工程中最复杂而又经常遇到的是工程
18、中最复杂而又经常遇到的曲面，在曲面，在航空、造船、汽车、能源、国防航空、造船、汽车、能源、国防等部等部门中许多零件的外形如各种门中许多零件的外形如各种叶片曲面叶片曲面、各种、各种螺螺旋桨叶曲面、许多变距螺旋面以及模具工作面旋桨叶曲面、许多变距螺旋面以及模具工作面等均为等均为空间自由曲面空间自由曲面，其，其形状复杂、材料难以形状复杂、材料难以加工、精度要求高，加工、精度要求高，在整个部件生产过程中其在整个部件生产过程中其加工质量和加工效率的高低举足轻重。加工质量和加工效率的高低举足轻重。第19页，共38页，编辑于2022年，星期六19631963年美国波音公司佛格森将年美国波音公司佛格森将曲线曲
19、面表示为参数矢量函数式曲线曲面表示为参数矢量函数式；19641964年美国麻省理工学院（年美国麻省理工学院（MITMIT）孔斯用）孔斯用封闭曲线的四条边界定封闭曲线的四条边界定义一块曲面义一块曲面；同一年，舍恩伯格提出了同一年，舍恩伯格提出了参数样条曲线、曲面的参数样条曲线、曲面的形式；形式；19711971年，法国雷诺（年，法国雷诺（RenaultRenault）汽车公司的）汽车公司的贝齐尔贝齐尔（BezierBezier）提出）提出用用控制多边形定义曲线和曲面的方法控制多边形定义曲线和曲面的方法；19721972年，德布尔（年，德布尔（de Boorde Boor）给出）给出B B样条标准
20、的计算方法样条标准的计算方法；19741974年年,美国通用汽车公司戈登（美国通用汽车公司戈登（Gorden)Gorden)将将B B样条理论用于形状描样条理论用于形状描述，提出述，提出B B样条曲线、曲面样条曲线、曲面；19751975年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出有理有理B B样条方法样条方法；2020世纪世纪8080年代，美国人皮格尔等将有理年代，美国人皮格尔等将有理B B样条发展成为非均匀有理样条发展成为非均匀有理B B样条（样条（NUBRSNUBRS)方法。方法。用用NUBRSNUBRS方法可统一表示初等解析曲线和曲面，成为当今方法可统一表示
21、初等解析曲线和曲面，成为当今自由曲线和曲面最广为流行的技术。自由曲线和曲面最广为流行的技术。第20页，共38页，编辑于2022年，星期六4.1 4.1 基点基点和和节点节点计算计算 机械零件由几种不同几何元素构成的，如，直机械零件由几种不同几何元素构成的，如，直线、圆弧、二次曲线等。线、圆弧、二次曲线等。基点：基点：各个几何元素之间的连接点各个几何元素之间的连接点，如：直线与直，如：直线与直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。对于对于直线和圆弧直线
22、和圆弧组成的平面零件，由于组成的平面零件，由于数控系统数控系统都有直线和圆弧插补功能都有直线和圆弧插补功能，数值计算较简单，主要是，数值计算较简单，主要是确定确定基点坐标、圆弧的中心坐标基点坐标、圆弧的中心坐标。有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工程序。程序。程序。程序。第21页，共38页，编辑于2022年，星期六4.1.1 4.1.1 节点的计算节点的计算 对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由曲线的插补功能
23、，做法是：曲线的插补功能，做法是：即将这类轮廓曲线即将这类轮廓曲线按编程允差分割成许多小段，用按编程允差分割成许多小段，用直线或圆弧直线或圆弧来来代替代替(即逼近即逼近)这些曲线小段。这些曲线小段。节点节点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点或切点或切点称为称为节点节点。数值计算的任务就是求算节点的坐标。数值计算的任务就是求算节点的坐标。第22页，共38页，编辑于2022年，星期六 在数控加工方法中所说的在数控加工方法中所说的空间立体曲空间立体曲面面的的行切法行切法加工，实际上是用许多加工，实际上是用许多平行平行的的平面曲线平面曲线来逼近来逼近空间曲面空间曲面
24、，这时需求出所，这时需求出所有的平面曲线，面且还要计算各有的平面曲线，面且还要计算各平面曲线平面曲线上的基点或节点上的基点或节点，然后再编写各节点、基，然后再编写各节点、基点之间的直线或圆弧加工程序。点之间的直线或圆弧加工程序。第23页，共38页，编辑于2022年，星期六4.1.2 4.1.2 非圆曲线的节点计算非圆曲线的节点计算非圆曲线非圆曲线：除直线、与圆外，可用：除直线、与圆外，可用y=f(x)表示的平面表示的平面 曲线。曲线。节点的数目及其坐标值取决于节点的数目及其坐标值取决于曲线的特性，逼近曲线的特性，逼近线段的形状及允许的迫近误差线段的形状及允许的迫近误差允允。根据这三方面的。根据
25、这三方面的条件、可用数学方法求出各节点的坐标。条件、可用数学方法求出各节点的坐标。是用是用直线还是圆弧作为逼近线段直线还是圆弧作为逼近线段，则应考虑在，则应考虑在保保证逼近精度的前提下，使节点数目少证逼近精度的前提下，使节点数目少，计算简单。，计算简单。1）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利；）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利；2）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。第24页，共38页，编辑于2022年，星期六1.1.等间距直线逼近法等间距直线逼近法方方 法：法：使每一个程序段中
26、的某一个坐标的增量相等。使每一个程序段中的某一个坐标的增量相等。直角坐标系直角坐标系：令：令x坐标坐标的增量相等；的增量相等；极坐标系极坐标系：令转角坐标的增量相等，也可令向径长度的：令转角坐标的增量相等，也可令向径长度的 增量相等。增量相等。图中为加工一个凸轮时，图中为加工一个凸轮时，x坐标坐标按按等间隔分段时节点的分布情况。等间隔分段时节点的分布情况。间距的大小一般根据零件加工精度间距的大小一般根据零件加工精度凭经验选取。凭经验选取。第25页，共38页，编辑于2022年，星期六l从上图看出，不一定每一段都要验算。从上图看出，不一定每一段都要验算。l只需验算只需验算y y 坐标增量值最大的线
27、段坐标增量值最大的线段(如小如小A A1 1A A2 2段段)；l曲率曲率比较大的线段比较大的线段(如如A A5 5A A6 6段段)；l有拐点的线段有拐点的线段(如如A A6 6A A7 7段段)。l如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要求。如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要求。l下图中下图中A1A2是要验算的线段，是要验算的线段，l曲线的方程曲线的方程l距直线距直线A1A2为为允允的直线方程的直线方程l式中：式中：A=y1-y2,B=x2-x1,C=y1(x1-x2)x1(y1-y2)第26页，共38页，编辑于2022年，星期六2.2.等弦长直线逼近法等
28、弦长直线逼近法方法方法：使每个程序段的直线段长度相等。使每个程序段的直线段长度相等。由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段的逼近误差不相等，必须使的逼近误差不相等，必须使最大误差仍小于最大误差仍小于允允。一般说来，零件一般说来，零件轮廓曲线的曲率半径最小轮廓曲线的曲率半径最小的地方，的地方，逼近误差最大逼近误差最大。先确定曲率半径最小的位置，然后在该。先确定曲率半径最小的位置，然后在该处处按照逼近误差小于等于按照逼近误差小于等于允允的条件求出逼近直线段的长度的条件求出逼近直线段的长度，用此弦长分割零件的轮廓曲线，用此弦长分割零件的轮廓曲线，即可求出
29、各即可求出各节点节点的坐标。的坐标。第27页，共38页，编辑于2022年，星期六3.3.等误差直线逼近法等误差直线逼近法l该法是使每个直线段的逼近误差相等，并该法是使每个直线段的逼近误差相等，并l小于或等于小于或等于允允。所以上面两种方法都合。所以上面两种方法都合l理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮廓采用这种方法较合理。廓采用这种方法较合理。第28页，共38页，编辑于2022年，星期六4.4.圆弧逼近法圆弧逼近法 如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件的轮廓曲线的轮廓曲线。但需要求每段圆弧的但需要求每段
30、圆弧的圆心圆心、起点、终点的坐标值及圆弧半径起点、终点的坐标值及圆弧半径。节点的计算依据节点的计算依据：圆弧段与工件轮廓曲线间的误差圆弧段与工件轮廓曲线间的误差允。允。第29页，共38页，编辑于2022年，星期六4.2 4.2 三次参数样条曲线三次参数样条曲线l某些零件，如某些零件，如机翼外形机翼外形、内燃机进排气门的凸内燃机进排气门的凸轮轮曲线等，对曲线等，对外形的光顺性外形的光顺性要求较高，要求较高，曲线的曲线的光顺性就意味着曲线的导数要连续光顺性就意味着曲线的导数要连续。如果要求。如果要求曲线的一阶和二阶导数都是连续的，这可用三曲线的一阶和二阶导数都是连续的，这可用三次样条曲线次样条曲线
31、。l样条样条：最初是在造船业中放样用的一根：最初是在造船业中放样用的一根木料或木料或塑料做成的弹性长条塑料做成的弹性长条，放样员利用它通过，放样员利用它通过型值型值点点画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。l 下面介绍下面介绍三次参数样条曲线三次参数样条曲线。第30页，共38页，编辑于2022年，星期六4.2.1.三次样条曲线定义定义：在区间：在区间a，b上给定上给定n个点：个点：x1,x2,xn，得到得到a=x1x2 xn=b,称在区间称在区间a，b上满上满足下列条件的函数足下列条件的函数S(x）为三次样条函数：为三次样条函数：1）在每一个子区间）在每一
32、个子区间xi,xi+1(i=1,2n-1)上，上，S(x)都是三都是三次函数。次函数。2）在整个区间）在整个区间a,b上，上，S(x)连续，且具有连续的一阶连续，且具有连续的一阶和二阶导数。和二阶导数。则称则称S(x)为为a，b上，以上，以xi(i=1,2,n)为节点的三次样条为节点的三次样条函数。函数。第31页，共38页，编辑于2022年，星期六1.三次参数样条曲线方程曲线、曲面有曲线、曲面有显式、隐式和参数显式、隐式和参数表示，从计算表示，从计算机图形机图形学和计算几何的角度看，学和计算几何的角度看，参数表示较好参数表示较好。曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是：曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数
33、是：xx(t)y y(t)曲线上一点的参数表达式为：曲线上一点的参数表达式为：p(t)x(t),y(t)工程上常用以弦长工程上常用以弦长t为参数的为参数的三次样条函数三次样条函数。第32页，共38页，编辑于2022年，星期六已知两端点已知两端点已知两端点已知两端点 ，得到一条通过，得到一条通过，得到一条通过，得到一条通过P1,P2P1,P2点，点，点，点，且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。其中其中称为三次参数样条曲线的称为三次参数样条曲线的基函数。基函数。t为曲线起点与曲为曲线起点与曲
34、线上任一点之间的弦长，线上任一点之间的弦长，t0,1端点条件：端点条件：第33页，共38页，编辑于2022年，星期六2.2.两段曲线光滑连接的条件两段曲线光滑连接的条件要构造一条三次参数样条曲线需要给出端点的坐要构造一条三次参数样条曲线需要给出端点的坐标与切矢量，若要构造一条通过多个型值点的光标与切矢量，若要构造一条通过多个型值点的光滑曲线，就要给出这些型值点的坐标和切矢量，滑曲线，就要给出这些型值点的坐标和切矢量，使初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的使初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的坐标和两个端点的切矢量，就可根据坐标和两个端点的切矢量，就可根据曲线光滑连曲线光滑连接条件构造出
35、通过各型值点的光滑曲线接条件构造出通过各型值点的光滑曲线，中间各，中间各连结点的切矢量可由型值点坐标确定，方法为：连结点的切矢量可由型值点坐标确定，方法为：第34页，共38页，编辑于2022年，星期六设曲线设曲线设曲线设曲线P P1 1P P1 1(t),P2 2P2 2(t),分别通过分别通过P P1 1、P P2 2、P P3 3、P4 4，曲线在，曲线在P P2 2点光滑连接，即点光滑连接，即第35页，共38页，编辑于2022年，星期六可写成矩阵形式：可写成矩阵形式：第36页，共38页，编辑于2022年，星期六3.3.端点条件端点条件给出两个端点的切矢量给出两个端点的切矢量 上式为（上式为（n-2)个未个未知数，补充知数，补充2个端点条件，为个端点条件，为求解的方程为：求解的方程为：第37页，共38页，编辑于2022年，星期六习题习题5 51 1 逐点比较法直线插补的偏差函数是如何确定的？逐点比较法直线插补的偏差函数是如何确定的？它与刀具位置有何关系？它与刀具位置有何关系？2 2 直线的起点坐标在原点直线的起点坐标在原点O(0O(0，0)0)，终点，终点A的坐标的坐标为为A（1010，5 5）.试用逐点比较法对直线进行插补，试用逐点比较法对直线进行插补，并画出插补轨迹。并画出插补轨迹。第38页，共38页，编辑于2022年，星期六