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1、导热微分方程式非稳态项非稳态项源项源项扩散项扩散项通用表达式完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程 +单值性条件单值性条件确定唯一解的附加补充说明条件第1页/共70页几何条件物理条件初始条件(时间条件)边界条件完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程 +单值性条件单值性条件单单值值性性条条件件第一类第二类第三类tsqs=f(x,y,z,)qw=h(twtf)第2页/共70页导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法 温度场温度场一维稳态一维稳态导热问题导热问题平壁圆筒壁球壳其它变截面物体平壁第3页/共70页1 1、通过平壁的导热a a 几何条件：单层
2、或多层平板几何条件：单层或多层平板（一维）（一维）；导热微分方程:b b 物理条件：物理条件：、c c、已知已知；无内热源无内热源c c 时间条件：时间条件：稳态稳态 d d 边界条件：边界条件：第一类ox一维、稳态、无内热源一维、稳态、无内热源第4页/共70页 第一类边界条件下的一维、稳态、无内热源导热第一类边界条件下的一维、稳态、无内热源导热 单层平壁单层平壁为常数随温度变化多层平壁第5页/共70页1、第一类边界条件下通过平壁的一维稳态导热第一类边界条件下通过平壁的一维稳态导热 ox（1）单层平壁单层平壁a)为常数时：x=0,t=t1 x=,t=t2直接积分，得：t=c1x+c2带入边界条
3、件：带入边界条件：c2=t1 c1=(t2-t1)/一维、稳态、无内热源一维、稳态、无内热源t1t2第6页/共70页 第一类边界条件下的一维、稳态、无内热源导热第一类边界条件下的一维、稳态、无内热源导热 单层平壁单层平壁为常数随温度变化多层平壁=0（1+bt）第7页/共70页(2)多层平壁多层平壁：由几层不同材料组成由几层不同材料组成例：房屋的墙壁白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假假设设各各层层之之间间接接触触良良好好，可可以以近近似似地地认认为为接接合合面上各处的温度相等面上各处的温度相等t2t3t4t1 q第8页/共70页一维稳态导热过程一维稳态导热过程：321123 +得：
4、t2t3t4t1 q第9页/共70页t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4推广到n层壁的情况:t2t3t4t1 q第10页/共70页求得热流密度后，层间分界面上的求得热流密度后，层间分界面上的未知温度未知温度t2、t3可用下式求取：可用下式求取：t4t1 qt3=?t2=?第11页/共70页 在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之间的接触都不可能是紧密的。t1t2ttxt 在这种情况下，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，在不接触处存在空隙。热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式传递的
5、，因而存在传热阻力，称为接触热阻。第12页/共70页 接触热阻是普遍存在的，而目前对其研究又不充分，往往采用一些实际测定的经验数据。通常，对于导热系数较小的多层壁导热问题接触热阻多不予考虑；但是对于金属材料之间的接触热阻就是不容忽视的问题。第13页/共70页例21有一砖砌墙壁，厚为0.25m。已知内外壁面 的 温 度 分 别 为 25和 30，砖 的=0.87W/(m),试计算墙壁内的温度分布和通过的热流密度。解:假设(1)一维问题；（2）稳态导热代入已知数据可以得出墙壁内的温度分布表达式为：的温度分布表达式为：t=25+20 x 由平壁导热的温度分布 第14页/共70页通过墙壁的热流密度 第
6、15页/共70页例22 已知钢板、水垢和灰垢的导热系数分别是46.4 W/(mK)、1.16 W/(mK)和0.116 W/(mK)。试比较厚1mm钢板、水垢和灰垢的面积热阻解:假设(1)一维问题；（2）稳态导热平板的导热面积热阻R=/钢板：水垢：灰垢：第16页/共70页例23由三层材料组成的加热炉炉墙。第一层为耐火砖。第二层为硅藻土绝热层，第三层为红砖，各层的厚度及导热系数分别为 1240mm，1=1.04W/(m)，250mm,2=0.15W/(m)，3115mm,3=0.63W/(m)。炉墙内侧耐火砖的表面温度为1000。炉墙外侧红砖的表面温度为60。试计算硅藻土层的平均温度及通过炉墙的
7、导热热流密度。已知 10.24m,1=1.04W/(m)20.05m,2=0.15W/(m)30.115m,3=0.63W/(m)t1=1000 t4=60 解:假设(1)一维；（2）稳态；（3）无接触热阻第17页/共70页硅藻土层的平均温度为 t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4t2t3t4t1 q第18页/共70页圆筒壁圆筒壁就是圆管的壁面。就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱圆柱坐标系上的一维导热问题坐标系上的一维导热问题。二
8、、通过圆筒壁的导热1、通过单层圆筒壁的导热、通过单层圆筒壁的导热圆柱坐标系:第19页/共70页假设假设:一维、稳态、无内热源、常物性：一维、稳态、无内热源、常物性：导热微分方程导热微分方程 t1 r1 t2 r2qa a 几何条件：几何条件：单层圆筒壁；r1,r2 b b 物理条件：物理条件：已知；已知；无内热源无内热源 c c 时间条件：时间条件：d d 边界条件：边界条件：第一类第一类稳态导热稳态导热第20页/共70页对上述方程积分两次对上述方程积分两次:第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分应用边界条件应用边界条件 t1 r1 t2 r2q第21页/共70页获得两个系数获得两个系数温度
9、呈对数曲线分布温度呈对数曲线分布 t1 t2 r1 r2 q第22页/共70页圆筒壁内部的热流密度圆筒壁内部的热流密度虽然是稳态情况，但热流密度 q q 与半径 r r 成反比！第23页/共70页圆筒壁内部的热流量圆筒壁内部的热流量通过整个圆筒壁的导热热阻为：通过整个圆筒壁的导热热阻为：W第24页/共70页通过单位长度圆筒壁的热流量：通过单位长度圆筒壁的热流量：单位长度圆筒壁的导热热阻为：单位长度圆筒壁的导热热阻为：W/m第25页/共70页2 2、通过多层圆筒壁的导热通过多层圆筒壁的导热 由不同材料构成的多层圆筒壁例如：带有保温层的热力管道、嵌套的例如：带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结
10、垢、积灰的输送管道等金属管道和结垢、积灰的输送管道等 由不同材料制作的圆筒同心紧密结合由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆筒壁而构成多层圆筒壁 如果管子的壁厚远小于管子的长度，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管壁内外边界条件均匀一致，且管壁内外边界条件均匀一致，在管子的径向方向构成一维稳态导热问题在管子的径向方向构成一维稳态导热问题第26页/共70页推广到n层壁的情况:第27页/共70页例24 某管道外径为2r，外壁温度为t1，如外包两层厚度均为r（即 2 3r）、导热系数分别为 2和 3（2/3=2）的保温材料，外层外表面温度为t2。如将两层保温材料的位置对调，其他条件不变，保温情
11、况变化如何？由此能得出什么结论？解：（1）圆柱坐标系一维导热；（2）稳态问题；（3）无接触热阻设两层保温层半径分别为r2、r3和r4，则r2=r,r3=2r,r4=3r,因此：r3/r2=2，r4/r3=3/2。第28页/共70页导热系数大的材料在里面：导热系数大的材料在外面：两种情况散热量之比为：结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小的材料放在里层对保温更有利。第29页/共70页对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，在球坐标系中也是一个一维导热壁的导热，在球坐标系中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：问题。相应计算公式为：温度分布：温度分布
12、：热流量：热流量：热阻：热阻：三、通过球壳的导热第30页/共70页四、四、变变截面或变截面或变导热系数问题导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热问题的主要途径分两步：(1)(1)求解导热微分方程，获得温度场；求解导热微分方程，获得温度场；(2)(2)根据根据FourierFourier定律和已获得的温度场计算热定律和已获得的温度场计算热流量；流量；对于一维导热的第一类边界条件问题，如果对于一维导热的第一类边界条件问题，如果求解的目的在于得到热流量的计算式，也可以求解的目的在于得到热流量的计算式，也可以直接通过直接通过对傅里叶定律表达式做积分对傅里叶定律表达式做积分的方法。的方法。第
13、31页/共70页此时，一维傅里叶定律：此时，一维傅里叶定律：当当 (t)(t)时，时，第32页/共70页先分离变量然后积分：先分离变量然后积分：第33页/共70页当当 随温度呈线性分布时，即随温度呈线性分布时，即 0 0atat，则，则实实际际上上，不不论论 如如何何变变化化，只只要要能能计计算算出出平平均均导导热热系系数数，就就可可以以利利用用前前面面讲讲过过的的所所有有定定导导热热系数公式，只是需要将系数公式，只是需要将 换成平均导热系数。换成平均导热系数。第34页/共70页当当A A为常数时：为常数时：当当A=A(x)A=A(x)为常数时：为常数时：变截面变变截面变导热系数导热系数问题问
14、题变导热系变导热系数问题数问题第35页/共70页2-4 通过肋片的导热由前可知：导热分析的首要任务就是确定物体内部的温度场。根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立了导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。非稳态项非稳态项源项源项扩散项扩散项第36页/共70页一一 基本概念基本概念 1 1、肋片、肋片：指依附于基础表面上的扩展指依附于基础表面上的扩展表面。表面。工程上和自然界常见到一些带有突出表工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体。面的物体。第37页/共70页第38页/共70页其作用是其作用是增大对流换热面积，以强化换热。增大对流换热面积，以强化换热。、肋片的作用、肋片的作用第
15、39页/共70页肋高H肋宽l肋厚截面积AL肋基肋端肋片的基本尺寸和术语肋片的基本尺寸和术语ll第40页/共70页3、常见肋片的结构：直肋 环肋针肋 直肋直肋环肋环肋针肋针肋第41页/共70页第42页/共70页二二 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热已知：已知：(1)(1)矩形直肋，矩形直肋，A AL L均保持不变均保持不变(2)(2)肋基温度为肋基温度为t t0 0，且，且t t0 0 t tf f(3)(3)肋肋片片与与环环境境的的表表面面传传热热系系数为常量数为常量h h.(4)(4)导热系数导热系数，保持不变，保持不变求：求：温度场温度场 t t 和散热量和散热量 0 xdxxx+
16、dxc第43页/共70页分析：分析：肋宽方向：肋片宽度远肋宽方向：肋片宽度远大于肋片的厚度，不考大于肋片的厚度，不考虑温度沿该方向的变化；虑温度沿该方向的变化；于是我们可以把通过肋片的导热问题于是我们可以把通过肋片的导热问题视为沿肋片方向上的视为沿肋片方向上的一维导热一维导热问题。问题。肋厚（）方向：沿肋厚肋厚（）方向：沿肋厚方向的导热热阻一般远小方向的导热热阻一般远小于它与环境的换热热阻。于它与环境的换热热阻。把沿方向的散热视为负的内热源。把沿方向的散热视为负的内热源。1/h/1/htt1t2t0 xdxxx+dxc第44页/共70页假设假设1 1）导热系数）导热系数 及表面传热系数及表面传
17、热系数 h h 均为常均为常数；数；2 2）肋片宽度远大于肋片的厚度，不考虑温度）肋片宽度远大于肋片的厚度，不考虑温度沿该方向的变化；沿该方向的变化；3 3）表面上的换热热阻）表面上的换热热阻 1/h 1/h，远大于肋片的，远大于肋片的导热热阻导热热阻 /，即肋片上沿肋厚方向上的温度，即肋片上沿肋厚方向上的温度均匀不变；均匀不变；第45页/共70页在上述假设条件下，在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热转化为一维稳态导热,并并将沿程散热量将沿程散热量 视为负视为负的内热源，则的内热源，则导热微分导热微分方程式方程式简化为简化为4 4）肋端视为绝热，即）肋端
18、视为绝热，即 dt/dx=0 dt/dx=0；0 xdxxx+dxc第46页/共70页内热源强度单位时间肋片单位体积的对流散热量如图，在距肋基处取一长度为dx的微元段，该段的对流换热量为：因此该微元段的内热源强度为：因此该微元段的内热源强度为：0 xdxxx+dxc第47页/共70页导热微分方程：导热微分方程：引入过余温度引入过余温度 。并令。并令第48页/共70页边界条件：边界条件：导热微分方程：导热微分方程：二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线性常微分方程第49页/共70页求解得肋片内的求解得肋片内的温度分布温度分布：双曲余弦函数双曲余弦函数x00 0Ll第50页/共70页肋片表面的肋片表面的
19、散热量散热量稳稳态态条条件件下下肋肋片片表表面面的的散散热热量量=通通过过肋肋基基导入肋片的热量导入肋片的热量双曲正切函数双曲正切函数0 xdxxx+dxc第51页/共70页2 肋片效率肋片效率 为为了了从从散散热热的的角角度度评评价价加加装装肋肋片片后后换换热效果，引进热效果，引进肋片效率肋片效率 表示整个肋片均处于肋基温度时传递的热表示整个肋片均处于肋基温度时传递的热流量，也就是肋片传导热阻为零时向环境散失的流量，也就是肋片传导热阻为零时向环境散失的热流量。热流量。第52页/共70页3.3.肋片的工程计算肋片的工程计算 肋片的散热量肋片的散热量 :如果肋片的效率能够顺利计算出来的话，肋片如
20、果肋片的效率能够顺利计算出来的话，肋片的实际散热量也就可以求得。的实际散热量也就可以求得。mhmh这个无因次数在肋片效率计算中有重要作用。这个无因次数在肋片效率计算中有重要作用。第53页/共70页肋片的纵剖面积肋片的纵剖面积第54页/共70页影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数 h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）可见，可见，与参量与参量 有关，其关系曲有关，其关系曲线如图所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用线如图所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算，而直接用图查出公式计算，而直接用图查出 ，散热量散热量 第55页/共70页4.通过环肋及三角形
21、截面直肋的导热通过环肋及三角形截面直肋的导热 为为了了减减轻轻肋肋片片重重量量、节节省省材材料料，并并保保持持散散热热量量基基本本不不变变，需需要要采采用用变变截截面面肋肋片片，环环肋肋及及三三角角形形截截面面直肋是其中的两种。直肋是其中的两种。对对于于变变截截面面肋肋片片来来讲讲，由由于于从从导导热热微微分分方方程程求求得得的的肋肋片片散散热热量量计计算算公公式式相相当当复复杂杂，因因此此，人人们们仿仿照照等等截截面面直直肋肋。利利用用肋肋片片效效率率曲曲线线来来计计算算方方便便多多了了，书书中中图图2 21414和和2 21515分分别别给给出出了了三三角角形形直直肋肋和和矩形剖面环肋的效
22、率曲线。矩形剖面环肋的效率曲线。第56页/共70页工程上采用的肋片几何形状是十分复杂的。工程上采用的肋片几何形状是十分复杂的。r0 xy0矩形环肋片矩形环肋片 三角形肋片三角形肋片 第57页/共70页计算计算mm值带来一定的困难，但值带来一定的困难，但mhmh值是可以确定值是可以确定的。的。对直肋对直肋工程上，往往采用肋效率工程上，往往采用肋效率f f和和 为坐为坐标的曲线，表示理论界的结果。标的曲线，表示理论界的结果。第58页/共70页矩形和三角形肋片的效率矩形和三角形肋片的效率 矩形截面环肋的效率矩形截面环肋的效率第59页/共70页3.3.几点考虑几点考虑 1)1)肋端散热的考虑肋端散热的
23、考虑 推推导导中中忽忽略略了了肋肋端端的的散散热热（认认为为肋肋端端绝绝热热）。对对于于一一般般工工程程计计算算，尤尤其其高高而而薄薄的的肋肋片片，足足够够精确。若必须考虑肋端散热，取：精确。若必须考虑肋端散热，取：H Hc c=H H+/2/2l第60页/共70页2)2)换热系数为常数的假定换热系数为常数的假定 为了推导和求解的方便，我们将为了推导和求解的方便，我们将h h、均假定为常数。均假定为常数。但实际上换热系数但实际上换热系数h h并不是常数，而是随肋高而变并不是常数，而是随肋高而变化的。而在自然对流环境下换热系数还是温度的函化的。而在自然对流环境下换热系数还是温度的函数。因此，我们
24、在肋片散热计算中也应注意由此引数。因此，我们在肋片散热计算中也应注意由此引起的误差。起的误差。第61页/共70页严格地讲，肋片效率并不反映肋片散热性能的严格地讲，肋片效率并不反映肋片散热性能的好坏，并不是说好坏，并不是说 f f大肋片散热量就大。实质上，大肋片散热量就大。实质上，它反映了肋片的几何结构、材料性质和环境条它反映了肋片的几何结构、材料性质和环境条件与散热量之间的关系。件与散热量之间的关系。3)3)关于肋片效率关于肋片效率 th(th(mHmH)的的数数值值随随mHmH的的增增加加而而趋趋于于一一定定值（值（mHmH 3 3）第62页/共70页随随着着mHmH增增加加，f f先先迅迅
25、速速增增大大，但但逐逐渐渐增增量量越越来来越越小小，最最后后趋趋于于一一定定值值。说说明明：当当mHmH增增加加到到一一定定程程度度，再再继继续续增增加加 f f mH mH 的的数数值值较较小小时时，f f 较较高高。在在高高度度h h一一定定时时，较小的较小的 m m 有利于提高有利于提高 f f。经济的肋片效率大约在经济的肋片效率大约在 f f=0.64-0.76=0.64-0.76之间之间 。第63页/共70页例例2 25 5一实心燃气轮机叶片，高度一实心燃气轮机叶片，高度h=6.25mmh=6.25mm，横截面积横截面积A A4.65cm4.65cm2 2，周长，周长U U12.2c
26、m12.2cm，导热系，导热系数数 22W/(m22W/(m）。燃气有效温度）。燃气有效温度T Tgege=1140K=1140K，叶根温度，叶根温度T Tr r=755K=755K，燃气对叶片的总换热系数，燃气对叶片的总换热系数 390W/(m390W/(m2 2）。假定叶片端面绝热，求叶）。假定叶片端面绝热，求叶片的温度分布和通过叶根的热流。解：片的温度分布和通过叶根的热流。解：第64页/共70页例例2 26 6 外径为外径为25mm25mm的管子，沿管长装有等厚环的管子，沿管长装有等厚环肋，肋片厚肋，肋片厚1.2mm1.2mm高高h h15mm15mm，导热系数，导热系数=150W/=1
27、50W/(m(m2 2）。若肋间空隙为）。若肋间空隙为10mm10mm，管壁温度为，管壁温度为200200，周围介质温度为，周围介质温度为2525，表面总换热系数，表面总换热系数 100 W/(m100 W/(m2 2），试计算每米管长所散失的热量。），试计算每米管长所散失的热量。解：解：第65页/共70页本章作业本章作业2-62-6，2-112-11，2-18,2-222-18,2-22，2-2-2626第66页/共70页二、其他坐标下的导热微分方程二、其他坐标下的导热微分方程（r,z）x=r cos;y=r sin;z=z1.1.对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 第67页/共70页2.对于球坐标系对于球坐标系（r,）x=rsin cos;y=rsin sin;z=rcos第68页/共70页变导热系数问题变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热问题的主要途径分两步：(1)(1)求解导热微分方程，获得温度场；求解导热微分方程，获得温度场；(2)(2)根根据据FourierFourier定定律律和和已已获获得得的的温温度度场场计计算算热流量；热流量；对对于于稳稳态态、无无内内热热源源、第第一一类类边边界界条条件件下下的的一一维维导导热热问问题题，可可以以不不通通过过温温度度场场而直接获得热流量。而直接获得热流量。第69页/共70页感谢您的观看！第70页/共70页