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1、ReviewThe method of imagesCylindrical surface between a conductor and a dielectric:position of the image,line charge density of the image;Spherical surface between a conductor and a dielectric:position and charge of the image;Planar surface between two dielectrics:electric medium,magnetic medium.第1页
2、/共58页电磁场理论第七周讲稿 4.1 边值问题的分类和唯一性定理4.2 镜像法作业：41，3，5第2页/共58页1、静态场2、静态场的边值问题3、静态场的边值条件4、唯一性定理边值问题的分类和唯一性定理第3页/共58页1、静态场静电场、恒定电场和稳恒磁场都属于静态场问题。静电场、恒定电场和稳恒磁场都属于静态场问题。所谓所谓静态场静态场是指相对于观察者静止且不随时间变化的场源是指相对于观察者静止且不随时间变化的场源(电荷或电荷或电流电流)所产生的场。所产生的场。对静态场的对静态场的一些基本的简单问题已一些基本的简单问题已进行了分析和计算。然而，特殊的方法只能解决场源进行了分析和计算。然而，特殊
3、的方法只能解决场源分布较简单的问题，而场源较复杂或媒质分布较复杂分布较简单的问题，而场源较复杂或媒质分布较复杂的情况往往需要求解的情况往往需要求解标量势和矢量势的拉普拉斯方程标量势和矢量势的拉普拉斯方程或泊松方程满足给定边界条件下的解。或泊松方程满足给定边界条件下的解。第4页/共58页由电荷或电流分布求解静态场的问题均可归结为在给定边界条件下求解标量势或矢量势的拉普拉斯方程或泊松方程，即边值问题。通常将满足一定边界条件的微分方程的求解问题，称为边值问题。2、静态场的边值问题第5页/共58页对于 边值问题常分为三类：第一类边值问题(也称为狄里赫利问题)给定整个边界上的势函数值 ，其中是边界S上的
4、点，例如静电场中给定各导体表面的电势值；第二类边值问题(也称为诺埃曼问题)给定整个边界上势函数的法向导数值 ，例如静电场中给定各导体的电荷面密度值 或总电量;3、静态场的边值条件第6页/共58页第三类边值问题(也称为鲁宾问题)属于混合边值问题，即在一部分边界上给定势函数值 ，而在另一部分边界上给定势函数值的法向导数值另外，当区域中有若干种均匀介质，还必须把场划分为若干个子区域，此时，除了上述三类边界条件外，还必须包括介质分界面上的衔接条件。在这种情况下，各子域的势函数必须联合求解。3、静态场的边值条件第7页/共58页唯一性定理是解决边值问题的理论基础。它用以表征明泊松方程和拉普拉斯方程的解在什
5、么条件下是唯一的。内容：对于任一静态场(也包括准静态场)，满足一定边界条件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，即在区域V内给定自由电荷(或电流)分布，在V的边界S上给定电势 或其法向导数 的值，则V内的场便被唯一地确定。4、唯一性定理第8页/共58页现以静电场为例来证明唯一性定理:用(反证法)设线性介质中有N个带电导体，各导体表面上的电势或电荷面密度已知。我们先假定在场域内的每一点上都有两个满足拉普拉斯方程的解 和 ，差值 在场域内也满足拉普拉斯方程，即 。但在导体上，和 具有相同的电势，则 。应用矢量恒等式4、唯一性定理第9页/共58页考虑到 ，有将上式对全部场域积分，并应用高斯散度定理，
6、得式中S是包围场域V的闭合曲面，它由包围各导体的表面 和一个半径为无穷大的球面 构成。S0S1S2S34、唯一性定理第10页/共58页导体表面上有计算 上的面积，可考虑一个有限大小的球面的积分，然后令其半径扩展到无限大。当球面足够大时，和 随 而变，而 随 而变，面积则随 而变，故球面 上的积分随 而变，于是它在无穷远处趋于零。因此，上式中的闭合积分为零。要使上式右端的积分为零的唯一可能是 故有 因此，唯一性定理得证。4、唯一性定理第11页/共58页唯一性定理的意义唯一性定理在求解电磁场问题中具有重要的理论意义和实际价值。定理的成立意味着可以采用多种形式的求解方法，包括某些特殊的简便方法。只要
7、找到一个既满足方程又满足边界条件的解，那么，此解一定是该方程唯一正确的解，勿需验证。如果采用不同的方法得到不同的解，那也只是形式上不同而已。这就是说唯一性定理可使我们自由地选择任何一种计算场的方法。唯一性定理不仅适用于静态场，对于时变场问题其结论仍然成立。4、唯一性定理第12页/共58页金属导体内部有空腔EQ球形导体内部有空腔并置有电荷Q球形导体表面均匀分布电荷4、唯一性定理第13页/共58页4.2 镜像法1、导体与介质间边界的镜像法 (1)平面边界(2)柱面边界(3)球面边界2、两种不同介质间平面边界的镜像法第14页/共58页 镜像法 是求解静态场的一种有效且直观的方法。特别适用于求解某些涉
8、及平面边界或圆形边界的边值问题。镜像法的基本思想 是在两种不同媒质的边界外，用虚设的场源(电荷或电流)的镜像来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷)或磁化电流对场的作用。镜像的个数、大小和位置由边界条件确定。这样，可以撤去边界面，并将场源所在区域的媒质扩展到整个空间，待求场由场源及其镜像共同确定。镜像法第15页/共58页镜像法其实质 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用，将实际上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。注意：所求得的场只是在边界面内场源存在的区域中表示原始的边值问题的解。第16页/共58页考虑在距离无限大导体平面h处有一点电荷Q，其周围是介电常数为 的介质，如图所示，求
9、介质中任一点的电场。Qh平面边界第17页/共58页所求的场除直接由点电荷Q产生外，还应考虑无限大导体表面上反号的感应电荷的场。依镜像法，在与点电荷Q的对称位置上放一个镜像电荷 ，撤去导体平面，使其介质充满整个空间，如右图所示。hhPQRR平面边界第18页/共58页若选择无穷远处为电势参考点，则无限大导体平面上的电势为零。于是在原来有介质的上半空间中任一点P处的电势将由点电荷及其镜像电荷共同确定,即式中R与R分别是点电荷Q与镜像电荷Q到场点的离。点电荷Q受到导体平面的作用力为平面边界第19页/共58页平面边界设 在z=0平面上，只有 ，即只有法向分量根据导体表面的边界条件，感应电荷面密度为xzy
10、hhPQRR第20页/共58页上式表明，在导体表面上电荷面密度并不均匀，但总电荷量恰好等于场源电荷量。这一结果是合理的，因为点电荷Q所发出的电力线全部终止于无限大的接地导体平面上。(见下图)必须注意：镜像电荷不能出现在待求位场的区域内。(为什么？)平面边界为什么公式里面有个负号？第21页/共58页平面边界第22页/共58页上述情况可以认为是由两个半无限大导体平面相交，且其夹角 。于是可将上述结果推广到两半无限大导体平面相交成 (N为正整数)的情形。下图示出了这时镜像电荷的分布情况，镜像电荷数由此可以计算角形域内任一点的电场强度。如果在闭合边界面内有几个点电荷或连续的电荷分布，也可以在闭合边界面
11、外的镜像位置上放一相应的镜像电荷，用同样的方法可以计算闭合边界面内任一点的电势和电场强度。平面边界第23页/共58页Q-QQ-QQ-QQ-QQ-Q平面边界取不同值镜像电荷的分布情况Q-QQ-QQ-Q-QQ第24页/共58页圆柱面边界适用于与圆柱轴线平行的线电荷(或线电流)的情形。电荷密度为 的无限长带电直线在线性介质中静电势的一般表达式为或柱面边界第25页/共58页设在半径为R的无限长导体圆柱面外，有一根与圆柱轴线平行的无限长带电直线，其电荷线密度为 ，周围介质的介电常数为 ，带电线与圆柱轴线的距离为d，如图所示。由镜像法可以求出圆柱面外任一点P处的电势和电场强度。柱面边界ROdx第26页/共
12、58页根据镜像法，导体圆柱面内应有一密度为且与圆柱轴线平行的线电荷 。由于对称性，镜像线电荷应位于带电直线与圆柱轴线所在的平面内，而它与圆柱轴线的距离 ,P处的电势为 柱面边界第27页/共58页若将点P选在导体圆柱面上，如下图所示，由于导体圆柱面为等势面，必有则再由得 柱面边界ROdx第28页/共58页上式在圆柱面上任一点均成立的必要条件是对于任何值 均成立，故得整理，得从而确定了镜像线电荷的位置，它位于圆柱内并在线电荷与轴心的连线上且靠近线电荷的一边，互为反演点。柱面边界第29页/共58页导体圆柱表面的电势为若取圆柱面上 ，则 ，于是在柱外任一点处的电势：柱面边界第30页/共58页柱面边界思
13、考：1、到两定点的距离比为常数的点的集合是？2、图中两个三角形的关系是什么？了解它对 我们考查该问题有何帮助？3、如果柱面不接地的话，那么该问题该如何 处理？（感应电荷总量为零，表面为等势 面，因此在轴线上应该放置另外一个线电 荷，与原来电荷等量同号）4、如果柱体原来带电怎么办？5、如果线电荷在导体壳的内部又该怎么办？第31页/共58页球面边界适用于球外的点电荷。如下图所示，半径为R的接地导体外有一点电荷 ，它与球心的距离为d，周围介质的介电常数为 。应用镜像法可以计算球外任一点的电势和电场强度。球面边界ORdz第32页/共58页设点电荷Q对导体球的镜像电荷 位于点电荷与球心连线上。且在球内距
14、球心的距离为 ,与 可 由接地导体球表面电势为零的边界条件来确定。球面边界ORdz第33页/共58页如下图所示,在球面上任一点P 处的电势为球面边界Odz第34页/共58页将代入上式，得比较此恒等式两边 对应的系数，可得球面边界第35页/共58页解上两式可得 (不合题意，应舍去)应该指出，对于球面而言，和 两点电荷所在位置互为反演点。由 和 所确定的球外任一点P 处的电势为 球面边界第36页/共58页镜像电荷 代替了导体球面上与 异号的感应电荷的作用。由于感应电荷在球面上的分布是不均匀的，在靠近点电荷的表面上密度较大，因此镜像电荷偏离球心而靠近的一方。因为导体球接地，故与 同号的感应电荷不可能
15、存在。仿照平面边界的情况，同学们还可以求出球面边界对点电荷Q的作用力。球面边界第37页/共58页注意：，这是因为Q所发出的电力线并不全部终止与导体球上，一部分终止于无穷远处之故。如果导体不接地，原来又不带电，则其表面电势不为零，而球面上的净感应电荷为零。为了保证导体球的电中性，就必须在原有的镜像电荷之外再附加第二个镜像电荷 ，为了不破坏导体球面为等势面的条件，应放置在球心。（如果导体本身带有电荷怎么办呢？点电荷在导体壳内部呢？）球面边界第38页/共58页这时球外任一点处的电势为球面上的电势为它表明，球外一个点电荷Q由于感应作用在隔离导体球上所产生的电势值恰好等于导体球不存在时，点电荷Q在球心处
16、O所产生的电势值。球面边界第39页/共58页两种不同介质分界面上的镜像法两种不同电介质间的平面边界例题两种不同磁介质间的平面边界例题第40页/共58页两种不同电介质间的平面边界若两种不同的电介质间具有无限大的平面边界，且在介质1中距离分界面h处有一点电荷，如图1所示，应用镜像法，欲求介质1的场，可使整个空间充满介质1，则由点电荷 及其对称位置上的镜像 电荷共同确定原介质1中的场(图2)。同样，使整个空间充满介质2，则由在原点电荷位置上的镜像 确定原介质2中的场(图3).镜像电荷的大小 则由两介质间平面边界上的边界条件 和 来确定。第41页/共58页两种不同电介质间的平面边界12Qh11QQRR
17、E1tE1tD1nD1nhh2QRE2tD2n2h图1图2图3由于故：第42页/共58页两种不同电介质间的平面边界12Qh11QQRRE1tE2tD2nD1nhh2QRE2tD2n2h图1图2图3由于：故：第43页/共58页两种不同电介质间的平面边界解上述方程组，可得：可见，镜像电荷的符号与点电荷相同，而的符号则决定于两介质的介电常数。第44页/共58页两种不同电介质间的平面边界讨论：当时，其结果正好是原点电荷所产生的场。若时，则媒质1中的场正好是点电荷和镜像电荷所产生的场，而媒质2中的场为零，这正是用导体代替介质的结果。如果是无限长的线电荷位于介质1中该怎么办？第45页/共58页例题距离河面
18、高度为h处有一无限长细直带电线，电荷线密度为 ，如图所示。若河水的相对介电常数 ，试求空气和水中的电场强度。hr81lyxOhlyxOlP(x,y)hRRhr81lyxOr81P(x,y)R第46页/共58页应用镜像法，空气中场由密度为的线电荷和密度为的镜像线电荷共同确定，如图。镜像电荷密度为他们在空间任一点叠加所产生的电势为：对应的电场强度为：第47页/共58页同样的道理，水中的电场应该由密度为的镜像线所确定，它所对应的电荷密度为：于是水中的电势和电场强度分别为：例题第48页/共58页两种不同磁介质间的平面边界如下图所示，两种不同的磁介质间具有无限大的平面边界，在磁介质1中距离分界面h处有与
19、边界平行的直线电流I，仿照上述方法，根据介质分界面上磁场的边界条件 与 ，同样可以求得镜像电流，从而求出两磁介质中的场。第49页/共58页两种不同磁介质间的平面边界12IhIIIh11hh22欲求介质1的场，可使整个空间充满介质1，则由线电流I及其对称位置上的镜像I共同确定原介质1中的场(图2)。同样，使整个空间充满介质2，则由在原点电荷位置上的镜像I确定原介质2中的场(图3).图1图2图3第50页/共58页两种不同磁介质间的平面边界采用与电介质分界面相同的办法，可以得到镜像电流之间的关系为：可见，镜像电流的符号与原电流相同，而的符号则决定于两介质的磁导率。记忆的方法：将电介质的公式照搬，只需
20、将替换为即可。第51页/共58页两种不同磁介质间的平面边界两磁介质中的磁场第52页/共58页两种不同磁介质间的平面边界两种磁介质是铁磁媒质与非铁磁媒质的情形。当线电流置于非铁磁媒质中时，则磁介质1是非铁磁媒质，即，磁介质是铁磁媒质，可认为是理想导磁体，因此，这时铁磁媒质中的磁场强度H2将到处几乎为零，但其中的磁感应强度B2并不为零，因为第53页/共58页两种不同磁介质间的平面边界当线电流置于铁磁媒质中时，则，同样可得镜像电流分别为不难看出，在此情况下，非铁磁媒质中的磁感应强度，与整个空间充满非铁磁媒质具有相同的线电流时相比较，增大了一倍。第54页/共58页例题空气中有一无限长载电流I的细直导线，平行于半无限大的理想导磁体表 表平面，且与表面的距离为h，如图所示。试求空气中和理想导磁体表面处的磁感应强度。12Ih11IhhIP(x,y)RRxy第55页/共58页例题应用镜像法，图中的镜像电流为I=I,符号与I相同。若取线电流I沿z方向为正，则空气中的磁感应强度为：考虑到：则有：第56页/共58页例题理想导磁体表面处的磁场与其表面垂直，但在上、下半空间磁场的方向相反，在与线电流正对的点（原点）上磁场为零。在时：0hIooIh-0BBB0RROxyP(x,y)第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页