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1、第五章第五章 误差的基本知识误差的基本知识测量误差测量误差=观测值观测值真值真值（理论值理论值）第一节第一节 测量误差产生的原因及其分类测量误差产生的原因及其分类 测量误差主要由测量仪器、测量人员、测量环境造测量误差主要由测量仪器、测量人员、测量环境造成。其可以分为成。其可以分为系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差两大类。粗差是错两大类。粗差是错误，不是误差。误，不是误差。一、系统误差一、系统误差在相同的观测条件下，误差保持在相同的观测条件下，误差保持同一数值同一数值、同一符号同一符号，或，或者者遵循一定的变化规律遵循一定的变化规律的误差，称为系统误差。的误差，称为系统误差。比如：比如：水准尺
2、端部磨损；水准尺端部磨损；水准尺倾斜；水准尺倾斜；水准尺弯曲；水准尺弯曲；水准尺的沉降水准尺的沉降;目标倾斜目标倾斜特性：累计！特性：累计！二、偶然误差二、偶然误差在相同的观测条件下，对某对象作一系列观测，观测误差在相同的观测条件下，对某对象作一系列观测，观测误差的的大小大小和和符号符号表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。若观测数据只含有偶然误差，在若观测数据只含有偶然误差，在观测次数多观测次数多的情况下，误的情况下，误差呈现出差呈现出统计学统计学上的规律。上的规律。v例如：某一测区在相同条件下观测了例如：某一测区在相同条件下观测了358358个三角形的
3、全部内角，计个三角形的全部内角，计算算358358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间为个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间为3”3”，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出现的频率现的频率k kn n，结果列于下表，结果列于下表 ：以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值，以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值，纵轴代表频率，图中直方图的纵轴代表频率，图中直方图的面积总和为面积总和为1，此直方图可，此直方图可以形象描述偶然误差的规律性。当观测条件足够多时，直以形象描述偶然误差的规律性
4、。当观测条件足够多时，直方图中各矩形顶部就可以形成一条对称、光滑的曲线。方图中各矩形顶部就可以形成一条对称、光滑的曲线。偶然误差的规律性：偶然误差的规律性：1、有界性有界性：偶然误差的绝对：偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；值不会超过一定的限值；2、大小性大小性：绝对值小的比绝：绝对值小的比绝对值大的出现的可能性大；对值大的出现的可能性大；3、对称性对称性：误差出现正负的：误差出现正负的可能性相同；可能性相同；4）抵偿性抵偿性：偶然误差的算术：偶然误差的算术平均值随观测次数增加而趋平均值随观测次数增加而趋于零；于零；第二节第二节 等精度条件下观测值的算术平均值等精度条件下观测值的算术平均值设
5、在相同条件下对设在相同条件下对X观测了观测了n次：次：算术平均值接近于真值，是测量对象的可靠结果，又称为算术平均值接近于真值，是测量对象的可靠结果，又称为最或是值最或是值。第三节第三节 衡量精度的标准衡量精度的标准一、一、平均误差平均误差二、二、中误差中误差测量一般采用测量一般采用中误差作为中误差作为中误差作为中误差作为衡量精度的标准衡量精度的标准衡量精度的标准衡量精度的标准。三、三、允许误差允许误差测量规定允许中误差为测量规定允许中误差为四、四、相对误差相对误差相对误差相对误差不能用于不能用于衡量角度测量的精度。衡量角度测量的精度。例：例：v某水平角用经纬仪进行某水平角用经纬仪进行6 6次等
6、精度丈量，其结果如下次等精度丈量，其结果如下表，试计算该角度观测值中误差。表，试计算该角度观测值中误差。v解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛尔公式）：尔公式）：序号序号观测值观测值l lv vvvvv1 1252320252320-2-24 42 2252317252317+1+11 13 32523182523180 00 04 4252320252320-2-24 45 5252316252316+2+24 46 6252317252317+1+11 1=252318=252318v=0v=0vv=50vv=50第四节第四节 误差传播定
7、律误差传播定律 有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而得。有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而得。由于观测值存在误差，由其计算的结果自然也就存在误由于观测值存在误差，由其计算的结果自然也就存在误差。描述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的差。描述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的定律称为定律称为误差传播定律误差传播定律。一、线性函数的中误差一、线性函数的中误差1、观测值的和、差函数、观测值的和、差函数2、观测值的和、差函数、观测值的和、差函数3、线性函数的中误差、线性函数的中误差二、非线性函数的中误差二、非线性函数的中误差P87例例3：由：由A点放样点放样B点，距离为点，距
8、离为D=206.1250.003m，方，方位角位角=11945004，计算放样，计算放样B点点位中误差。点点位中误差。三、测量精度分析三、测量精度分析1、有关水准测量的精度分析、有关水准测量的精度分析1）在水准尺上读一个数的中误差）在水准尺上读一个数的中误差水准仪置平的误差水准仪置平的误差由于受人视觉限制，气泡偏离中点的误差为分划值的由于受人视觉限制，气泡偏离中点的误差为分划值的0.15倍，其影响在水准尺上的读数为：倍，其影响在水准尺上的读数为：瞄准误差瞄准误差人眼把两点的视角小于人眼把两点的视角小于1的情况看做为一点。用放大倍的情况看做为一点。用放大倍数为数为v的望远镜照准目标，照准精度为：
9、的望远镜照准目标，照准精度为：照准精度在水准尺上的影响为：照准精度在水准尺上的影响为：读数误差读数误差读数误差与水准尺的分划有关，对分划为读数误差与水准尺的分划有关，对分划为1cm的水准尺，的水准尺，读数误差约为读数误差约为1.5mm，水准尺上的读数影响为：，水准尺上的读数影响为：综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为：综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为：四等水准测量中，四等水准测量中，=20，v=25倍，倍，S最大为最大为100m，相应，相应水准尺上读取一个数的中误差为水准尺上读取一个数的中误差为m读读=2.1mm。2）一个测站高差的中误差）一个测站高差的中误差一个测站高差为后视读数减前
10、视读数，则一个测站的高差一个测站高差为后视读数减前视读数，则一个测站的高差中误差为：中误差为：3）水准路线的高差中误差及允许误差）水准路线的高差中误差及允许误差设在两点间设了设在两点间设了n个测站，其测得的高差中误差为个测站，其测得的高差中误差为取取3倍中误差作为限差，并考虑其他因素，得四等水准测量倍中误差作为限差，并考虑其他因素，得四等水准测量高差闭和差的允许值为：高差闭和差的允许值为：平坦地区每平坦地区每km取取16站，得站，得则则环形闭合差或往返不符值的中误差环形闭合差或往返不符值的中误差为：为：取取3倍倍中误差作为限差，其允许值为：中误差作为限差，其允许值为：依据测站数计算允许误差：依
11、据测站数计算允许误差：每每km少于少于16站：站：每每km多于多于16站：站：2、有关水平角观测的精度分析、有关水平角观测的精度分析DJ6观测一个方向的一个测回的中误差为观测一个方向的一个测回的中误差为6，则照准一，则照准一个方向的半测回的中误差为：个方向的半测回的中误差为：1）用测回法观测水平角的限差分析）用测回法观测水平角的限差分析半测回中误差半测回中误差上下半测回较差中误差上下半测回较差中误差取取2倍作为允许误差倍作为允许误差一测回测角中误差一测回测角中误差测回差的中误差测回差的中误差取取2倍作为允许误差倍作为允许误差3、菲罗列公式、菲罗列公式设以同精度观测一系列三角形的三内角，即：设以
12、同精度观测一系列三角形的三内角，即：三角形的闭合差的计算关系式为：三角形的闭合差的计算关系式为：由误差传播定律得：由误差传播定律得：由中误差的定义得三角形闭合差的中误差为：由中误差的定义得三角形闭合差的中误差为：可推导出：可推导出：第五节第五节 观测值及算术平均值的中误差观测值及算术平均值的中误差一、同精度观测值的中误差一、同精度观测值的中误差二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差由公式可见，增加观测次数，可以由公式可见，增加观测次数，可以提高算术平均值的精度，但实际观提高算术平均值的精度，但实际观测中不可能完全依靠增加观测次数测中不可能完全依靠增加观测次数来提高算术平均值的精度。来提高
13、算术平均值的精度。第六节第六节 不同精度观测不同精度观测 由于在测量过程中，可能采用不同的测量仪器、不同由于在测量过程中，可能采用不同的测量仪器、不同的观测方式，因此所得到的观测数据精度就不一致，如何的观测方式，因此所得到的观测数据精度就不一致，如何由不同观测精度的测量数据计算观测对象的由不同观测精度的测量数据计算观测对象的最或是值最或是值，就，就必须考虑各观测值的可靠程度，即考虑必须考虑各观测值的可靠程度，即考虑观测值的权观测值的权。一、权一、权测量中的权，就是表示观测数据可靠程度的测量中的权，就是表示观测数据可靠程度的相对性相对性数值，数值，用用P表示。表示。1、确定权的方法、确定权的方法
14、1）利用观测值中误差来确定权的大小）利用观测值中误差来确定权的大小设不同精度观测值为设不同精度观测值为l1、l2 ln，对应精度为，对应精度为m1、m2、mn，各，各观测值权的计算式为：观测值权的计算式为：不同不同的取值，并不影响各观测值的权的比值：的取值，并不影响各观测值的权的比值：2）从实际观测情况出发来确定权的大小）从实际观测情况出发来确定权的大小水准测量中，设每水准测量中，设每km的观测路线的高差为的观测路线的高差为mo，则不同长，则不同长度水准路线的高差中误差为：度水准路线的高差中误差为：则其相应的权为：则其相应的权为：令令Cm2o，得，得：此即为按照路线的长度定权的公式。同样可以得
15、出按照测此即为按照路线的长度定权的公式。同样可以得出按照测站数定权的公式：站数定权的公式：、权的性质、权的性质）权越大，表示其精度越高，越可靠；）权越大，表示其精度越高，越可靠；）权始终为正值；）权始终为正值；）权是个相对数值，对单独的一个观测值无意义；）权是个相对数值，对单独的一个观测值无意义；）权中）权中的取值不同，不改变权的相对性。的取值不同，不改变权的相对性。二、不同观测精度的二、不同观测精度的最或是值最或是值不同观测精度的最或是值采用加权平均的办法计算。不同观测精度的最或是值采用加权平均的办法计算。三、不同精度观测的三、不同精度观测的中误差中误差不同精度观测的权计算中，可以取任意观测值的权为，不同精度观测的权计算中，可以取任意观测值的权为，不同精度观测的权计算中，可以取任意观测值的权为，不同精度观测的权计算中，可以取任意观测值的权为，即即即即单位权单位权单位权单位权，其中误差称为，其中误差称为，其中误差称为，其中误差称为单位权中误差单位权中误差单位权中误差单位权中误差。