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1、1Review1 Course Schedule Top 10 Robotics News of 2008 Development of Robotics Structure,Feature,and Classification of Robots Robotics and AIFundamentals of Robotics第1页/共47页2Contents Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object
2、General Rotation Transformation 2Ch.2 Mathematical Foundations第2页/共47页33Ch.2 Mathematic Basis2.1 Representation of Position and Attitude 位置和姿态的表示位置和姿态的表示Description of Position2.1 Representation of Position and Attitude第3页/共47页442.1 Representation of Position and Attitude Description of Orientation2
3、.1 Representation of Position and Attitude第4页/共47页55Description of Frames 相对参考系A，坐标系B的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量(Position Vector)和旋转矩阵(Rotation Matrix)描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系B来描述，即2.1 Representation of Position and Attitude 2.1 Representation of Position and Attitude第5页/共47页6Contents Representation of Posi
4、tion and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General Rotation Transformation 6Ch.2 Mathematical Foundations第6页/共47页772.2 Coordinate Transformation 坐标变换平移坐标变换(Translation Transform)2.2 Coordinate Transformation第7页/共47页88旋转坐标变换(Rotation Transform)2.2
5、Coordinate Transformation2.2 Coordinate Transformation第8页/共47页99Rotation about an axis2.2 Coordinate Transformation2.2 Coordinate Transformation第9页/共47页10102.2 Coordinate TransformationRotation about an axis2.2 Coordinate Transformation第10页/共47页1111复合变换(Composite Transform)2.2 Coordinate Transformat
6、ion2.2 Coordinate Transformation第11页/共47页12例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。122.2 Coordinate Transformation解：2.2 Coordinate Transformation第12页/共47页13例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位
7、。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。132.2 Coordinate Transformation解：2.2 Coordinate Transformation第13页/共47页14例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。142.2 Coordinate Transformation解：2.2 Coordinate Transf
8、ormation第14页/共47页15Contents Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General Rotation Transformation 15Ch.2 Mathematical Foundations第15页/共47页16已知一直角坐标系中的某点坐标，则该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。所谓齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示。一个
9、向量的齐次表示是不唯一的，比如齐次坐标8,4,2、4,2,1表示的都是二维点2,1。齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齐次坐标变换162.3 Homogeneous Transformation第16页/共47页1717Homogeneous TransformationMatrix Form：2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Hom
10、ogeneous Transformation第17页/共47页18例2.2 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，用齐次变换方法求它在坐标系A中的描述Ap。18解：2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第18页/共47页19例2.2 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A
11、的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，用齐次变换方法求它在坐标系A中的描述Ap。19解：2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第19页/共47页2020Homogeneous Transformation of Translation空间中的某点用矢量ai+bj+ck描述，该点也可表示为：对已知矢量 u=x,y,z,wT 进行平移变换所得的矢量 v 为：2.3 Homogeneous Transformation of the Coor
12、dinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第20页/共47页2121Homogeneous Transformation of Rotation2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第21页/共47页2222例2.3 已知点 u=7i+3j+2k，将 u绕 z 轴旋转90得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，求点v、w的坐标。解：2.3 Homogeneous Transformation of the Co
13、ordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第22页/共47页2323例2.3 已知点 u=7i+3j+2k，将 u绕 z 轴旋转90得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，求点v、w的坐标。解：如果把上述两变换组合在一起2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第23页/共47页2424若改变旋转次序，首先使 u 绕 y 轴旋转90，再绕 z 轴旋转90，会使 u 变换至与 w 不同的位置w1。2.3 Homo
14、geneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第24页/共47页2525例2.4 已知点 u=7i+3j+2k，将 u绕 z 轴旋转90得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，最后进行平移变换4i-3j+7k，求最终的坐标。解：把上述三变换组合在一起2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第25页/共47页2626例2.4 已知点 u=7i+3j+2
15、k，将 u绕 z 轴旋转90得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，最后进行平移变换4i-3j+7k，求最终的坐标。解：则2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第26页/共47页2727We are given a single frame A and a position vector AP described in this frame.We then transform AP by first rotating it about by an ang
16、le ,then rotating about by an angle .Determine the 3 3 rotation matrix operator,which describes this transformation.例例2.5（Example 2.5）2.3 Homogeneous TransformationSolution:Suppose the first rotation converts AP-AP,and the second rotation converts AP-A P”.Then we have:第27页/共47页2828We are given a sin
17、gle frame A and a position vector AP described in this frame.We then transform AP by first rotating it about by an angle ,then rotating about by an angle .Determine the 3 3 rotation matrix operator,which describes this transformation.Example 2.52.3 Homogeneous TransformationSolution:第28页/共47页29Conte
18、nts Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General Rotation Transformation 29Ch.2 Mathematical Foundations第29页/共47页30302.4 Transformation and Inverse One of Object 物体的变换及逆变换Description of position of an object 我们可以用描述空间一点
19、的变换方法来描述物体在空间的位置和方向。例如，下图所示物体可由坐标系内固定该物体的六个点来表示。2.4 Transformation of Objects第30页/共47页31312.4 Transformation and Inverse Transformation of Object 物体的变换及逆变换Description of position of an object 如果首先让物体绕z轴旋转90，接着绕y轴旋转90，再沿x轴方向平移4个单位，则该变换可描述为：2.4 Transformation of Objects第31页/共47页32322.4 Transformation
20、and Inverse Transformation of Object 物体的变换及逆变换Description of position of an object 上述楔形物体的六个点变换如下：2.4 Transformation of Objects第32页/共47页3333Compound Transformation 给定坐标系A，B和C，若已知B 相对A的描述为 ，C 相对B的描述为 ，则2.4 Transformation and Inverse Transformation of Object定义复合变换 ：2.4 Transformation of Objects第33页/共4
21、7页3434Inverse Transformation 从坐标系 B 相对A的描述 ，求得坐标系 A 相对B的描述 ，是齐次变换求逆问题。对于给定的 ，求解 ，等价于给定 和 计算 和 。2.4 Transformation and Inverse Transformation of Object2.4 Transformation of Objects第34页/共47页3535Inverse Transformation 对于给定的 ，求解 ，等价于给定 和 计算 和 。2.4 Transformation and Inverse Transformation of Object2.4 T
22、ransformation of Objects第35页/共47页3636Given a transformation matrix:Find 例2.6（Example 2.6）2.3 Homogeneous TransformationSolution:第36页/共47页3737Transform Equations 2.4 Transformation and Inverse Transformation of Object2.4 Transformation of Objects第37页/共47页38Contents Representation of Position and Atti
23、tude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General Rotation Transformation 38Ch.2 Mathematical Foundations第38页/共47页3939设想 f 为坐标系C的 z 轴上的单位矢量 2.5 General Rotation Transformation2.5 General Rotation Transformation 通用旋转变换通用旋转变换 绕矢量 f 旋转等价于绕坐标系 C的 z 轴旋转第39页/共47页40
24、40如果已知以参考坐标描述的坐标系T，那么能够求得以坐标系C描述的另一坐标系S，因为 T 绕 f 旋转等价于绕坐标系 C 的 z 轴旋转：2.5 General Rotation Transformation 2.5 General Rotation Transformation第40页/共47页4141 2.5 General Rotation Transformation 2.5 General Rotation Transformation第41页/共47页4242Equivalent rotation angle and axis 给出任一旋转变换，能够由式(2.45)求得进行等效旋转
25、角的转轴 2.5 General Rotation Transformation 2.5 General Rotation Transformation第42页/共47页4343Equivalent rotation angle and axis 若已知旋转变换：2.5 General Rotation Transformation 2.5 General Rotation Transformation令第43页/共47页4444Equivalent rotation angle and axis 2.5 General Rotation Transformation 2.5 General
26、Rotation Transformation第44页/共47页45452.6 Summary 小结Mathematical Foundations of RoboticsRepresentation of Position and Attitude Coordinate and Homogeneous Transformation Transformation of ObjectGeneral Rotation Transformation Mathematical Tools for Kinematics,Dynamics,and Control of Robotics.2.6 Summary第45页/共47页第46页/共47页47感谢您的观看。第47页/共47页