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1、图像压缩之小波方法第1页，共32页，编辑于2022年，星期五Fourier变换n n以为函数的Fourier变换定义为n n逆变换为：第2页，共32页，编辑于2022年，星期五CWT及其反变换n n母小波(t)是满足下列特性的实或复的连续函数：函数均值为0属于L2相容性条件n n一旦选择了小波(t)，函数f(t)的连续小波变换：第3页，共32页，编辑于2022年，星期五CWT及其反变换.n n一般，定义函数：其中b是平移参数a是尺度（或伸缩）参数n n逆CWT定义为：第4页，共32页，编辑于2022年，星期五两个小波n nMorlet小波n n墨西哥草帽小波第5页，共32页，编辑于2022年，
2、星期五Haar变换n nHaar变换基于Haar函数hk(x),(0 x1,k=0,1,N-1,N=2n)n n设k=2p+q-1,其中0pn-1当p=0时，q=0或1当p0时，1q2p,n n定义:h0(x)=1/SqrtNhk(x)=hp,q(x)=1/SqrtN*NN阶Haar变换矩阵AN 的i行j列的元素为：hi(j/N),i,j=0,1,N-1第6页，共32页，编辑于2022年，星期五Haar变换n nHaar变换将函数f(x)分解为以下的无穷和Haar小波第7页，共32页，编辑于2022年，星期五一个例子n n设有设有8 8个整数个整数1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,
3、5,6,7,8n n首先计算首先计算4 4个平均值和个平均值和4 4个差值个差值(低分辨率和细节低分辨率和细节)：(1+2)/2,(3+4)/2,(5+6)/2,(7+8)/2,(1-2)/2,(3-(1+2)/2,(3+4)/2,(5+6)/2,(7+8)/2,(1-2)/2,(3-4)/2,(5-6)/2,(7-8)/24)/2,(5-6)/2,(7-8)/2=3/2,7/2,11/2,15/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2=3/2,7/2,11/2,15/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2n n对对4 4个平均值重复上述过程，分成两个平均值和两个差值：个平均值重复上述过
4、程，分成两个平均值和两个差值：10/4,26/4,-4/4,-4/4,-1/2,-1/2,-1/2,-1/210/4,26/4,-4/4,-4/4,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2n n对前两个分量继续进行：对前两个分量继续进行：36/8,-16/8,-4/4,-4/4,-1/2,-1/2,-1/2,-1/236/8,-16/8,-4/4,-4/4,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2n n这些过程把序列分解为不同分辨率的表示，由于差值较小或可这些过程把序列分解为不同分辨率的表示，由于差值较小或可以忽略，就有可能进行有效的压缩。以忽略，就有可能进行有效的压缩。第8页，共32页，编辑于2
5、022年，星期五Haar变换的应用n n把它推广到二维图像：标准分解和金字塔分解把它推广到二维图像：标准分解和金字塔分解标准分解n n每行进行小波变换，然后对每列进行每行进行小波变换，然后对每列进行金字塔分解n n在行列之间交替进行小波变换在行列之间交替进行小波变换原始图像L1 H1L2 H2 H1L3H3 H2 H1原始图像L HHLLHHHLLL LLHHLLHHHHLLHHH第9页，共32页，编辑于2022年，星期五滤波器组n n滤波器是用滤波器系数h(0),h(1),h(2),定义的线性算子(x输入,y输出)：y(n)=h(k)x(n-k)=h*x (卷积)n n滤波器组的思想是：由一
6、个低通滤波器滤波器组的思想是：由一个低通滤波器H0H0和一个高通滤波器和一个高通滤波器H1H1组成一个滤波器组，低通滤波器利用卷积去除输入信号组成一个滤波器组，低通滤波器利用卷积去除输入信号x x中的中的高频分量，而让低频通过，高通滤波器的作用正好相反，它们共同将高频分量，而让低频通过，高通滤波器的作用正好相反，它们共同将输入分成频带。输入分成频带。f(t)H1 2H0 2H1 2H0 2H1 2H0 2第10页，共32页，编辑于2022年，星期五滤波器组系数n n给定一组滤波器，有给定一组滤波器，有N N抽头的前向和反向滤波器各两个：H0、H1H1和和F0F0、F1(NF1(N是偶数是偶数)
7、，其系数记为，其系数记为h0,h0,h1,f0,f1h1,f0,f1。这些量必须满足的一组条件是：。这些量必须满足的一组条件是：归一化：矢量归一化：矢量h0h0是归一化的，即长度为是归一化的，即长度为1 1 正交性：正交性：1iN/21iN/2，h0h0由由2i2i个元素形成的矢量与同一个个元素形成的矢量与同一个h0h0后后2i2i个元素形成的矢量正交个元素形成的矢量正交 矢量矢量f0f0是是h0h0的逆的逆 矢量矢量h1h1与与f0f0除了奇数下标的元素相反外都相同除了奇数下标的元素相反外都相同 矢量矢量h0h0与与f1f1除了偶数下标的元素相反外都相同除了偶数下标的元素相反外都相同第11页
8、，共32页，编辑于2022年，星期五DWTn n用矩阵乘法描述离散小波变换，以用矩阵乘法描述离散小波变换，以Daubechies D4为例：n n满足条件：满足条件：c c0 02 2+c+c1 12 2+c+c2 22 2+c+c3 32 2=1=1 c c2 2c c0 0+c+c3 3c c1 1=0=0第12页，共32页，编辑于2022年，星期五其它常用小波的滤波器系数n nBeylkinBeylkinn nCoifman 1-tapCoifman 1-tapn nCoifman 2-tapCoifman 2-tapn nn nCoifman 5-tapCoifman 5-tapn n
9、Daubechies 4-tapDaubechies 4-tapn nn nDaubechies 20-tapDaubechies 20-tapn nSymmlet 4-tapSymmlet 4-tapn nn nSymmlet 10-tapSymmlet 10-tapn nVidyanathanVidyanathan第13页，共32页，编辑于2022年，星期五图像分解方法n nLaplacian金字塔n n线n n梅花状n n金字塔n n标准法n n均匀分解n n自适应小波包分解第14页，共32页，编辑于2022年，星期五JPEG 2000n nJPEG在图像压缩领域有着广泛的应用，但不完善
10、。对一个88像素块进行DCT有时会导致重建图像中出现块效应。n nJPEG 2000是基于小波技术的新的图像压缩编码系统 第15页，共32页，编辑于2022年，星期五 What is JPEG 2000?n nFrom www.jpeg.orgFrom www.jpeg.orgJPEG 2000 is the latest series of standards from the JPEG committee.JPEG 2000 is the latest series of standards from the JPEG committee.The original standard for
11、 digital images(IS 10918-1,popularly The original standard for digital images(IS 10918-1,popularly referred to as JPEG)was developed 15 years ago,and with the referred to as JPEG)was developed 15 years ago,and with the major increase in computer technology since them,and lots of major increase in co
12、mputer technology since them,and lots of research,it was felt to be time for a new standard capable of research,it was felt to be time for a new standard capable of handling many more aspects than simply making the digital handling many more aspects than simply making the digital image files as smal
13、l as possible.JPEG 2000 uses image files as small as possible.JPEG 2000 uses wavelettechnology.and as well as being better at compressing wavelettechnology.and as well as being better at compressing images(up to 20 per cent plus),it can allow an image to be images(up to 20 per cent plus),it can allo
14、w an image to be retained without any distortion or loss.Simply sending the first retained without any distortion or loss.Simply sending the first part of such a lossless file to a receiver can result in a lossy part of such a lossless file to a receiver can result in a lossy version appearing(like
15、present JPEG)-but continuing to transmit version appearing(like present JPEG)-but continuing to transmit the file results in the fidelity getting better and better until the the file results in the fidelity getting better and better until the original image is restored.original image is restored.第16
16、页，共32页，编辑于2022年，星期五JPEG2000的改进（期望的）n n高压缩效率n n处理多达232x232个像素的大图像的能力n n渐进图像传输n n可以便捷、快速地访问压缩流的不同点n n当图像的一部分正在解压缩时，解码器可以遥摄/缩放整幅图像n n解压缩时，解码器可以旋转、裁剪图像n n误差弹性第17页，共32页，编辑于2022年，星期五JPEG 2000是怎样工作的？n n如果要压缩彩色图像，将它分成如果要压缩彩色图像，将它分成3 3个分量，把每个分量都分割成不个分量，把每个分量都分割成不重叠的矩形区域，称为贴片重叠的矩形区域，称为贴片(tiles)(tiles)，分别对贴片进行
17、压缩。，分别对贴片进行压缩。n n贴片的压缩主要分为贴片的压缩主要分为4 4步：步：计算小波变换，得到小波系数子带。标准规定了整数与浮点两种小波变计算小波变换，得到小波系数子带。标准规定了整数与浮点两种小波变换。有换。有L+1L+1个子带分辨率层，其中个子带分辨率层，其中L L由编码器决定。由编码器决定。如果用户指定了目标码率，则量化小波系数。码率越低，量化就越粗糙。如果用户指定了目标码率，则量化小波系数。码率越低，量化就越粗糙。用用MQMQ编码器对小波系数进行算术编码，用的是编码器对小波系数进行算术编码，用的是EBCOTEBCOT算法。该算法的原理算法。该算法的原理是将每个子带分成块是将每个
18、子带分成块(码块码块code-blocks)code-blocks)，分别编码。，分别编码。构造位流，将包连同许多标记一起写进位流。解码器可以根据标记跳构造位流，将包连同许多标记一起写进位流。解码器可以根据标记跳过位流中的某些部分，从而更快地定位某些点。过位流中的某些部分，从而更快地定位某些点。第18页，共32页，编辑于2022年，星期五颜色分量n n对于彩色图像，JPEG2000编码器的第一步是对颜色分量进行可逆分量变换(RCT)或不可逆分量变换(ICT)。然后分别对每个变换后的分量进行压缩。n n如果像素为无符号值，在分量变换前先进行电平偏移，将02s-1变换为-2-2s-122s-1s-
19、1-1-1第19页，共32页，编辑于2022年，星期五RCTn nRCT是一种去相关变换，只能与整数小波变换（可逆的）一起使用。图像分量i的像素值：Ii(x,y),i=0,1,2则新的值Yi(x,y)由下式生成：Y0=floor(I0+2I1+I2)/4)Y1=I2-I1Y2=I0 I1第20页，共32页，编辑于2022年，星期五ICTn nICT也是去相关变换，只能与浮点数小波变换（不可逆）一起使用。Y0=0.299 I0+0.587 I1+0.144 I2Y1=-0.16875 I0-0.33126 I1+0.5 I2Y2=0.5 I0-0.41869 I1-0.08131 I2第21页，
20、共32页，编辑于2022年，星期五贴片n n图像的每个颜色分量被分割成不重叠的矩形贴片，不同的颜色分量可以有不同的分辨率，每个颜色分量的所有贴片大小相同（边界除外）。n n采用贴片的主要原因是使用户可以对图像中感兴趣的部分进行解码。第22页，共32页，编辑于2022年，星期五小波变换n n标准指定了两种小波变换:(9,7)浮点小波和浮点小波和(5,3)(5,3)整整型小波，二者都允许渐进传输，但只有整型变换能够得到型小波，二者都允许渐进传输，但只有整型变换能够得到无损压缩。无损压缩。n n(5,3)(5,3)整型小波变换计算小波系数时，先计算奇数位的值，整型小波变换计算小波系数时，先计算奇数位
21、的值，然后利用它们计算偶数位的值：然后利用它们计算偶数位的值：C(2i+1)=P(2i+1)P(2i+1)floor(P(2i)+P(2i+2)/2)floor(P(2i)+P(2i+2)/2)C(2i)=P(2i)+floor(C(2i-1)+C(2i+1)+2)/4)P(2i)+floor(C(2i-1)+C(2i+1)+2)/4)第23页，共32页，编辑于2022年，星期五(9,7)浮点小波变换n n4 4个提升和两个缩放：个提升和两个缩放：C(2i+1)=P(2i+1)+(P(2i)+P(2i+2)C(2i+1)=P(2i+1)+(P(2i)+P(2i+2)C(2i)=P(2i)+(C
22、(2i-1)+C(2i+1)C(2i)=P(2i)+(C(2i-1)+C(2i+1)C(2i+1)=C(2i+1)+(C(2i)+C(2i+2)C(2i+1)=C(2i+1)+(C(2i)+C(2i+2)C(2i)=C(2i)+(C(2i-1)+C(2i+1)C(2i)=C(2i)+(C(2i-1)+C(2i+1)C(2i+1)=-KC(2i+1)C(2i+1)=-KC(2i+1)C(2i)=(1/K)C(2i)C(2i)=(1/K)C(2i)n n其中=1.586134342,=-=1.586134342,=-0.052980118,=0.882911075,=0.443506852,0.0
23、52980118,=0.882911075,=0.443506852,K=1.230174105K=1.230174105n n这些一维小波变换要用这些一维小波变换要用L L次，且行列交错形成子带的L L层。层。第24页，共32页，编辑于2022年，星期五量化n n每个子带都可能有不同的量化阶。n n用量化阶分割子带中各小波系数，并将结果截断。n n如果希望无损压缩，则设量化阶为1。第25页，共32页，编辑于2022年，星期五分区和码块n n考虑彩色分量中的一个贴片，进行小波变换后，得到考虑彩色分量中的一个贴片，进行小波变换后，得到有有L L层分辨率的子带，在整幅图像上由矩形网格进行分区，层分
24、辨率的子带，在整幅图像上由矩形网格进行分区，在同一分辨率中的在同一分辨率中的3 3个对应子带同一位置的分区，构成个对应子带同一位置的分区，构成分区分割分区分割(precincts partition)(precincts partition)，把它分成更细的码块，把它分成更细的码块网格，作为算术编码的基本单元。网格，作为算术编码的基本单元。n n贴片、分区、码块的分割有助于：贴片、分区、码块的分割有助于：节约存储节约存储 流化流化 容易访问位流的任意点。容易访问位流的任意点。n n简单的编码器可能只有1个贴片，个贴片，1个分区，个分区，1 1个码块。第26页，共32页，编辑于2022年，星期五
25、熵编码n n一个码块的小波变换系数按位平面进行算术编码。n n编码从最高有效位平面开始，到最低有效位平面结束。n n对每个位确定一个上下文，根据上下文估计概率，然后将位和它的概率传送给算术编码器。第27页，共32页，编辑于2022年，星期五包n n将一个分区分割中所有码块的所有系数的所有位编码成一个短位流后，在位流中加入头信息，就形成一个包。n n一个分区分割对应于3个子带的同一个空间位置，一个包可以看成是某个空间位置上一个分辨率层的质量增量。第28页，共32页，编辑于2022年，星期五层n n层是一个包的集合，包括来自每个分辨率层中每个分区分割的一个包。n n层是全分辨率下整幅图像的质量增量第29页，共32页，编辑于2022年，星期五渐进传输n n标准提供了4种渐进传输与解码图像的方法：分辨率、质量、空间位置和分量。n n只要把包按特定次序放在位流中，就可以获得特定的渐进性。第30页，共32页，编辑于2022年，星期五感兴趣的区域n n客户可能只想解码图像的一部分，即感兴趣的区域(ROI)。n nROI可能在压缩时指定。n n也可以在图像压缩结束后，用贴片识别ROI。第31页，共32页，编辑于2022年，星期五总结n n试验显示JPEG2000的性能优于原始JPEG，尤其当图像的码率很低（大压缩因子）或者对图像质量的要求非常高时。第32页，共32页，编辑于2022年，星期五