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1、3-1 电容元件与电感元件 3-1-1 电容元件 一、电容的定义和符号 一个二端元件，如果在任一时刻t，它所存储的电荷 q(t)与其端电压u(t)之间的关系可以用u(t)-q(t)平面上的一条曲线来确定,则称该两端元件为电容元件 线性电容 时变电容 非线性电容 非时变电容电容的分类：第1页/共73页电容符号线性电容u-q 特性 线性电容存储的电荷q(t)和端电压u(t)有如下关系 C为与电荷、电压无关的常量，表示元件存储电荷的能力，称为电容。第2页/共73页二、电容的单位电容C的单位为法拉（F），但因法拉这个单位太大，所以通常采用微法（F）或皮法（pF）三、电容的伏安关系设电容上流过的电流与其
2、两端的电压为关联参考方向 则根据电流的定义有 对线性电容又有 线性电容的伏安关系为第3页/共73页四、电容的特点1电容能隔直流通交流；电容的阻抗与频率有关。由电容的伏安关系 可知电容有如下基本性质：2在有限电容电流的前提下，电容上的电压只能连续变化，不能发生跳变。电容电压的连续性可表示为在动态电路分析中常用这一结论，并称之为“换路定则”。第4页/共73页3电容是一种有记忆的元件。根据电容的伏安关系可得：任一时刻电容上的电压不仅取决于该时刻的电流值，而是取决于从 到所有时刻的电流值，即与电流的全部历史有关，所以电容是一种“有记忆”元件。称为电容的初始电压，反映 时刻之前电流的全部作用。第5页/共
3、73页五、电容的储能 在电容的电压和电流为关联参考方向下，其吸收的瞬时功率为由功率的定义，可得在t时刻电容吸收的电能为第6页/共73页因为 ，故有上式表明，任一时刻电容的储能只与该时刻电容的电压有关 例4-1 图（a）所示电容中电流i的波形如图（b）所示，已知 ，试分别求 时电容上的电压。第7页/共73页解：由 的波形可写出其数学表达式为因为 所以第8页/共73页 例4-2 电路如图(a)所示，开关打开前电路已处于稳态，在 时刻将开关K打开，求电容的初始值 。第9页/共73页解：因为在 时，电路已达到稳态，所以电容可看作开路。这时其等效电路如图（b）所示。又根据换路定则，可得 根据图（b）可算
4、出第10页/共73页 3-1-2 电感元件 一、电感的定义 一个二端元件，如果在任一时刻穿过电感线圈的磁链 与其流过的电流 的关系可以用 平面上的一条曲线来确定，则称此二端元件为电感。电感的符号 非时变线性电感 二、电感的符号和单位第11页/共73页电感的单位：亨利（H）三、电感的伏安关系对非时变线性电感有非时变线性电感 L是与 无关的常量，表示元件产生磁链的能力，称为该元件的电感量。在电感上电压、电流为关联参考方向时，由电磁感应定律可得第12页/共73页四、电感的特点1.电感具有通直流隔交流的作用,其阻抗也随信号的频率而变化.2在有限电感电压的前提下，电感上的电流只能连续变化，不能发生跳变。
5、电感电流的连续性可表示为 上式也称为换路定则，在动态电路初始值确定时，该式也是非常重要的依据 3电感也是一种有记忆的元件。第13页/共73页根据电感的伏安关系有 任一时刻电感上的电留不仅取决于该时刻的电压值，而是取决于从 到所有时刻的电压值，即与电压的全部历史有关，所以电感是一种“有记忆”元件。称为电感的初始电流，反映 时刻之前电压的全部作用。第14页/共73页五、电感的储能由功率的定义，可得在t时刻电干吸收的电能为第15页/共73页上式表明，任一时刻电感的储能只与该时刻电感的电流有关 例4-3 图(a)所示电路，电感上的电流波形如图(b)所示，求电压 ，电感吸收的功率 ，电感上的储能 ，并绘
6、出它们的波形。第16页/共73页解：根据图(b)，写出 的数学表达式：由电感的伏安关系可得 第17页/共73页电感上吸收的功率为 电感上的储能为 第18页/共73页例4-4 图(a)所示电路,时开关K闭合，电路已达到稳态。在 时刻，打开开关K，求初始值 。解：时K闭合，电路已达到稳态，此时电容相当于开路，电感相当于短路，故可求得第19页/共73页t=0时,K打开,根据换路定则有 t=0+时的等效电路见图(b)第20页/共73页3-2 一阶电路的零输入响应 一阶电路就是包含一个动态元件的电路。分为一阶RC电路和一阶RL电路。所谓零输入响应即是由动态元件的初始态在电路中产生的响应。3-2-1 一阶
7、RC电路的零输入响应 因为在换路前，电路已达到稳态，所以 第21页/共73页换路后，根据KVL可得因为 所以可得 初始条件为 其特征方程为 特征根为 第22页/共73页故得该微分方程的通解为：系数K可由初始条件确定 电容电压的零输入响应为 称为电路的时间常数,单位为秒（S）第23页/共73页由电容的伏安关系可求得电路中流过的电流为 的波形图 第24页/共73页从以上的分析,可以得到如下结论：1一阶RC电路的 和 均是随时间呈指数衰减的。2 与 随时间衰减的快慢由 决定 与 的关系t 023450.006US 从上表中可以看出，时,已下降为初始值的1.8%，在工程中一般认为此时零输入响应已基本结
8、束。第25页/共73页 3-2-2 一阶RL电路的零输入响应 在换路前电路已达到稳态，根据换路定则知:换路后，根据KVL可得将电阻、电感的伏安关系代入上式，得 初始条件为 第26页/共73页其特征方程为 特征根为 故得该微分方程的通解为：系数K可由初始条件确定 所以第27页/共73页是一阶RL电路的时间常数 由电感伏安关系可以得到电感上的电压为 一阶电路零输入响应的一般公式 对RC电路有 对RL电路有 对任何一阶电路，求其零输入响应，关健就是求解其时间常数和初始值，这两个参数一旦被确定，其响应就确定了。第28页/共73页例4-5 如图所示电路，开关K在位置“1”时，电路已达到稳态。当t=0时K
9、由位置“1”切换到位置“2”，试求i(t)和 u（t）。解：因为K在位置“1”时，电路已达到稳态，所以电感相当于短路，由此可求得电感电流的初始值为时间常数为 第29页/共73页3-3 一阶电路的零状态响应 电路的初始状态为零，仅由外加激励产生响应称为零状态响应。由KVL可得 将电阻、电容的伏安关系代入上式，得 上式为非齐次微分方程，根据高等数学知识知，其通解由齐次解和特解两部分组成，即第30页/共73页由前面的分析可知，该微分方程对应的齐次解为 其对应的特解是由外激励强制建立的，应与外激励具有相同的函数形式，当激励为直流时,其特解为一常量。设该特解为 ，代入微分方程中可得 故得 第31页/共7
10、3页代入初始值，确定系数K 由上式知,电容两端的电压随时间按始指数的规律增长,增长的快慢由时间常数决定 所以 的波形图 第32页/共73页电容上的电流可根据电容的伏安关系求得 其波形如图(b)所示 是随时间逐渐衰减的。对于如图所示的RL电路，同样可求得其零状态响应 根据KCL可得 第33页/共73页电感两端的电压为 一阶RL电路与一阶RC电路的零状态响应具有相同的形式，iL(t)与uC(t)的一般式为第34页/共73页例4-6 在图(a)所示电路中,设开关闭合前电容无初始储能。t=0时，开关K闭合，求 时的 。解：因为电容无初始储能，所求为零状态响应，有（1）求稳态值由换路后的稳态电路(电容相
11、当于开路)知 第35页/共73页（2）求时间常数，R为从电容两端看进去的戴维南等效电阻 于是所求响应为 第36页/共73页3-4 一阶电路的全响应 当电路的初始状态与外加激励均不为零时，电路产生的响应称为全响应 根据叠加定理，可将初始状态和外加激励作为两个独立源，则全响应为零输入响应和零状态响应之和，即全响应=零输入响应+零状态响应 对一阶电路，全响应的一般公式可表示为 第37页/共73页例4-7 如图所示一阶电路，t=0时开关闭合，已知 ,试求t0时的 解：设零输入响应为uC1，零状态响应为uC2，则 第38页/共73页3-5 一阶电路的三要素分析法 如前所述，在恒定激励下，一阶电路中的电压
12、和电流都是按指数规律变化的。图（a）按指数规律增加 图（b）按指数规律减小 并且在同一电路中，各支路电压、电流具有相同的时间常数。第39页/共73页由图（a）可写出f(t)的表达式为 图（a）按指数规律增加 将后一项相乘展开并整理得由图（b）可写出f(t)的表达式为 图（b）按指数规律减小 所以无论f(t)是按指数规律增加还是减小均可统一用上式表示。第40页/共73页 ，称为一阶电路的三要素。在分析电路时，只要求出这三个要素，就能直接写出响应的表达式，将这种求解一阶电路响应的方法称为三要素法。三要素法将一阶RC电路、RL电路、零输入响应、零状态响应，全响应的表达式统一起来，这样就使得一阶电路的
13、分析大为简化 例4-9 电路如图(a)所示，当 时开关K是断开的，电路已处于稳态。当 时开关K闭合,求 时的电流 第41页/共73页解：此电路因包含两个动态元件,并非一阶电路，但当开关K闭合后，电路可分解为两个一阶电路，如图(b)、（c）所示。先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流 ，然后用KCL可得 。2（c）1+12V-2H2iLi2第42页/共73页在 t 0 时，K是断开的，电路已达到稳态，所以电容相当于开路，电感相当于短路。由换路定则有 换路后的(0+)等效电路如图(d)所示。由图可求得第43页/共73页(2)求时间常数第44页/共73页由图（b）可知 由图（c）可知 2（c）1+
14、12V-2H2iLi2利用三要素公式可得 第45页/共73页例4-10 电路如图(a)所示，N为线性电阻网络，其零状态响应为 ,如果用L=2H的电感代替电容，如图(b)所示。试求该情况下的零状态响应。解：图(a)为一阶RC电路，由其响应可求出电路的三要素为第46页/共73页因为除L、C外，两电路的结构参数完全相同，所以对RC电路，uC(0+)=0在求u0(0+)时，电容相当于短路；在求u0()时，电容视为开路。对RL电路，iL(0+)=0在求u1(0+)时，电感相当于开路；在求u1()时，电感视为短路。求u1(0+)时求u0()等同于求u1()时求u0(0+)等同于故有：第47页/共73页对R
15、C电路 ，可得 对RL电路 根据三要素法可得RL电路的响应为：第48页/共73页3-6 一阶电路的阶跃与冲激响应 3-6-1 单位阶跃信号 一、单位阶跃信号的定义二、单位阶跃信号的电路实现第49页/共73页三、单位延迟阶跃信号四、用单位阶跃信号表示各种脉冲信号第50页/共73页 单位阶跃信号(电压或电流)在零状态电路中产生的响应，称为单位阶跃响应。3-6-2 阶跃响应 阶跃响应实际上是恒定激励下的零状态响应，一般常采用三要素法求解。例 4-11 电路如图(a)所示，已知 ,求阶跃响应 。第51页/共73页解：（1）求初始值因为阶跃响应是零状态响应，所以 当电路达到稳态时，L可视为短路,等效电路
16、如图(b)所以 （2）求稳态值 第52页/共73页（3）求时间常数 等效电阻R为 时间常数为故阶跃响应为 或表示为 第53页/共73页 例4-12 电路如图(a)所示，激励如图(b)所示。已知uC(0-)=2V,求t0时，电路的响应u(t)。解：该电路的响应为全响应,可将其分为零输入响应和零状态响应,分别进行求解。1求解零输入响应uZi 因为第54页/共73页时间常数 零输入响应 2求零状态响应uZS（1）求单位阶跃响应对应的单位阶跃响应为u0(t)第55页/共73页根据三要素法可得（2）将给定uS(t)的用阶跃函数表示 第56页/共73页（3）根据线性定常电路的性质和叠加定理求uZS 线性定
17、常电路有如下性质：若激励为 ，电路的响应为S（t），则当激励为时 ，其响应为 。对应的响应对应的响应对应的响应所以根据叠加定理可得:第57页/共73页3求电路的全响应u(t)第58页/共73页 3-6-3 单位冲激信号 一、单位冲激信号的定义 且 单位冲激信号可理解为一个宽度为，高度为1/的矩形脉冲函数在 0时的极限 第59页/共73页所以冲激强度实际表示的是(t)的图形面积为1。冲激信号还可以推广为 第60页/共73页对于任意一个在 处连续的函数，将有 因此有 有把一个函数在某一瞬间的值抽取出来的特性，这一特性称为单位冲激函数的采样。第61页/共73页单位阶跃函数和单位冲激函数有如下关系：的
18、上述关系可证明如下：实际上波形是不能跃变的，所以 是上升速率很高的一种波形抽象化的结果。同样 也是矩形脉冲在 时的近似 第62页/共73页对 求导，结果恰好为是 即 当 时，上式即可表示为第63页/共73页 3-6-4 冲激响应 将单位冲激信号在零状态电路中产生的响应称为单位冲激响应。若将一个单位冲激电流加在初始状态为零的电容C上,则电容电压为:第64页/共73页 同理，若将一个单位冲激电压加在初始状态为零的电感L上,则电感电流:因此，在冲激激励作用下，零状态电路中的电感电流或电容电压均可发生跃变，而使储能元件瞬间获得能量。在 时，电路中的响应相当于由初始值引起的零输入响应。求一阶电路冲激响应
19、的方法一:将冲激响应转化为零输入响应求解 第65页/共73页例4-13 图(a)所示零状态电路，求其单位冲激响应 。解：因为 ，所以在冲激电流源作用期间，电容元件可视为短路,所以 ,则有 当 时,可视为开路，此时电路的响应可按零输入响应求得，即第66页/共73页解：因为 ，所以电感可视为开路，则 电路的时间常数例4-14如图所示电路,已知 试求冲激响应。第67页/共73页则所求冲激响应为求一阶电路冲激响应的方法二:利用阶跃响应和冲激响应的关系来求解 第68页/共73页在线性电路中，若 响应响应则若电路的阶跃响应为 ，冲激响应为 ，则因为故必有 所以可以先求出电路的阶跃响应，再对其求导即可得其冲激响应。第69页/共73页例4-15 图(a)所示电路，求零状态响应 。解：（1）首先利用图(b)求得单位阶跃响应第70页/共73页根据三要素法得 根据冲激响应与阶跃响应的关系有第71页/共73页最后利用线性电路的齐次性可求得第72页/共73页感谢您的观看。第73页/共73页