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1、概率论与数理统计-第十章 点估计本讲稿第一页，共二十九页第一节第一节 点估计问题点估计问题1 1、总体参数概念、总体参数概念 总体参数总体参数,狭义指总体分布的数学表达式中所狭义指总体分布的数学表达式中所含的参数。含的参数。定义定义1.1 总体总体X的分布参数的分布参数,理论概率分布参数理论概率分布参数,统称为统称为总体参数总体参数。例如例如,正态分布正态分布N(,2)的参数为的参数为,2;二项分二项分布布B(n,p)的参数为的参数为n,p;泊松分布泊松分布P()的参数为的参数为 等等。等等。本讲稿第二页，共二十九页 广义来说，广义来说，总体参数可指总体或理论分总体参数可指总体或理论分布的数字
2、特征，其中包括狭义总体参数。布的数字特征，其中包括狭义总体参数。例如，总体的原点矩、中心矩、协方差、例如，总体的原点矩、中心矩、协方差、相关系数、偏度、峰度以及事件的概率，相关系数、偏度、峰度以及事件的概率，或总体具有某种特征或总体具有某种特征A的个体的比率等等。的个体的比率等等。本讲稿第三页，共二十九页2 2、参数的点估计、参数的点估计定义定义1.2 设设X1,X2,Xn为为总体总体X的样本，的样本，为为总体分布总体分布F(x;)中的未知参数，构造一个统中的未知参数，构造一个统计量计量T=T(X1,X2,Xn)作为作为 的估计，则称的估计，则称T=T(X1,X2,Xn)为为 的估计量的估计量
3、；若样本；若样本X1,X2,Xn的一个观察值为的一个观察值为x1,x2,xn，则称，则称t=T(x1,x2,xn)为为 的估计值的估计值，统称为，统称为参数参数 的的点估计点估计，本讲稿第四页，共二十九页注注1 点估计实际上是指用统计量的值去估计未点估计实际上是指用统计量的值去估计未知参数的值知参数的值,又指用来估计未知参数的统计量。例又指用来估计未知参数的统计量。例如如,用样本均值估计总体的期望用样本均值估计总体的期望,用样本方差估计用样本方差估计总体方差总体方差,用频率估计概率。用频率估计概率。注注2 若若总体分布总体分布F(x;1,2,r)中含有中含有r个不同的未个不同的未知参数知参数,
4、则需由样本则需由样本X1,X2,Xn建立建立r个统计量个统计量Ti(X1,X2,Xn)作为相应参数作为相应参数 i的点估计。的点估计。例如例如:正态正态总体总体N(,2)有两个未知参数有两个未知参数 及及 2,而而E(X)=,D(X)=2,可分别用样本均值可分别用样本均值本讲稿第五页，共二十九页第二节第二节 估计方法估计方法1 1、矩估计法、矩估计法其基本思想是替换原理其基本思想是替换原理,即用样本即用样本k阶矩作阶矩作为总体为总体k阶矩的估计量阶矩的估计量,建立含有待估参数建立含有待估参数的方程的方程,从而解出待估参数。从而解出待估参数。其特点其特点是不需要假定总体分布有明确的分是不需要假定
5、总体分布有明确的分布类型。布类型。本讲稿第六页，共二十九页定义定义2.1 若若总体总体X的的分布函数分布函数F(x;1,2,r)中中含有含有r个未知参数个未知参数 1,2,r,假定总体假定总体X的的k阶原阶原点矩点矩E(Xk)存在存在,(1 k r),记作记作令其等于令其等于k阶样本原点矩阶样本原点矩本讲稿第七页，共二十九页由上面的方程组解出由上面的方程组解出r个值个值即令即令分别取分别取 作为作为 i的估计量的估计量,这种求估计量的方这种求估计量的方法称之为法称之为矩估计法矩估计法,由此得到的估计量称为由此得到的估计量称为矩矩估计量估计量。若有一样本值。若有一样本值x1,x2,xn，则称，则
6、称 为为矩估计值矩估计值。本讲稿第八页，共二十九页注注1 设总体设总体X的期望的期望E(X)=和方差和方差D(X)=2都是有限的，都是有限的，令令解之可得解之可得 与与 2的矩估计的矩估计所以无论所以无论X服从什么分布，样本均值服从什么分布，样本均值 和样本方差和样本方差S2总总分别是总体期望分别是总体期望 与方差与方差 2的矩估计量。的矩估计量。本讲稿第九页，共二十九页注注2本讲稿第十页，共二十九页例例2.1 设设X1,X2,Xn是来自是来自总体总体X的样本，当的样本，当X的分布为的分布为(1)正态分布正态分布N(,2)(2)指数分布指数分布E()(3)均匀分布均匀分布U(a,b)(4)二项
7、分布二项分布B(n,p)(5)泊松分布泊松分布P()试求其中未知参数的矩估计。试求其中未知参数的矩估计。本讲稿第十一页，共二十九页本讲稿第十二页，共二十九页注注:由此例可知由此例可知,矩估计量不唯一。矩估计量不唯一。(4)XB(n,p),E(X)=np,D(X)=np(1p)(5)XP(),E(X)=D(X)=本讲稿第十三页，共二十九页例例2.2 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为X1,X2,Xn是来自是来自总体总体X的样本。的样本。0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为一为一个样本观察值，试求个样本观察值，试求 的矩估计值。的矩估计值。本讲稿第十四页，共二十九页例例2.3 设总
8、体设总体X的概率密度为的概率密度为本讲稿第十五页，共二十九页2 2、极大似然估计、极大似然估计定义定义2.2 设设总体总体X的分布函数的分布函数F(x;)的形式已知的形式已知,为未知参数为未知参数,为为 的可能取值范围的可能取值范围,x1,x2,xn为为X的一个样本值的一个样本值,或或 (X为离散型为离散型)达到最大值达到最大值(X为连续型为连续型)本讲稿第十六页，共二十九页则称则称 为为 的极大似然的极大似然估计估计值值，为为 的极的极大似然估计量大似然估计量，统称为，统称为 的极大似然估计的极大似然估计。本讲稿第十七页，共二十九页注注 若若总体分布中含有两个以上的未总体分布中含有两个以上的
9、未知参数知参数 1,2,r 时，则时，则 i的极大的极大似然估计似然估计 满足满足本讲稿第十八页，共二十九页求极大似然估计的步骤求极大似然估计的步骤(1)利用求导法求极大似然估计利用求导法求极大似然估计i)建立似然函数：建立似然函数：ii)两边取对数：两边取对数：本讲稿第十九页，共二十九页iii)对对 i(1 i r)求偏导数，并令其值为求偏导数，并令其值为0iv)由上述由上述r个等式解出个等式解出 (1 i r)，即为，即为 i的极大似然估计。的极大似然估计。本讲稿第二十页，共二十九页例例2.4 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为一个样本观
10、察值为一个样本观察值,试求试求 的极大似然估计。的极大似然估计。本讲稿第二十一页，共二十九页本讲稿第二十二页，共二十九页例例2.5 设设样本样本X1,X2,Xn来自泊松来自泊松总体总体P()，试求未知参，试求未知参数数 的极大似然的极大似然估计。估计。本讲稿第二十三页，共二十九页例例2.6 设设总体总体X服从正态分布服从正态分布N(,2)，试求未知，试求未知参数参数 和和 2以及以及 的极大似然的极大似然估计。估计。本讲稿第二十四页，共二十九页本讲稿第二十五页，共二十九页(2)利用极大似然估计定义求估计利用极大似然估计定义求估计i)建立似然函数建立似然函数ii)由由x1,x2,xn确定顺序统计值确定顺序统计值x(1)x(2)x(n)本讲稿第二十六页，共二十九页则则 即为即为 i(1 i r)的极大似然估计。的极大似然估计。本讲稿第二十七页，共二十九页例例2.7 设总体设总体X在在 1,2上服从均匀分布，上服从均匀分布，X的样本的样本为为X1,X2,Xn，求，求 1及及 2的极大似然估计。的极大似然估计。本讲稿第二十八页，共二十九页本讲稿第二十九页，共二十九页