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1、弹性力学Theory of Elasticity陶嗣巍陶嗣巍北京吉利大学汽车学院北京吉利大学汽车学院应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程 外力、内力与应力Chapter 3.1 外 力 外力、内力与应力Chapter 3.1 外 力n 体体 力力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。n 面面 力力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空
2、气动力、水坝所受的水压力等。上的空气动力、水坝所受的水压力等。外力、内力与应力Chapter 3.1 定定 义义 式式体力：体力：外力、内力与应力Chapter 3.1 定定 义义 式式面力：面力：外力、内力与应力Chapter 3.1 内 力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是
3、为了精确描述内力而引进的。为了精确描述内力而引进的。外力、内力与应力Chapter 3.1 应 力 应力矢量应力矢量 外力、内力与应力Chapter 3.1若取若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出为变形前面元的初始面积，则上式给出工工程应力程应力，亦称，亦称名义应力名义应力，常用于小变形情况。，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面为变形后面元的实际面积，称积，称真实应力真实应力，简称真应力，简称真应力,也称也称柯西应力柯西应力。应力矢量应力矢量：外力、内力与应力Chapter 3.1应力的定义应力的定义 外力、内力与应力Chapter 3.1 应
4、力矢量的大小和方向不仅和应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而点的位置有关，而且和面元法线方向且和面元法线方向 有关。有关。外力、内力与应力 作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。向相同，则应力矢量也相同。外力、内力与应力Chapter 3.1应力矢量应力矢量和和 面力矢量面力矢量的的数学定义和物理量纲都相数学定义和物理量纲都相同。同。区别在于：应力是作用在物体内界面上的区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力
5、未知内力，而面力是作用在物体外表面的而面力是作用在物体外表面的已知外力已知外力。当内截面无。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。外力、内力与应力Chapter 3.1正六面体微元正六面体微元:外法线与外法线与坐标轴同向的三个面称坐标轴同向的三个面称为为正面正面，记为，记为dSi，它们它们的单位法向矢量为的单位法向矢量为 iei，ei是是沿坐标轴的单位沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为坐标轴反向的面元称为负面负面。外力、内力与应力Chapter 3.1 外力、内力与应力Chapter 3.1应力
6、分量的正负号规定 外力、内力与应力Chapter 3.1应力分量的个数 外力、内力与应力Chapter 3.1x2 22x1 11 31e2e3 e1x3 33 32 13 23 21 12 外力、内力与应力Chapter 3.1把作用在正面把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：即：x2 22x1 11 31e2e3e1x3 33 32 13 23 21 12 外力、内力与应力Chapter 3.1共出现九个应力分量：共出现九个应力分量：外力、内力与应力Chapter 3.1 第一指标第一指标i表示面元的法线方向，称表示面元的法线方向，称面元指标
7、面元指标；第；第二指标二指标j表示应力的分解方向，称表示应力的分解方向，称方向指标方向指标。当当ij时，应力分量垂直于面元，称为时，应力分量垂直于面元，称为正应力正应力。当。当ij 时，应力分量作用在面元平面内，称为时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力剪应力。应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程Chapter 3.2柯西公式四面体四面体OABC，由三个负，由三个负面和一个法向矢量为面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中的斜截面组成，其中为为 方向的方向余弦。方向的方向余弦。斜截面上的应力Chapter 3.2斜截面
8、上的应力柯西公式Chapter 3.2 的面积为的面积为dS,则三个负面的面积分别为则三个负面的面积分别为斜截面的面元矢量为：斜截面的面元矢量为：柯西公式Chapter 3.2四面体的体积为：四面体的体积为：dh为顶点为顶点 O 到斜面到斜面的垂直距离的垂直距离n n柯西公式Chapter 3.2四面体上作用力的平衡条件是：四面体上作用力的平衡条件是：第五项是体力的合力，由于第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以是小量，故体力项可以略去。可得：略去。可得：柯西公式Chapter 3.2根据商判则，知根据商判则，知 必是一个二阶张量，于是定义应必是一个二阶张量，于是定义应力张量力张量柯
9、西公式这就是著名的这就是著名的柯西公式柯西公式，又称，又称斜面应力公式斜面应力公式。Chapter 3.2柯西公式Chapter 3.2把斜面应力沿坐标轴方向分解：把斜面应力沿坐标轴方向分解：则柯西公式的分量表达式为则柯西公式的分量表达式为即即柯西公式Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的大小斜面上应力的大小柯西公式Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的方向斜面上应力的方向即即柯西公式Chapter 3.2斜面正应力斜面正应力斜面剪应力斜面剪应力 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯
10、西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式Chapter 3.2 若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件力场的力边界条件：其中其中pj是面力是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为沿坐标轴方向的分量，通常记为写成指标符号写成指标符号 柯西公式应用给定应力边界条件柯西公式应用给定应力边界条件柯西公式应力理论 外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程Chapter 3.3 主应力&应力不变量Chapter 3.3 主应力&应力不变量 概 念 切应力为零的微分面称为切应力为零的微分面称为主微分平面主
11、微分平面，简称，简称主平面主平面。主平面的法线称为主平面的法线称为应力主轴，应力主轴，或者称为或者称为应力主方向应力主方向。主平面上的正应力称为主平面上的正应力称为主应力主应力。Chapter 3.3 主应力&应力不变量 主应力和应力不变量假设存在主平面假设存在主平面BCD，其法线方向为，其法线方向为n(l,m,n)，截面截面上的总应力上的总应力 pn ，亦即亦即n方向截面上剪应力为零。方向截面上剪应力为零。则截面上总应力则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为在坐标轴方向的分量可以表示为Chapter 3.3 主应力&应力不变量对斜面对斜面BCD运用柯西公式，可得：运用柯西公式，可得：
12、由由剪应力互等定理剪应力互等定理可得：可得：Chapter 3.3 主应力&应力不变量由由(1)(1)和和(2)(2)式得：式得：Chapter 3.3 主应力&应力不变量由于由于 ，所以要有非零，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：列式为零：Chapter 3.3 主应力&应力不变量展开行列式得到展开行列式得到应力状态应力状态的的特征方程特征方程：式中式中Chapter 3.3 主应力&应力不变量Chapter 3.3 主应力&应力不变量求解应力状态的特征方程，可以得到求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根三个实
13、根：1，2，3，即为该点的三个即为该点的三个主应力主应力。Chapter 3.3 主应力&应力不变量若将一个根代入如下方程组：若将一个根代入如下方程组：可以顺次求出相应于可以顺次求出相应于1，2和和3的三个主方向：的三个主方向：Chapter 3.3 主应力&应力不变量 I1、I2和和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应是三个与坐标选择无关的标量，称为应力张量的第一、第二和第三力张量的第一、第二和第三不变量不变量。它们是相互独立。它们是相互独立的。的。通常主应力按其通常主应力按其代数值的大小代数值的大小排列，称为第一主应排列，称为第一主应力力1、第二主应力、第二主应力2和第三主应力和第三主
14、应力3，且，且 Chapter 3.3 主应力&应力不变量 主应力的性质 不变性不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。根的主应力及相应主方向都是不变量。实数性实数性 即特征方程的根永远是实数。即特征方程的根永远是实数。Chapter 3.3 主应力&应力不变量 极值性极值性主应力主应力1和和3是一点正应力的最大值和最小值。是一点正应力的最大值和最小值。在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：Chapter 3.3 主应力&应力不变量正交性正交性 特征方程无重根
15、特征方程无重根时，三个主应力必两两正交；时，三个主应力必两两正交；特征方程有一对重根特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作时，在两个相同主应力的作用平面内呈现双向等拉用平面内呈现双向等拉(或等压或等压)状态，可在面内任状态，可在面内任选两个相互正交的方向作为主方向；选两个相互正交的方向作为主方向；特征方程出现三重根特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。的方向都可作为主方向。Chapter 3.3 主应力&应力不变量 在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，沿每点主方向的直线称为该点的沿每点
16、主方向的直线称为该点的主轴主轴。处处与主方向相切的曲线称为处处与主方向相切的曲线称为主应力迹线主应力迹线。以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系主坐标系。在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型 主应力坐标系主应力坐标系Chapter 3.3 主应力&应力不变量在主坐标系中，主不变量表示为在主坐标系中，主不变量表示为 主应力坐标系主应力坐标系例：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：MPa）试求主应力分量及主方向余弦。试求主应力分量及主方向余弦。解：此点的应力状态张量的矩阵形式为：此
17、点的应力状态张量的矩阵形式为：主应力&应力不变量首先，求出应力不变量为首先，求出应力不变量为于是，特征方程为于是，特征方程为 主应力&应力不变量求解此特征方程，得三个主应力分别为求解此特征方程，得三个主应力分别为 主应力&应力不变量将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，并利用关系式并利用关系式 ，联立求解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为联立求解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为求求1的方向余弦，的方向余弦，l1、m1、n1，将将1214.6代入上代入上式的前两式得式的前两式得 主应力&应力不变量 主应力&应力不变量同样可得其余两组方向余弦
18、为：同样可得其余两组方向余弦为：主应力：主应力：主方向方向余弦：主方向方向余弦：主应力&应力不变量Chapter 3.3 主应力&应力不变量 应力偏量将应力张量分解成球形张量和偏斜张量将应力张量分解成球形张量和偏斜张量其中其中球形应力张量：球形应力张量：Chapter 3.3 主应力&应力不变量应力偏量应力偏量应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力 在主应力坐标系中：在主应力坐标系中：约束条
19、件：约束条件：Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力引进拉格朗日乘子引进拉格朗日乘子，求泛函，求泛函 的极值。的极值。相应极值条件为相应极值条件为于是，可得如下方程组于是，可得如下方程组Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力可解出三个法线方向可解出三个法线方向 ，分别代入下式便可得到三个，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力最大剪应力。Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力剪应力的三个极值：剪应力的三个极值：方向：与对应的两个主应力夹角为方向：与对应的两个主应力夹角为 45。OChapter 3.4最大剪应力&八
20、面体剪应力 正八面体Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力八面体正应力八面体正应力0为为由由可得可得八面体剪应力八面体剪应力0 为为应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程Chapter 3.5平衡微分方程同理，得到同理，得到 y 方向和方向和 z 方向的平衡方程式分别为方向的平衡方程式分别为Chapter 3.5平衡微分方程应力的平衡微分方程应力的平衡微分方程(简称简称平衡方程平衡方程)如下：如下：用指标符号可缩写成用指标符号可缩写成Chapter 3.5平衡微分方程对于弹性动力学问题，可把惯性力作为体力，于是由平衡方程对于弹性动力学问题，可把惯性力作为体力，于是由平衡方程导出导出运动微分方程运动微分方程其中，其中，为材料密度，为材料密度，ui为位移分量，为位移分量，t为时间。为时间。剪应力互等定理 剪应力互等定理 剪应力互等定理Chapter 3.5平衡微分方程应力的平衡微分方程应力的平衡微分方程(简称简称平衡方程平衡方程)如下：如下：用指标符号表示为：用指标符号表示为：用实体符号表示为：用实体符号表示为：