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1、共线向量定理共线向量定理:复习：复习：共面向量定理共面向量定理:第1页/共22页平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyo第2页/共22页问题：问题：我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量 且设 为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在 所确定平面上的正投影由平面向量基本
2、定理有第3页/共22页一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解xyzQPO 由此可知由此可知,如果如果 是空间两两垂直的向量是空间两两垂直的向量,那么那么,对空间任一对空间任一向量向量 ,存在一个有序实数组存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量上的分向量.第4页/共22页空间向量基本定理：空间向量基本定理：都叫做基向量注注:如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组x,y,z使探究：探究：在空间中在空间中,如果用任意三个不共面向量如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的你能得出类似的 结论
3、吗？结论吗？第5页/共22页（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 .（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.第6页/共22页二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3,以点O为原点
4、，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyzxyze1e2e3O第7页/共22页 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向量 ,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=p由空间向量基本定理可知,存在有序实数组x,y,z使 p=xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3 此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系oxyz中的坐标(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.第8页/共22页 在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点P,对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x,y,z,使 (如图
5、).显然,向量 的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z)也就是说也就是说,以以O为起点的有向线为起点的有向线段段(向量向量)的坐标可以和终点的坐的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系标建立起一一对应的关系,从而互从而互相转化相转化.我们说我们说,点点P的坐标为的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标.e1e2e3第9页/共22页 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线
6、段的终点的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标点的坐标点的坐标点的坐标.空间向量坐标运算法则，关键是注意空空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。坐标。AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设A(x1,y1
7、,z1),B(x2,y2,z2),则AB的坐标表示是什么？第10页/共22页练习练习1 1 如图在边长为如图在边长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，取中，取D D点点 为原点建立空间直角坐标系，为原点建立空间直角坐标系，O O、M M、P P、Q Q分别是分别是 ACAC、DDDD1 1、CCCC1 1、A A1 1B B1 1的中点，写出下列向量的坐标的中点，写出下列向量的坐标.z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1C C1D D1O OM MPQ Q第11页/共22页三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标
8、运算第12页/共22页YXZABCDEF例2 在正方体ABCDA1B1C1D1 中 E、F分别是 BB1 、CD 的中点 ，求证：D1F 平面ADE例1 1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a,a+b,a-b,8a,a b a b 第13页/共22页四、距离与夹角四、距离与夹角1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。线的长度。第14页/共22页在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式第15页/共22页（2 2）、两个向量夹角公式）、两个向量夹角公式注意：注意：（1 1）当）当 时，同向；时，同向；（2 2）当）当 时，反向；时，反向；（3 3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？第16页/共22页练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：第17页/共22页例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解第18页/共22页第19页/共22页20第20页/共22页练习练习3第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页