《南昌大学概率论随机变量函数的分布讲课稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南昌大学概率论随机变量函数的分布讲课稿.ppt（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、南昌大学概率论随机变量南昌大学概率论随机变量函数的分布函数的分布我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题问题 我们曾经讨论了一维随机变量我们曾经讨论了一维随机变量 X 函数函数 g(X)的分布，的分布，3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布现在我们进一步现在我们进一步二维随机变量的函数的分布问题二维随机变量的函数的分布问题讨论讨论:二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布的分布 和二元函数和二元函数 Z=g(X,Y)一维随机变量一维随机变量 Z 的分布的分布 分两种情形讨论分两种情形讨论2例例1 1 设设(X,Y)的分布律为
2、的分布律为 求求(1)Z=X+Y(2)Z=XY 的分布律的分布律.一一 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布XY 0 1 2-1 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2解解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-1 0 1 2 3 4(X,Y)Z=X+YZ=XY 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 0 -1 -2 0 2 4Z=XY 0.3 0.1 0.3 0.1 0.2 -1 -2 0 2 43设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,其联合分布率为其联合分布率为 则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其
3、分布率为其分布率为 结论结论4例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.得得因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解5可得可得所以所以6例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为于是于是解解78二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布设设连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度为为 f(x,y)，其函数其函数 Z=g(X,Y)为连续函数为连续函数,求求连连续续型型随随机机变变
4、量量 Z 的的概概率率密密度度 fZ(z)？(I)(I)求求 Z 的分布函数的分布函数 FZ(z)；(II)对分布函数对分布函数 F FZ Z(z z)求导即得求导即得 Z Z 的概率密度的概率密度 f fZ Z(z z ).FZ(z)=P(Z z)=P(g(X,Y)z)构成的区域记为构成的区域记为G =P(X,Y)G)分布函数法分布函数法=P(g(X,Y)z)=P(g(X,Y)z)9 0 1 x y 例例4 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求 Z=X-Y 的概率密度的概率密度.解解 x-y=zy=x FZ(z)=P(Z z)=P(X-Y z)当当 z 0 时时,当当 0 z 1 时时
5、,当当 z 1 时时,0;=1,z 10题题 设设X,Y独立，密度函数分别为独立，密度函数分别为 ，求求 Z=2X+Y 的密度函数。的密度函数。解：解：xO71y292x+y=z显然，当显然，当z0时时,11O71y292x+y=z当当0zz=1 PXz,Yz若若X与与Y相互独立相互独立 则则 FZ(z)=1 PXzPYz=1 1 PXz1 PYz=1 1 FX(z)1 FY(z)28 由于当由于当 L L1,L L 2中有一个损坏中有一个损坏时时,系统系统 L L 就停止工作就停止工作,已知它们的概率已知它们的概率密度分别为密度分别为 例例8 8 设系统设系统 L 由两个独立的子系统由两个独
6、立的子系统 L L1,L L 2 联接而成联接而成,联接的方式分别为联接的方式分别为:(1)(1)串联，串联，(2)(2)并联并联,(3),(3)备用备用(当系统当系统L L1 损时损时,系统系统L L2 开始工作开始工作),),设设L L1,L L 2的寿命分别为的寿命分别为X,Y,试分别就以上三种联接方式写出试分别就以上三种联接方式写出 L 的寿命的寿命 Z 的概率密度的概率密度.XYL L2L L1解解 (1)(1)串联的情况串联的情况:Z=min(X,Y)的分布函数为的分布函数为 故故 L L 的寿命为的寿命为 Z=min(X,Y),Fmin(z)=1-1-1-FX(z)1-FY(z)
7、29 由于当系统由于当系统 L L1 损时损时,系统系统 L L2 才才开始工作开始工作,由于当且仅当由于当且仅当L L1,L L 2都损坏时都损坏时,系统系统 L L 才停止工作才停止工作,(2)(2)并联的情况并联的情况:故故 L L 的寿命为的寿命为 Z=max(X,Y),Z=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为 。XYL L1L L2(3)(3)备用的情况备用的情况:XYL L1L L2故故 L L 的寿命为的寿命为 Z=X+Y,当当 z 0 时时,当当 z 0 时时,Z 的概率密度函数的概率密度函数,30推广推广31例例9 对某种电子装置的输出测量了对某种电子装置的输出测量了5次
8、次,得到的观察值为得到的观察值为X1,X2,X3,X4,X5,设它们设它们是相互独立的装置是相互独立的装置,且都服从同一分布且都服从同一分布 试求试求:Z=maxX1,X2,X3,X4,X54的概率的概率32PZ4=1 PZ4=1 FZ(4)由已知由已知,有有FZ(z)=F(z)5则则PZ4=1 F(4)5=1(1 e2)5解解:33 常常称称 M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为为极值极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值研究极值分布具有重要的意义和实用价值.当当X1,
9、Xn相互独立相互独立,且具有相同分布函数且具有相同分布函数F(x)时时,以上采用以上采用分布函数法分布函数法讨论了和、商以及极值的分布问题，讨论了和、商以及极值的分布问题，其他形式的函数的分布问题仍可采用分布函数法来解决，其他形式的函数的分布问题仍可采用分布函数法来解决，34例例10 若若X 和和 Y 独立独立,且概率密度分别为且概率密度分别为:解解 X 和和Y 独立独立,0 x y FZ(z)=P(Z z)当当 z 0 时时,当当 z 0 时时,=0;351设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度是如果各周的需求量是相互独立的，试求：两周的需求量的概率密度。解解:分别用X,Y表示该种商品在第一，二周内的需要，则其概率密度函数分别为:36两周需要量两周需要量Z=X+Y,ZZ=X+Y,Z的概率密度函数为的概率密度函数为:时，被积函数不为零，时，被积函数不为零，所以所以 （1）当当z 0时时,有有37(2)(2)当当z0,z0,382设X，Y的联合概率密度为试求的分布函数和概率密度。解：解：(1)z0FZ(z)=0；故39结束！结束！