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1、第二讲整数规划与规划1现在学习的是第1页，共34页什么是整数规划与0-1规划？n定义定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。n整数规划的分类（一般指整数线性规划整数规划的分类（一般指整数线性规划）1.变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。2.变量部分限制为整数的，称混合整数规划。3.变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。2现在学习的是第2页，共34页例 13现在学习的是第3页，共34页例例 2 背包问题背包问题
2、4现在学习的是第4页，共34页 整数规划特点n(1)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：1.原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。2.原线性规划最优解不全是整数，则整数规划最优解小于原线性规划最优解（max）或整数规划最优解大于原线性规划最优解（min）。3.整数规划无可行解。n(2)整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。5现在学习的是第5页，共34页整数规划求解方法分类（i）分枝定界法可求纯或混合整数线性规划。（ii）割平面法可求纯或混合整数线性规划。（iii）隐枚举法求解“0-1”整数规划：过滤隐枚举法；分枝隐枚举法。（i
3、v）匈牙利法解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。（v）蒙特卡洛法求解各种类型规划。6现在学习的是第6页，共34页整数规划-分枝定界法n对有约束条件的最优化问题的可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限不优于已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。7现在学习的是第7页，共34页例题演示例 3 求解下述整数规划 s.t.AB先不考虑整数限制，即解相应的线性规划，得最
4、优解为：8现在学习的是第8页，共34页n显然它不符合整数条件显然它不符合整数条件。这时Z是问题A的最优目标函数值Z*的上界，记作 。而 显然是问题A的一个整数可行解，这时Z=0，是Z*的一个下界，记作 ，即9现在学习的是第9页，共34页分支分支n因为 当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选 进行分枝，把可行集分成2个子集：n因为4与5之间无整数，故这两个子集内的整数解必与原可行集合整数解一致。这一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下：10现在学习的是第10页，共34页再定界：n对问题B1再进行分枝得问题B11和B12，它们的最优解为:再定界：，并将B12剪枝。n对问题B2再
5、进行分枝得问题B21和B22，它们的最优解为:无可行解。将 剪枝，于是可以断定原问题的最优解为：11现在学习的是第11页，共34页0=Z*=355.8799340=Z*=355.8799340=Z*=341.412现在学习的是第12页，共34页13现在学习的是第13页，共34页14现在学习的是第14页，共34页小结n从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：n首先，将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。ni）解问题B可能得到以下情况之一：（a）B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止 （b）B有最优解，并符合A问题的整数条件，B的最优解即
6、为A的最优解，则停止。（c）B有最优解，但不符合问题的整数条件，记它的目标函数值为 。15现在学习的是第15页，共34页小结（续）nii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 表示问题的最优目标函数值；这时有 其次，进行迭代。n第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以bj表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件:n将这两个约束条件，分别加入B问题，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数条件求解这两个后继问题。n定界，以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界
7、 。从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 ，若无作用 =0 。n第二步：比较与剪枝，各分枝的最优目标函数中若有小于 者，则剪掉这枝，即以后不再考虑了。若大于 ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直到最后得到 =为止。得最优整数解 。16现在学习的是第16页，共34页分析n整数规划关键是找到一下限-最大化问题（或上限-最小化问题），用来剪枝，通过观察法，我们往往可以得到这个下限或上限，但是有没有更好的办法来得到一个相对较好的值呢？n初值选取-蒙特卡洛法17现在学习的是第17页，共34页MATALB求解命令n%x,y=IntLp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,
8、x,id)n%整数线性规划分支定界法，可求解全整数或混合整数线性规划。n%y=min f*x s.t.G*x10），这几乎是不可能的。因此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然，对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是必要的。25现在学习的是第25页，共34页例 6求解思路及改进措施：1.先试探性求一个可行解，易看出 满足约束条件，故为一个可行解，且相应的目标函数值为 2.因为是求极大值问题，故求最优解时，凡是目标值 的解不必检验是否满足约束条件即可删除，因它
9、肯定不是最优解，于是应增加一个约束条件（目标值下界）：称该条件为过滤条件(Filtering Contraint)。26现在学习的是第26页，共34页从而原问题等价于：s.t.27现在学习的是第27页，共34页从而得最优解 ，最优值 28现在学习的是第28页，共34页MATALB求解命令x=bintprog(f)x=bintprog(f,A,b)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0)x=bintprog(f,A,b,Aeq,Beq,x0,options)x,fval=bintprog(.)x,fval,exitflag=bin
10、tprog(.)x,fval,exitflag,output=bintprog(.)nx,f=Lp01_e(c,A,b,N)%枚举法nx,f=Lp01_ie(c,A,b,N)%隐枚举法%Lp01_e和Lp01_ie分别为枚举法和隐枚举法%求解0-1线性规划问题%min f=c*x,s.t.A*x=b,x的分量全为整数0或1,%其中N表示约束条件 Ax b中的前N个是等式，N=0时可以省略。%返回结果x是最优解，f是最优解处的函数值。29现在学习的是第29页，共34页练习（一个分派问题）n有5个工人，要分派他们分别完成5项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表，问应如何安排工作，可使总的消耗时间
11、最小？工 作工 人甲乙丙丁戊ABCDE535676457486756469275186830现在学习的是第30页，共34页31现在学习的是第31页，共34页c=5 6 8 4 5 3 4 6 6 1 5 5 7 9 8 6 7 5 7 6 7 4 6 2 8;A=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
12、0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1;b=1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;x0 f0=bintprog(c,A,b);nX0=1 0 0 00 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 00 0 0 10 即是：x11=x25=x32=x43=x54=1,其它全为0 f0=1832现在学习的是第32页，共34页蒙特卡洛法（随机取样法）n前面介绍的常用的整数规划求解方法，主要是针对线性整数规划而言，而对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而有效的求解方法，因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找到，更何况是非线性整数规划。n然而，尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出最优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下，完全可以得出一个满意解。33现在学习的是第33页，共34页见附录34现在学习的是第34页，共34页