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1、第三讲数据包络分析第三讲数据包络分析评价相对有效性的评价相对有效性的DEA模型模型主讲：董庆来主讲：董庆来 例例1 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金流动资金x2、职工人数职工人数x3）和产出（总产值和产出（总产值y1、利税总额利税总额y2）的有关数据如下表的有关数据如下表 企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268哪个企业生产率最高？哪个企业生产率最高？多指标输入
2、和多指标输出多指标输入和多指标输出例2 某地区为了优化产业结构，对该地区的建筑、食品、纺织、医药、电子和房地产产业进行分析，确定相对优势的产业，为制定地区产业发展战略服务。序号 指标行业投入指标产出指标固定资产投资x1劳动力用量x2流动资产占用x3利税额y1增加值y21建筑8124125608420357369702食品606152304320351058703纺织1013042605820421091204医药2034223101256012680216805电子2056112101351021760432506房地产4632179012640792021320例例3(多指标评价问题多指标评
3、价问题)某市教委需要对六所重点中学进行某市教委需要对六所重点中学进行评价评价,其相应的指标如其相应的指标如下下表所示表所示,表中的生均投入和非低收表中的生均投入和非低收入入家庭百分比是输入指标家庭百分比是输入指标,生均写作得分和生均科技得分是输生均写作得分和生均科技得分是输出指标出指标.请根据这些指标请根据这些指标,评价中哪些学校是相对有效的评价中哪些学校是相对有效的.1978年由著名的运筹学家年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯查恩斯),W.W.Cooper(库伯库伯),及及E.Rhodes(罗兹罗兹)首先提出首先提出了一个被称为数据包络分析（了一个被称为数据包络分析（Data En
4、velopment analysis,简称简称DEA模型模型）的方法，用于评价相同）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）有效）.他们的第一个模型被命名为他们的第一个模型被命名为C2R模型模型.这一模型是用来研究具有多个输入这一模型是用来研究具有多个输入,特别是具有特别是具有多个输出的多个输出的“生产部门生产部门”同时为同时为“规模有效规模有效”与与“技技术有效术有效”的十分理想且卓有成效的方法的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯年查恩斯,库伯库伯,格拉尼格拉尼(B.Golany),赛福德赛福德(L.Seiford)和斯图茨和斯图茨
5、(J.Stutz)给出另一个模型给出另一个模型(称为称为C2GS2模型模型),这一这一模型用来研究生产部门间的模型用来研究生产部门间的“技术有效性技术有效性”.1987年年查查恩恩斯斯,库库伯伯,魏魏权权龄龄和和黄黄志志明明又又得得到到了了称称为为锥锥比比率率的的数数据据包包络络模模型型C2WH模模型型。这这一一模模型型可可用用来来处处理理具具有有过过多多的的输输入入及及输输出出的的情情况况,而而且且锥锥的的选选取取可可以以体体现现决决策策者者的的“偏偏好好”.灵灵活活地地应应用用这这一一模模型型,可可以以将将C2R模型中确定出的模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队有效决策单元进行分
6、类或排队.数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和库伯等人的查恩斯和库伯等人的第一个应用第一个应用DEA的十分成功的十分成功的案例的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果效果.在评估中在评估中,输出包括输出包括“自尊自尊”等无形的指标等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪无论哪种指标都有无法与市场价格相比较种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定也难以轻易定出适当的权重出适当的权重(权系数权系数),这也是这也是DEA的优点之一的优点之一.DEA的
7、优点吸引众多的应用者的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行美国军用飞机的飞行,基地维修与保养基地维修与保养,以及陆军以及陆军征兵征兵,城市城市,银行等方面银行等方面.目目前前,这这一一方方法法应应用用的的领领域域在在不不断断地地扩扩大大.它它也也可可以以用用来来研研究究多多种种方方案案之之间间的的相相对对有有效效性性(例例如如投投资资项项目目的的评评价价);研研究究在在决决策策之之前前去去预预测测一一旦旦做做出出决决策策后后它它的的相相对对效效果果如如何何(例例如如建建立立新新厂厂后后,新新厂厂相相对对于于已已有有的的一一些些工工厂厂是是否否为有效为有效).
8、DEA是是对对其其决决策策单单元元（同同类类型型的的企企业业或或部部门门）的的投投入入规规模模、技技术术有有效效性性作作出出评评价价，即即对对各各同同类类型型的的企企业业投投入入一一定定数数量量的的资资金金、劳劳动动力力等等资资源源后后，其其产产出出的的效效益益（经经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。例例1 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金流动资金x2、职工人数职工人数x3）和产出（总产值和产
9、出（总产值y1、利税总额利税总额y2）的有关数据如下表的有关数据如下表 企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268 由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。权的办法来综合投入指标值和产出指标值。对于第一个企业，产出综合值为对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值投入综合值4v1+15v2+8v3，其中其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权分别为产出与投入的权重系数。重系数。我们定义第一个企业的生产效
10、率为：我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投总产出与总投入的比，即入的比，即类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：我们限定所有的我们限定所有的hj值不超过值不超过1，即，即 ，这意，这意味着：味着：若第若第k个企业个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的
11、。的。因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：如下：这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。能求解。max设设则此分式规划可化为如则此分式规划可化为如下的线性规划下的线性规划max 设设vi为第为第i个指标个指标xi的权重，的权重，ur为第为第r个产出个产出yr指标的权重，指标的权重，则第则第j个企业投入的综合值为个企业投入的综合值为 ，产出的综合值为，产出的综合值为 其生产效率定义为其生产效率定义为:于是问题实际上是确定一组最佳的权变量于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和和
12、u1,u2，使第使第j个企业的效率值个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。我们限定所有的我们限定所有的hj值值(j=1,2,3)不超过不超过1，即，即maxhj1。这意味着，若第这意味着，若第k个企业个企业hk=1，则该企业相对于其他企则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若若hk0;yrj(r=1,2,.,s,j=1,2,.,n)表示第表示第j个决策单元对第个决策单元对第r
13、种输出的产出量，并且满足种输出的产出量，并且满足yrj0;vi(i=1,2,.,m)表示第表示第i种输入的一种度量种输入的一种度量(或称为权或称为权);u r(r=1,2,.,s)表示第表示第r种输出的的一种度量种输出的的一种度量(或称为权或称为权).将上表中的元素写成向量形式，如下表所示将上表中的元素写成向量形式，如下表所示.X1X2.Xj.Xn v 1 2 .j .n uY1Y2.Yj.Yn在上表中在上表中,Xj,Yj(j=1,2,.,n)分别为决策单元分别为决策单元j的输入、输出向量，的输入、输出向量，v,u分别分别为输入、输出权重为输入、输出权重.每个决策单元的效率评价指数定义为：每个
14、决策单元的效率评价指数定义为：j=1,2,nj=1,2,n向量向量表示表示而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：上述模型中xij,yrj为已知数（可由历史资料或预测数据得到），vi,ur为变量。模型的含义是以权系数vi,ur为变量，以所有决策单元的效率指标hj为约束，以第j0个决策单元的效率指数为目标。即评价第j0个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。s.t.vi,ur0,i=1,2,m;r=1,2,p（1）这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令 则模型（1）转化为：（2）（2）写成向量形式有:定义定义1:若该模型中则称决策单元若该模
15、型中则称决策单元 j0 是弱是弱DEA有效的有效的.定义定义2:若该模型中存在最优解并且若该模型中存在最优解并且,有有 则称决策单元则称决策单元 j0 是弱是弱DEA有效的有效的.例2 某地区为了优化产业结构，对该地区的建筑、食品、纺织、医药、电子和房地产产业进行分析，确定相对优势的产业，为制定地区产业发展战略服务。序号 指标行业投入指标产出指标固定资产投资x1劳动力用量x2流动资产占用x3利税额y1增加值y21建筑8124125608420357369702食品606152304320351058703纺织1013042605820421091204医药2034223101256012680
16、216805电子2056112101351021760432506房地产4632179012640792021320对建筑业的线性规划模型为其他行业的模型可仿此建立，共需针对六个行业，建立六个模型。六个模型的求解结果为：电子、房地产业的最优值为1，为DEA有效；建筑、食品、纺织、医药行业的最优值小于1，为DEA无效。DEA无效的含义是与其他行业相比，本行业投入的综合评价为1时，最大产出小于1.说明该行业效率较低，需进一步研究内部管理是否有问题和是否适应本地条件等问题。DEA有效说明与其他行业相比，本行业投入的综合评价为1时，最大产出等于1.投入与产出是较匹配，效率较高的。例例3(多指标评价问题
17、多指标评价问题)某市教委需要对六所重点中学进行某市教委需要对六所重点中学进行评价评价,其相应的指标如其相应的指标如下下表所示表所示,表中的生均投入和非低收表中的生均投入和非低收入入家庭百分比是输入指标家庭百分比是输入指标,生均写作得分和生均科技得分是输生均写作得分和生均科技得分是输出指标出指标.请根据这些指标请根据这些指标,评价中哪些学校是相对有效的评价中哪些学校是相对有效的.例例 4(继例继例 3)运用运用C2R模型求解例模型求解例 3.解解 按照按照C2R模型写出相应的模型写出相应的LINGO程序，程序名：程序，程序名：exam0810.lg4.C2R模型的求解模型的求解运行程序时，运行程
18、序时，P的值分别输入的值分别输入(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),.,(0,0,0,0,0,1)，经过，经过6次计算，得到次计算，得到6个最优目标值个最优目标值 1,0.9096132,0.9635345,0.9143053,1,1,并且对于学校并且对于学校A(决策单元决策单元1)有有 对于学校对于学校E(决策单元决策单元5)有有 和和 对于学校对于学校F(决策单元决策单元6)有有 因此，学校因此，学校A,E,F是是DEA有效的。有效的。解解 按照按照 模型写出相应的模型写出相应的LINGO程序：程序：sets:DMU/1.6/:S,T,P;!Decision Makin
19、g Unit;II/1.2/:w;!Input Index;OI/1.2/:u;!Output Index;IV(II,DMU):X;!Input Variable;OV(OI,DMU):Y;!Output Variable;endsetsdata:P=?;X=89.39 86.25 108.13 106.38 62.40 47.19 64.3 99 99.6 96 96.2 79.9;Y=25.2 28.2 29.4 26.4 27.2 25.2 223 287 317 291 295 222;enddatamax=sum(DMU:P*T);for(DMU(j):S(j)=sum(II(i)
20、:w(i)*X(i,j);T(j)=sum(OI(i):u(i)*Y(i,j);S(j)=T(j);sum(DMU:P*S)=1;END在上述程序，在上述程序，P的值分别输入（的值分别输入（1，0，0，0，0，0），），（0，1，0，0，0，0），（，（0，0，0，0，0，1）经过）经过6次计算，得到次计算，得到6个最优目标值个最优目标值1，0.9096132，0.9635345，0.9143053，1，1并且对于学校并且对于学校A（决策单元（决策单元1）有）有 ，对于学校对于学校E（决策单元（决策单元5）有）有 ，对于学校对于学校F（决策单元（决策单元6）有）有 ，因此，因此，学校学校A，E
21、，F是是DEA有效的。有效的。多目标决策的发展趋势：多目标决策的发展趋势：在实际生产和生活中，对一事物的决策不能仅仅依靠一个指标，而必须同时考核多种目标。AHP是一种确定权数的方法，也是一种依据权数进行决策的多目标决策方法。1.AHP的特点：将人们的思维过程数学化、模型化、系统化、规范化，将人们的思维过程数学化、模型化、系统化、规范化，便于人们接受。用它进行决策，输入的信息主要是决便于人们接受。用它进行决策，输入的信息主要是决策者的选择和判断，决策过程充分反映了决策者对决策者的选择和判断，决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识，多数情况下，决策者可以直接用策问题的认识，多数情况下，决策者可以
22、直接用AHP进行决策，大大增加了决策的有效性。进行决策，大大增加了决策的有效性。当决策者的判断过多的受到主观偏好的影响而产生某当决策者的判断过多的受到主观偏好的影响而产生某种对客观规律的扭曲时，结果就靠不住了。种对客观规律的扭曲时，结果就靠不住了。所以，所以，AHP一般仅用于一般仅用于方案选优方案选优2.DEA的特点：完全基于指数指标数据的客观信息进行评价，剔完全基于指数指标数据的客观信息进行评价，剔除了人为因素带来的误差。除了人为因素带来的误差。只表明评价单元的相对发展指标，无法表示出实只表明评价单元的相对发展指标，无法表示出实际发展水平。际发展水平。每一种评价方法有各自的优缺点，都是从不同的角度对被评价对象做出的估计，如果采用一种方法进行评价，其结果的可信性就值得怀疑。选择何种评价方法带有强烈的主观偏好当前评价热点-综合集成综合集成的方法，是采用综合集成的思想，将两种或两种以上的方法加以改造并结合,获得一种新的评估方法。【例】AHP与DEA的集成AHP法的判断矩阵是有评价者或专家给定的，因此其一致性必然受到有关人员的知识结构、判断水平及个人偏好等诸多主观因素的影响。DEA各决策单元的输入输出数据指标的权重为变量，使各指标的权重不受主观因素的影响。结合二者的权重可以得到加权综合权重，有决策者根据个人偏好决定权系数。