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1、中国海洋大学寿险精算讲中国海洋大学寿险精算讲义义55本章结构n净责任准备金（受益责任准备金）（net premium reserves）n净责任准备金的定义和原理(definition and principle of net premium reserves)n用前瞻法确定常见险种的净责任准备金(use prospective formula to evaluate net premium reserves)n净责任准备金的其他公式(other formulas for net premium reserves)n完全离散场合责任准备金的递推公式(recursion formulas for
2、 fully discrete reserves)n半连续责任准备金的确定(reserves on a semi-continuous basis)n一年缴费若干次责任准备金的确定(reserves based on true mthly premiums)n分数期责任准备金的确定(reserves at fractional durations)n责任准备金的计算基数（reserves formulas in terms of commutation function）n修正责任准备金（modified reserves）本章中英文单词对照n净责任准备金（受益责任准备金）n前瞻亏损n保费差公
3、式n缴清保费公式n过去法公式n未来法公式nNet premium reserve (Benefit reserves)nProspective lossnPremium-difference formulanPaid-up insurance formulanRetrospective formulanProspective formula1、责任准备金产生的原因0t未来责任未来收入w未来责任未来收入差值责任准备金1、责任准备金产生原因n净保费厘定原则：净均衡原则，保证了以保单发行日为参照点保险公司的未来保费收入现时值和未来保险赔付的现时值相等（at the date of policy is
4、sue,there is equivalence between two acturial present value,that is,equivalence between future benefit acturial present value and future net premiums acturial present value,PVFB=PVFP）。n但除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。(after a period of time,however,there will no longer be an equivalence b
5、etween the two acturial present value,for the insurer,usually PVFBPVFP)2、净责任准备金的定义和原理n定义：n保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。实质n责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴费现时值之差(net premium reserves are the difference between the two actuarial present value,this is a liability that should be recognized in any fina
6、ncial statement of an insurer,it is also an asset for the insured)3、责任准备金图解0t未来责任未来收入w未来责任未来收入差值责任准备金仍在保障范围内的被保险人数差值责任准备金对每位仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现值4、责任准备金的分类n按覆盖责任分：n净责任准备金（受益责任准备金）（net premium reserves）n费用责任准备金(expense reserves)n修正责任准备金(modified reserves)n按被保险人缴费、保险人赔付的方式分：n完全连续责任准备金（死亡即刻赔付，连续缴费）n完全离散责
7、任准备金（死亡年末赔付，生存期初缴费）n半连续责任准备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费）5、用前瞻法确定净责任准备金（以终身寿险为例）n前瞻亏损（prospective loss）n其中5、用前瞻法确定净责任准备金（以完全连续终身寿险为例）n前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金（前瞻亏损的期望也就是未来责任精算现值与未来收入精算现值之差）n用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法6、前瞻亏损现值方差的计算例5.1n已知：n利用前瞻方法确定完全连续终身寿险在未来任意时刻t的净责任准备金及前瞻损失的方差例5.1答案例5.2n已知n利率按6计算n求：例5.2答案例5.2答案例5.2答案00.0000
8、0.1187100.05770.1001200.12890.1174300.22710.1073400.36190.0861500.55080.0508600.82140.0097例5.3solutions例5.5例5.5答案7、前瞻法应用的推广完全连续场合完全离散场合（1）终身寿险，终身缴费（2）n年定期寿险，n年缴费（3）n年生存寿险，n年缴费（4）n年两全保险，n年缴费（5）h次缴费终身寿险（6）h次缴费n年两全保险（7）h次缴费n年定期保险（8）m年延期、m年缴费的终身生存年金例5.6n设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿命K的概率函数为n该保单在被保险人死亡年末给付1，年利率6
9、%。根据净均衡保费原则确定：（1）在趸缴保费场合，确定在各年期末责任准备金。（2）在净均衡保费场合，确定在各年期末责任准备金。（3）如果不使用净均衡原则，求使得保单签发时保险人未来损失变量为正的概率不超过1/4的最低保费例5.6答案n（1）趸缴保费场合n（2）期缴保费场合n（3）p=0.458参照时刻0123责任准备金00.890.920.94参照时刻0123责任准备金00.180.380.577例5.6提示（趸缴保费场合）例5.6提示（期缴净保费场合）例5.6提示n（3）例5.7n例：82岁签发的一份4年期完全离散式，保额为1000的定期保险，被保险人生存至第二年末，给出下列条件：n（1）n
10、（2）该保单均衡净保费120n（3）n试计算保单签发二年后保险公司未来损失变量现值的方差例5.7答案例5.7答案Pr(J=0)=0.12Pr(J=1)=0.1144Pr(J=2)=0.76562L=8802L=7602L=-240E(2L)=8.8,var(2L)=203026.568、责任准备金的其他公式n（1）保费差公式（premium-difference formula）n责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。n（2）缴清保险公式（paid-up insurance formula）n责任准备金等于部分受益的精算现值。n（3）后顾方法公式（retrospective method
11、）n责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值（accumulated cost of insurance）之差。（1）（premium-difference formula）保费差公式推导n以n年两全保险为例（2）（paid-up insurance formula）缴清保费公式推导n以完全连续n年两全保险为例（3）（retrospective method）后顾方法推导n以完全连续n年定期两全保险为例（3）（retrospective method）后顾方法推导9、应用前瞻公式和后顾公式的选择n在保障时间超出缴费期的场合，前瞻公式更为便利。n在尚未提供受益的递延期内，后顾公式更为方便。例5
12、.7n一种完全离散的保额为1000的3年期两全保险，已知：（1）i=6%(2)(3)n计算：年龄xx+1x+21000900810例5.7答案n由后顾公式：例5.8n已知：n计算：例5.8答案n后顾法例5.7的推广例5.910、责任准备金其它变形公式例5.10n计算在哪些时刻有n已知：n求哪些时刻t01013.1216.11112.815.81212.415.31311.9214.81411.3614.3例5.10答案 t100.180.19110.20.21120.220.23130.250.26140.290.28例5.11n考虑向个50岁的人发行保额为1000的完全离散5年期的人寿保险，
13、根据附录的生命表表6%的利率追踪这组保单的预期现金流量，并附得出净保费责任准备金的值。例5.11提示保单年度保费收入a利息收入b 死亡赔付c 基金年末余额 剩余有效保单 责任准备金 1234511、半连续责任准备金的确定n以h次缴费n年定期两全保险为例n其他险种场合可以同理推导。半连续责任准备金都可以转换为完全离散责任准备金的函数11、半连续责任准备金的确定例5.12例5.12答案12、recursive formulas for fully discrete reservesnWe consider a general insurance for(x)providing a death be
14、nefit of bj+1at the end of year of policy year j+1,purchased by net annual premiums j with j payable at the beginning of policy year j+1,the reserve h-1V at the end of policy year h-1 is given by12、recursive formulas for fully discrete reserves12、完全离散责任准备金的递推公式n解释n 为第年死亡受益，为第年初缴付保费。则第h1年为每个现存的被保险人准备
15、的责任准备金加上每个现存的被保险人缴付的保费积累到年末正好可以为每个在这一年内死亡的被保险人提供 元的死亡赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备 元责任准备金。12、完全离散责任准备金的递推公式n解释n 称为风险净值，是指一旦这一年中有死亡发生，死亡受益超过责任准备金部分的数额。n该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和有两个用途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准备金的差值；二是弥补该年死亡发生时而产生的风险净值。12、完全离散责任准备金的递推公式例5.13n已知：n计算：例5.13答案例5.14n对（x）签发的一份完全离散式终身寿险，保
16、费均衡缴纳，已知：n（1）n（2）第h年期初责任准备金为200n（3）第h年净风险保额为1295n计算（h1）年末责任准备金 例5.14答案例5.15nA deferred annuity issued to(x)for an annual income of 1commencing at age x+n is to be paid for by net annual premium during the dererred period,the benefit for death prior to age x+n is the net premium reserve.Assuming the
17、death benefit is paid at the end of the year of death,determine the net annual premium and the net premium reserve at the end of year k for k less than or equal to nsolutionsexercisen一份（x）的3年期两全保单，保额为3元，死亡给付在死亡年末，采用平衡原理决定均衡纯保费，保费在被保险人存活的每年期初缴纳，每年保费支付额为0.94元，保单签发1、2年后的责任准备金分别为0.66、1.56，计算n（1）qx （2）qx
18、+1n（3）var(0Lx)（4）var(1Lx)13、一年缴m次保费的责任准备金的确定 n完全离散终身寿险13、一年缴m次保费的责任准备金的确定14一年缴费m次的完全离散n年定期两全保险的责任准备金 n“损失保费”部分形成的额外责任准备金等于缴费期内每次缴纳 元纯保费的纯寿险完全离散责任准备金 的一部分，比例为 15、分数期责任准备金n近似方法15、分数期责任准备金16、责任准备金的转换函数（以终身寿险为例）第二节修正责任准备金费用责任准备金n净保费责任准备金（受益责任准备金）n保险人将来的净责任n费用责任准备金n由于保险业的特殊性，第一年的费用远远高于以后各年的费用，所以分期缴付保费场合，
19、保险人的费用责任准备金实际上一直是负的。n换言之，在保险费用这一方面是保险人先垫付了被保险人的费用，被保险人用将来的分期付款逐期偿还首年欠付费用。例6.8n保险计划：向（x）发行每年年初缴费的三年期两全保险n收支方式：完全离散n死亡率：n保险金额：1000n费用金额：见下一页费用明细表费用明细表费用类别时间第一年第二年保费%固定量保费%固定量推销佣金10%2%营业费用4%31税金、许可证费用2%2%保单维持2%12%1发行与等级分类2%4总计20%86%2例6.8分析一、纯(净)保费与净保费责任准备金计算例6.8分析二、毛保费和费用年金的计算例6.8分析三、毛保费责任准备金与费用责任准备金的计
20、算修正责任准备金的产生n如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保费责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变动非常大。n为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。修正责任准备金原理阶梯保费值n原始等额净保费n修正后阶梯保费修正前等额保费：P,P,，P修正后阶梯保费：，P修正责任准备金确定完全初年修正责任准备金nFull preliminary term(FTP)n条件：第一年的修正净保费为第一年的死亡受益现值n则有美国保险监督官标准n产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费率保单，第一年冲销的费用就过多了。n美国保险监督官标准：n如果是低保费保单：采用FPT调节n如果是高保费保单：，则加拿大修正制n加拿大保险法规允许更大力度的修正n条件：，其中 为第一年费用按均衡保费衡量的额外补贴，有n其中：na150净均衡保费nb新契约费nc仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及以后年中可收回费用的精算现值。结束！结束！