微积分——极限计算学习资料.ppt

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1、微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 一、数列极限计算一、数列极限计算 1.1.单调有界准则单调有界准则(掌握例题和习题掌握例题和习题)2.2.夹逼定理夹逼定理(掌握例题和习题掌握例题和习题)3.3.利用利用(lyng)(lyng)函数极限计算方法函数极限计算方法第四节第四节 极限极限(jxin)(jxin)的计算的计算二、函数极限计算二、函数极限计算(一一)一般极限计算一般极限计算 利用代入法、复合利用代入法、复合(fh)(fh)函数极限计算方法和函数极限计算方法和极限四则运算法则直接进行计算。极限四则运算法则直接进行计算。第一页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学

2、数学与信息科学系 廖扬 ：(1)(1)上下上下(shngxi)(shngxi)同除最大项同除最大项(抓大抓大头头)(2)(2)罗比达法则罗比达法则1.1.2.2.：(1)(1)约零因子约零因子(基本方法基本方法)(2)(2)分解因式分解因式(基本方法基本方法)(3)(3)根式有理化根式有理化(基本方法基本方法)(4)(4)等价无穷小代换（重点、难点）等价无穷小代换（重点、难点）(5)(5)罗比达法则罗比达法则(重点重点)(6)(6)三角变换三角变换(binhun)(binhun)(辅助方法辅助方法)(7)(7)变量替换变量替换(适当掌握适当掌握)(二二)未定式的计算未定式的计算(j sun)(

3、j sun)第二页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 3.3.：（1 1）根式）根式(gnsh)(gnsh)有理化有理化 （2 2）通分通分4.4.：化为化为 、5.5.（1 1）化为化为（2 2）利用利用(lyng)(lyng)重要极限重要极限第三页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 一、数列极限计算一、数列极限计算(j sun)(j sun)1.1.使用单调有界准则求极限使用单调有界准则求极限 步骤：（步骤：（1 1）利用数学归纳法证明数列）利用数学归纳法证明数列(shli)“(shli)“单调单调”、“有界有界”，从而证明极

4、限存在；，从而证明极限存在；（2 2）利用）利用 求出极限。求出极限。技巧：先猜测（数列技巧：先猜测（数列(shli)(shli)的单调性和界），再的单调性和界），再证明。证明。第四页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例求数列(shli)的极限(jxin).解：1.存在(cnzi)性令(1)单调性时设时时故对一切正整数有所以数列递增.第五页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 (2)有界性时时设时故对一切(yqi)正整数有,所以(suy)数列(shli)有界.综上所述,数列极限存在.第六页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学

5、 数学与信息科学系 廖扬 (2)求值设将两边(lingbin)求极限得即故第七页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 2.2.使用夹逼定理使用夹逼定理(dngl)(dngl)求极限求极限 方法方法(fngf)(fngf)：通过放缩，得到两个：通过放缩，得到两个“方便计算方便计算”且且“极限极限 相同相同”的数列。的数列。技巧：动小不动大。技巧：动小不动大。例求解因为(yn wi)且所以 原式第八页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例 求解 因为(yn wi)且所以(suy)原式第九页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学

6、与信息科学系 廖扬 二、函数极限计算二、函数极限计算(一一)一般极限计算一般极限计算 利用代入法、极限四则运算法则和复合函数利用代入法、极限四则运算法则和复合函数极限计算方法直接极限计算方法直接(zhji)(zhji)进行计算。进行计算。1.1.一些常见一些常见(chn jin)(chn jin)结果结果第十页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 （1）极限不为零的因子可以分离单独(dnd)计算（2）极限存在(cnzi)的和式可以拆分单独计算2.2.四则运算法则的灵活运用四则运算法则的灵活运用分离分离(fnl)(fnl)常量常量第十一页，共56页。微积分微积分 河

7、南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 ：上下：上下(shngxi)(shngxi)同除最大项同除最大项(抓大抓大头头)1.1.(二二)未定式的计算未定式的计算(j sun)(j sun)例例1求求解解 原式原式第十二页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2求求解解原式原式或或 原式原式第十三页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例3求求解解原式原式第十四页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例4 4第十五页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例5第十六页，

8、共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例6例例7例例8第十七页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例求求解解原式原式2.2.：(1)(1)约零因子约零因子(ynz)(ynz)(基本方法基本方法)第十八页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例1求求解解原式原式(2)(2)分解分解(fnji)(fnji)因式因式(基本方法基本方法)第十九页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2求求解解原式原式第二十页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬

9、 例例1求求解解原式原式(3)(3)根式有理化根式有理化(基本基本(jbn)(jbn)方法方法)第二十一页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2求求原式原式第二十二页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 (3)(3)等价无穷小代换等价无穷小代换(di hun)(di hun)(重点、难点重点、难点)若，在若，在x x的某变化的某变化(binhu)(binhu)过程过程下有下有常见常见(chn jin)的等价无穷小的等价无穷小则：则：第二十三页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 代换代换(di hu

10、n)原理原理第二十四页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 第二十五页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 1.寻找等价寻找等价(dngji)因子。因子。2.判断判断 极限极限(jxin)是否是否为零。为零。3.代换代换(di hun)为极限为零的为极限为零的 。代换步骤代换步骤第二十六页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例1 1第二十七页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2 2例例2 2第二十八页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖

11、扬 例例3 3第二十九页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例1 1注注1：自变量的变化过程不影响：自变量的变化过程不影响(yngxing)代换。代换。注意事项注意事项第三十页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2 2第三十一页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例3 3注注2：不为零，不可代换。不为零，不可代换。正解正解第三十二页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例4 4解解错错无法(wf)替换注注3：只换因子：只换因子(ynz)不换和差。不换和差。第三

12、十三页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 并不等价第三十四页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例4 4解解第三十五页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例1 1解题技巧解题技巧技巧技巧(jqio)1(jqio)1：拆分、合并：拆分、合并第三十六页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2 2第三十七页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例3 3技巧技巧2 2：提取：提取(tq)(tq)因子因子第三十八页，共56页。微积分微积分

13、河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 （5 5）罗比达法则）罗比达法则(fz)(fz)使用使用(shyng)方法方法对于对于(duy)(duy)型求极限问题，有型求极限问题，有 例例1 1例例2 2第三十九页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 注注1 罗比达法则可以反复罗比达法则可以反复(fnf)使用使用例例1 1例例2 2注意事项注意事项第四十页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 注注2：罗比达法则可能：罗比达法则可能(knng)失效失效例例3 3极限极限(jxin)(jxin)不不存在存在例例3 3可见可见(kjin)(k

14、jin)，罗比达法则失效。，罗比达法则失效。第四十一页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例4 4求求解解原式原式继续下去，陷入继续下去，陷入(xinr)(xinr)循环，罗必塔法循环，罗必塔法则失效则失效.正解第四十二页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 注注3：罗比达法则：罗比达法则(fz)最后再用最后再用例例5 5 在使用罗比达法则之在使用罗比达法则之前，应该先使用其他求极前，应该先使用其他求极限的方法简化极限函数式，限的方法简化极限函数式，“走投无路走投无路”时再使用时再使用“最后法宝最后法宝”。过早。过早(u zo)使

15、用罗比达法则往往使用罗比达法则往往会极大地增加函数式的复会极大地增加函数式的复杂程度。杂程度。第四十三页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 (6)(6)三角变换三角变换(辅助辅助(fzh)(fzh)方法方法)例例1 1例例1 1第四十四页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 (7)(7)变量变量(binling)(binling)替换替换例例1 1崩溃崩溃(bngku(bngku)！例例1 1第四十五页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例1求求解解原式原式3.3.（1 1）根式）根式(gnsh)(

16、gnsh)有理化有理化第四十六页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 （2 2）通分）通分例例2求求解解原式原式第四十七页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例1 求求解解原式原式4.4.：化为化为 、第四十八页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2求求解解原式原式第四十九页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例1求求解解原式原式5.5.（1 1）化为化为第五十页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例2 求求解解原式原式第五十一页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例3求求解解 原式原式第五十二页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 （2 2）利用利用(lyng)(lyng)重要极限重要极限例例4 4例例5 5第五十三页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例6 6求求解解原式原式第五十四页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例6 6求求另解另解原式原式第五十五页，共56页。微积分微积分 河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬 例例7 7求求解解原式原式第五十六页，共56页。