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1、复变函数解析函数&1.1.复变函数的导数定复变函数的导数定复变函数的导数定复变函数的导数定义义义义2.1 解析函数的概念解析函数的概念GO&2.2.解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z)复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中其中w=g(z)。反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w)0。&思考题思考题思考题思考题例例3 问：函数问：函
2、数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例2解解解解例例4 证明证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。证明证明A (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续可
3、导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.?二二.解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f(z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f(z)在在z0解析；解析；如果如果f(z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。如果如果f(z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f(z)的的奇点奇点。A (1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可
4、导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。例如例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；(2)w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4)。定理定理1 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函
5、数。定理定理 2 设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件&1.解析函数的充要条件解析函数的充要条件&2.举例举例 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？一一.解析函
6、数的充要条件解析函数的充要条件A 记忆记忆定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).定理定理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程上述条件满足时上述条件满足时,有有证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）
7、。）。函数函数 w=f(z)点点 z可导，即可导，即则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y所以所以u(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点
8、z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内可微，且内可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用该定理可以判断哪些函数是不可导的利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.使用时使用时:i)判别判别 u(x
9、,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数：A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.二二.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny仅在点仅在点z
10、=0处满足处满足C-R条件，故条件，故解解(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则例例2 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为例例3 证明证明例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且 确定确定练习练习:a=2,b=-1,c=-1,d=22.3初等函数初等函数&3.3.对数函数对数函数对数函数对数函数&1.1.指数函数指数函数指数函数指数函数&2.2.三角函数
11、和双曲函三角函数和双曲函三角函数和双曲函三角函数和双曲函数数数数&4.4.幂函数幂函数幂函数幂函数&5.5.反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数一一.指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：定义定义A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。A 例例1例例2例例3二二.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质思考题思考题由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P51)定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称
12、为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质三三.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义对数的定义故故A (2)对数函数的性质对数函数的性质见见1-6例例1例例4四四.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 q 乘幂乘幂ab定义定义A 多值多值一般为多值一般为多值q支支(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。解解例例5q 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数 除去除去b为正整数外，多值函数，为正整数外，多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见详见P52A 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂、乘幂