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1、Enjoy ScienceEnjoy Science数字信号处理数字信号处理杨毅明杨毅明数字信号处理介绍的是：如何将事物的运动变为一串数字，并用数字信号处理介绍的是：如何将事物的运动变为一串数字，并用计算的方法从中提取有用信息，满足实际应用的需求。计算的方法从中提取有用信息，满足实际应用的需求。人类的进步在于：能让机器完成的事人类的进步在于：能让机器完成的事就让机器做。就让机器做。1数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 数字信号数字信号处理在理在处理理语音信号音信号时：将将连续变化的声波化的声波变为连续变化的信号化的信号x(t)，经模数模数
2、转换器器变为二二进制的信号制的信号x(n)，数字信号，数字信号处理器理器计算算x(n)的的平均平均值（计算方算方法由法由编程者定），程者定），计算算结果果y(n)经数模数模转换器器变为连续变化的信号化的信号y(t)。数字信号数字信号处理就是用理就是用计算机算机处理信号，其理信号，其优点是精度高、点是精度高、变换灵活、性能灵活、性能稳定、效率高、成本低、功能定、效率高、成本低、功能强大，大，对此模此模拟信号信号处理理望望尘莫及。莫及。数字信号数字信号处理的理的应用小到用小到电子、大到天文地理，涉及通信、子、大到天文地理，涉及通信、电子子仪器、自器、自动控制、控制、语音、声音、音、声音、图形、形、
3、图像、像、军事、工事、工业、生物、生物医学、社会管理、金融医学、社会管理、金融证券、地球物理、航海、航空航天、家用券、地球物理、航海、航空航天、家用电器、广播器、广播电视等等领域。域。数字信号数字信号处理是信息技理是信息技术产业的重要基的重要基础。例如，正弦波用幅。例如，正弦波用幅度、度、频率和初相位三个参数就可描述，在率和初相位三个参数就可描述，在对信号信号第1章简单介绍简单介绍2数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science进行通信行通信时，最，最节省省资源的方法是：源的方法是：传输它的九个参数。否它的九个参数。否则，需，需要要传输的数字将多之又
4、多。的数字将多之又多。如何有效地如何有效地让机器知道机器知道这九个参数，九个参数，这就是数字信号就是数字信号处理要研理要研究的。究的。又如，一又如，一张磁磁悬浮列浮列车车厢的照片（左的照片（左图），由于保存不慎，），由于保存不慎，年久年久发霉（中霉（中图），手工除霉、），手工除霉、临摹、重新拍照都不是修复的最好摹、重新拍照都不是修复的最好办法。法。3数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 若将照片看作若将照片看作许多小点多小点组成，成，对发霉照片的小点霉照片的小点进行行计算，算，产生新的小点，它生新的小点，它们就可构造一就可构造一张新照片（右
5、新照片（右图）。）。计算的方法有平算的方法有平均法、中均法、中值法等。中法等。中值法是：法是：对每个小点及周每个小点及周围部分点的数部分点的数值按大按大小排列，取其中小排列，取其中间值作作为新小点的新小点的值。数字信号数字信号处理从两个角度看理从两个角度看问题：1、从从时间顺序看序看问题，把比，把比较两段信号的相似程度两段信号的相似程度变为相关相关系数、相关函数，把系数、相关函数，把处理信号的系理信号的系统看作看作单位脉冲响位脉冲响应，用卷，用卷积处理信号。理信号。2、从物从物质成分看成分看问题，将一段信号看作若干正弦波成分，将一段信号看作若干正弦波成分组成，成，这种方法叫傅里叶种方法叫傅里叶
6、变换或或频谱。从。从频谱的意的意义看，看，处理信号就是理信号就是筛选正弦波。正弦波。根据相关函数、卷根据相关函数、卷积或或频谱等方法加工模等方法加工模拟信号，需要信号，需要设计方方法，更需要法，更需要讲求技巧。求技巧。首先要把模首先要把模拟信号信号变为数字信号。模数字信号。模拟信号信号变为数字信号数字信号时，数字可多也可少。多的数字有无数字可多也可少。多的数字有无穷多，多，这么做是蛮干；少的数字才么做是蛮干；少的数字才叫叫聪明，但不能太少。采明，但不能太少。采样定理会告定理会告诉我我们，最少的数字是多少。，最少的数字是多少。频谱分析的基本公式很复分析的基本公式很复杂，有的地方用，有的地方用z变
7、换取代它，可以取代它，可以第2章第3章第4章4数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science带来意外的惊喜。傅里叶来意外的惊喜。傅里叶变换是是频谱分析的理想公式，稍作修改分析的理想公式，稍作修改就可得到就可得到实用的离散傅里叶用的离散傅里叶变换。离散傅里叶离散傅里叶变换虽有有实用意用意义，不，不过需要数字需要数字计算才能算才能实现；若直接按定若直接按定义计算，需要很多加法和乘法。快速傅里叶算，需要很多加法和乘法。快速傅里叶变换能上能上百倍地减少离散傅里叶百倍地减少离散傅里叶变换的的计算量。算量。这为数字信号数字信号处理从理理从理论走向走向应用用铺平了
8、道路。平了道路。从信号中提取有用内容，就像从众多正弦波中取出有用成分，从信号中提取有用内容，就像从众多正弦波中取出有用成分，专业上称上称这种做法种做法为滤波。波。滤波的系波的系统称称为数字数字滤波器，从信号波器，从信号流流动来分，它有两种来分，它有两种结构：无限脉冲响构：无限脉冲响应滤波器，有限脉冲响波器，有限脉冲响应滤波器。波器。设计滤波器就像波器就像设计如何从如何从众多求众多求职者中招聘者中招聘对路的人才，路的人才，这里面也是需要技巧的。里面也是需要技巧的。设计无限脉冲响无限脉冲响应滤波器，波器，第5章第6章第7章5数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy
9、 Science可先可先设计模模拟滤波器，然后用数学公式波器，然后用数学公式转变为数字数字滤波器；也可波器；也可用用z变换的零极点的零极点图来来设计，或以理想，或以理想滤波器和波器和实际滤波器的波器的误差差为标准准进行行设计。设计有限脉冲响有限脉冲响应滤波器，可从无波器，可从无穷长的序列中截取一段的序列中截取一段获得，也可得，也可对标准准滤波器的波器的频谱采采样获得，得，还可根据理想可根据理想滤波器和波器和实际滤波器的波器的误差来差来设计。数字信号的数字越多，越能数字信号的数字越多，越能贴近它所表示的真近它所表示的真实信号，但也信号，但也带来了存来了存储量和量和计算量越大的算量越大的问题。提高
10、效率的方法就是在不同。提高效率的方法就是在不同的的场合使用不同的采合使用不同的采样率。率。转换采采样率也有率也有诀窍，叫做抽取和内，叫做抽取和内插。插。把数字信号把数字信号处理付理付诸应用，可采用通用用，可采用通用计算机，或算机，或专用集成用集成电路、可路、可编程集成程集成电路。不路。不过事先要考事先要考虑成本，成本，这就要考就要考虑实际的的计算速度和数字精度。算速度和数字精度。由浅入深的三个由浅入深的三个应用用实例，例，为你充你充实数字信号数字信号处理的体系。理的体系。第8章第9章第10章6数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science这三个三个实
11、例是：两人合唱的数字音效例是：两人合唱的数字音效处理系理系统，小，小轿车车厢内的内的噪声消除系噪声消除系统，数字蜂，数字蜂窝电话系系统。通通过344349页的五个的五个试验，你可以更好地将数字信号，你可以更好地将数字信号处理理的理的理论和和实践有机践有机结合。合。这五个五个试验是：是：测量人耳辨量人耳辨别回音的最回音的最小小时间，观察一句察一句话的的频谱特点，双音多特点，双音多频的通信，的通信，滤除心除心电图信号中的信号中的电网干网干扰，软件无件无线电的通信。的通信。书末的末的350359页为读者者设计了索引，它列出了索引，它列出专业名名词和解和解释它它们意思的意思的页码，方便快速，方便快速查
12、找。找。数字信号处理是科学家智慧的结晶，它饱含科学家解决问题的认真态度和追求完美的精神。附录索引7数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science第第1章章 数字信号数字信号处理的概念理的概念 数数字字信信号号处理理就就是是用用数数值计算算的的方方式式对信信号号进行行加加工工的的一一种种理理论和和技技术，它它的的英英文文原原名名叫叫digital signal processing，简称称DSP。DSP也也是是digital signal processor的的简称称，即即数数字字信信号号处理理器器，它它是是集集成成专用用计算算机机的的一一种种芯芯片片
13、，只只有有一一枚枚硬硬币那那么么大大。有有时人人们也也将将DSP看看作作是是一一门应用技用技术，称，称为DSP技技术与与应用。用。数数字字信信号号处理理由由三三个个词组成成。信信号号是是指指那那些些代代表表一一定定意意义的的现象象，比比如如声声音音、动作作、旗旗语、标志志、光光线等等，它它们可可以以用用来来传递人人们想想表表达达的的事事情情。所所有有的的信信号号中中，电信信号号是是最最常常见的的，因因为它它能能让机机器器或或电路路处理。理。从从信信号号的的时间来来看看：时间是是连续的的、物物理理量量也也是是连续的的信信号号称称为连续时间信信号号或或模模拟信信号号。时间是是离离散散的的、物物理理
14、量量是是连续的的信信号号称称为离离散散时间信号或离散信号。信号或离散信号。数数字字是是表表示示物物理理量量大大小小的的符符号号，十十进制制由由09组成成，二二进制制则由由0和和1组成。用数字表示信号，只能近似地表示物理量在不同成。用数字表示信号，只能近似地表示物理量在不同时刻的大小。刻的大小。处理理是是指指人人们为了了某某种种目目的的，用用工工具具对事事物物进行行一一系系列列操操作作，以以改改变事事物物的的位位置置、形形状状、性性质、功功能能等等。有有些些信信号号处理理的的速速度度要要求求按按照照信信号号的的实际变化化时间进行行，这种种信信号号处理理称称为实时信信号号处理理，它它对机机器器的的
15、速度要求速度要求较高。高。详细介绍详细介绍8数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 数数字字信信号号处理理是是一一门学学科科，它它研研究究怎怎样用用数数字字表表示示信信号号、怎怎样用用数数学描述信号学描述信号处理、怎么理、怎么处理信号效果最好。理信号效果最好。例例如如，存存储一一个个正正弦弦波波信信号号。直直接接存存储储在在磁磁带带上上、隔隔一一段段时间测量量一一次次再再将将结果果存存在在磁磁带上上、将将测量量结果果变成成二二进制制再再存存在在磁磁带上上，这三三种种方方法法没没多多大大智智慧慧。将将该正正弦弦波波的的幅幅度度、频率率和和初初相
16、相位位算算出出来来，然然后后再再保存在磁保存在磁带上，上，这才叫智慧。才叫智慧。后后一一种种方方法法需需要要知知道道信信号号的的特特征征，但但机机器器不不可可能能知知道道信信号号具具有有什什么么特征，要用科学的方法才能特征，要用科学的方法才能让它知道信号的基本成分。它知道信号的基本成分。数数字字信信号号处理理系系统的的结构构可可分分为七七部部分分，也也可可分分为五五部部分分，还可可分分为三部分。三部分。从从数数字字信信号号和和计算算机机的的角角度度观察察，容容易易得得到到数数字字信信号号处理理的的特特点点：1、处理理精精度度高高，2、改改变功功能能灵灵活活，3、性性能能稳定定，4、效效率率高高
17、，5、制制作成本低，作成本低，6、功能、功能强大，大，7、学、学习和研制的和研制的门槛高。高。9数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 东西西多多了了需需要要整整理理。信信号号也也是是一一样，对它它处理理就就能能达达到到我我们希希望望的的目的。要想了解信号的特点，就要目的。要想了解信号的特点，就要对它它进行分析和行分析和组合。合。数字信号数字信号处理理应用涉及的用涉及的领域很广，此域很广，此处列列举一二。一二。在在语音音和和声声音音处理理领域域，数数字字信信号号处理理可可以以应用用在在语音音编码、语音音压缩、语音音合合成成、语音音识别、语音音
18、音音调的的测定定、语音音增增强、说话人人辨辨认、语音音邮件件、语音音存存储、声声音音的的回回声声、声声音音的的混混响响、唱唱歌歌的的合合唱唱效效果果、声声音音探探测、声声音音定定位位、文文字字变语音音、语音音变文文字字、数数字字音音频、音音频图形形均均衡衡、音音调控控制制、通通道道均均衡衡、噪噪声声整整形形、频带分分离离、确确定定响响应对激激励励的的滞滞后后时间、模式匹配、系、模式匹配、系统识别、消除噪声干、消除噪声干扰等方面。等方面。例如声音探例如声音探测的的应用。在用。在检修埋藏在地下深修埋藏在地下深处的的输油管或水管油管或水管时，准准确确地地测定定输油油管管或或水水管管的的裂裂口口位位置
19、置，可可以以避避免免全全部部管管线开开挖挖，减减小小维修的工作量。修的工作量。测量量原原理理为 。判判断断裂裂口口的的根根据据是是，管管道道裂口裂口处液体流液体流动的摩擦力的摩擦力较大，其摩擦声会沿着管道向两端大，其摩擦声会沿着管道向两端传播。若在播。若在10数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science怀疑疑有有裂裂口口的的管管线的的两两端端安安放放声声音音传感感器器，它它是是把把物物理理量量转变成成电量量的的器件，可以拾取器件，可以拾取这两个摩擦声信号两个摩擦声信号x(t)和和y(t)。利利用用互互相相关关函函数数能能辨辨别两两个个信信号号相相似
20、似性性的的本本领，对这两两个个摩摩擦擦声声信信号号做做互互相相关关函函数数的的运运算算，可可以以算算出出x(t)和和y(t)之之间最最相相像像的的两两段段信信号号在在时间上的距离上的距离td=2ts。根根据据速速度度、时间和和距距离离的的关关系系，裂裂口口距距离离中中间点点的的距距离离s=vtd/2，v是是声音沿管道声音沿管道传播的速度。播的速度。在在图形形和和图像像处理理领域域，数数字字信信号号处理理可可以以应用用在在二二维和和三三维的的图形形处理理、指指纹识别、字字符符识别、汽汽车牌牌照照识别、目目标跟跟踪踪、分分析析卫星星天天气气照照片片、增增强从从月月球球传回回的的电视信信号号、增增强
21、从从太太空空探探测器器传回回的的电视信信号号、消消除除图像像背背景景干干扰、图像像的的表表示示、图像像建建模模、图像像压缩与与传输、图像像存存储、图像像增增强、图像像的的复复原原、图像像的的重重建建、图像像去去模模糊糊、动画画制制作作、电视特特技技制制作作、图像像噪噪声声滤除除、机机器器人人视觉、模模式式识别、图像像识别、色色彩彩调整整、图像像分分析析、图像像编码、图像像的的边缘检测、传真真、激激光光打打印印机机、扫描描仪、复印机、复印机、图像像缩放、放、电子地子地图等方面。等方面。例例如如图像像增增强的的应用用。肉肉眼眼看看不不清清楚楚的的照照片片，感感光光器器件件却却能能感感应出出来来，灵
22、灵敏敏的的感感光光器器件件能能精精确确地地测量量物物体体表表面面的的明明暗暗程程度度和和色色彩彩偏偏差差。利利用数学公式用数学公式对照片像素的数照片像素的数值进行某种行某种类型的加工，可以型的加工，可以获得希望的得希望的图11数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science像像效效果果。比比如如：保保留留变化化较快快的的像像素素并并排排除除变化化较慢慢的的像像素素，可可以以突突出出图像的像的边缘和和轮廓；放大像素的数廓；放大像素的数值可以增可以增强图像的明亮程度；等等。像的明亮程度；等等。数字信号数字信号处理是理是现代信息技代信息技术产业的理的理论支柱
23、。支柱。数学是解决数学是解决实际问题的工具。的工具。12数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science第第2 2章章 时域的信号与系域的信号与系统 从从时间的的角角度度看看问题是是人人们常常用用的的一一种种方方法法。现在在先先从从时间的的角角度度看信号与系看信号与系统，看科学家如何用数学来解决，看科学家如何用数学来解决问题。大大部部分分信信号号的的自自变量量都都是是时间。为了了学学习方方便便，一一般般都都以以时间为自自变量，把信号看作量，把信号看作时间的因的因变量。量。为了了让计算算机机能能处理理信信号号，必必须用用数数字字信信号号描描述述事事物物的
24、的变化化，用用数数字信号代替模字信号代替模拟信号。数字信号的自信号。数字信号的自变量是离散的、因量是离散的、因变量也是离散的。量也是离散的。研研究究阶段段，用用二二进制制数数表表示示数数字字信信号号不不便便于于描描述述问题，较多多的的时候候还是是用用离离散散信信号号表表示示数数字字信信号号。离离散散信信号号和和数数字字信信号号的的区区别仅在在数数值的的精度。精度。这个个问题在在实际应用用时才考才考虑。常用的信号有常用的信号有单位脉冲信号，其定位脉冲信号，其定义和波形是和波形是还有有阶跃信号，其定信号，其定义和波形是和波形是还有矩形信号，其定有矩形信号，其定义和波形是和波形是13数字信号处理数字
25、信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 还有正弦信号，其定有正弦信号，其定义和波形是和波形是数数字字角角频率率和和模模拟角角频率率的的关关系系由由时间t和和时序序n的的关关系系t=nTs获得得。还有周期信号，它有周期信号，它满足关系式足关系式 例例如如 ，根根据据周周期期信信号号的的定定义，前前者者是是周周期信号，后者不是周期信号。期信号，后者不是周期信号。数数字字信信号号处理理的的基基本本方方法法有有三三种种：1、比比较两两个个信信号号的的相相似似程程度度，2、用用系系统加加工工输入入信信号号，3、对信信号号的的成成分分进行行分分析析。前前两两种种是是从从
26、时间的的角度角度获得的。得的。怎怎样把把比比较信信号号的的相相似似程程度度变为数数学学公公式式呢呢？比比较的的标准准就就是是差差别。科学家用科学家用误差差e(n)来来联系信号系信号x(n)和和y(n)，即，即14数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science当当c取某个取某个值时，x(n)和和y(n)可以相等。可以相等。但但是是，看看问题应该从从一一段段时序序范范围a,b综合合考考虑。这种种做做法法数数学学上上叫均方叫均方误差，即差，即 求求E对c的的导数数，可可找找到到使使误差差最最小小的的系系数数c0。用用这个个c0算算出出的的最最小小均方均方误
27、差差 这个个r叫叫相相关关系系数数，是是判判断断两两个个信信号号相相似似性性的的重重要要参参数数。因因为E不不为负，所以所以|r|=01；|r|越大，越大，Emin 越小越小，y(n)与与x(n)越相似。越相似。实际应用用中中，经常常用用一一段段信信号号x(n)与与另另一一个个信信号号y(n)的的很很多多段段分分别进行比行比较，这样的比的比较很有用，可很有用，可获得宝得宝贵的信息。的信息。15数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 这种种比比较过程程怎怎样用用数数学学表表示示呢呢？科科学学家家对相相关关系系数数公公式式的的分分子子进行改造，就
28、得到了会行改造，就得到了会变化的相关系数，即化的相关系数，即这种相关系数种相关系数r(n)与与时序序n有关，故叫相关函数。有关，故叫相关函数。如如果果参参与与对比比的的信信号号是是同同一一个个信信号号，这种种相相关关函函数数叫叫自自相相关关函函数数，写写为 周周期期函函数数的的自自相相关关函函数数还是是周周期期函函数数，非非周周期期函函数数的的自自相相关关函函数数还是非周期函数。是非周期函数。如如果果参参与与对比比的的信信号号是是不不同同的的信信号号，这种种相相关关函函数数叫叫互互相相关关函函数数，写写为 互互相相关关函函数数也也能能提提供供信信号号x(n)与与y(n)的的相相似似性性信信息息
29、，关关键靠靠你你的的理理解。解。第第二二种种处理理信信号号的的方方法法是是，用用系系统加加工工输入入信信号号。怎怎样把把系系统加加工工信信号号的的过程程变为数数学学公公式式呢呢？首首先先要要有有一一个个系系统，它它就就是是单位位脉脉冲冲响响应，具有具有线性性性性质和和时不不变性性质。16数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 线性性性性质指指 时不不变性性质指指 单位位脉脉冲冲响响应常常用用符符号号h(n)表表示示。由由于于x(n)可可以以分分解解为许多多(n)，也也可以由很多可以由很多(n)组合合,即即所以，所以，对于任何一种于任何一种输入
30、入x(n)，系，系统的的输出出这种运算称种运算称为卷卷积，用符号，用符号*表示。表示。相关系数和相关函数是比相关系数和相关函数是比较两个信号相似程度的数学工具。两个信号相似程度的数学工具。卷卷积是系是系统处理信号的数学工具。理信号的数学工具。17数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science第第3 3章章 频域的信号与系域的信号与系统 从从物物质成成分分的的角角度度看看问题，可可看看到到物物质的的本本质。通通常常把把信信号号的的成成分分看作正弦波。看作正弦波。正弦波可表达正弦波可表达为实数数也可表达也可表达为复数复数它只有幅度、它只有幅度、频率、相位
31、三个参数。两者的关系叫率、相位三个参数。两者的关系叫做欧拉公式，即做欧拉公式，即 正弦波是相位正弦波是相位的周期函数，的周期函数，右右图清楚地清楚地显示，它的周期示，它的周期为2。信信号号可可以以分分解解为许多多正正弦弦波波。分分解解的的原原理理是是：先先设信信号号x(n)是是长度度为N的的有有限限长序序列列，分分布布在在时时序序0,N-1的的范范围围。然然后后设x(n)的的基基本本正正弦弦波波为将将n替替换为nk，得不同，得不同频率的正弦波率的正弦波因因yk(n)是是频序序k的周期序列，周期也是的周期序列，周期也是N，所以，所以，作作为x(n)的成分，只需的成分，只需18数字信号处理数字信号
32、处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science要要N个个就就够了了。这些些正正弦弦波波yk(n)与与x(n)的的误差差关关系系为x(n)=ckyk(n)+e(n)，系数系数ck相当于正弦波的幅度。相当于正弦波的幅度。依照求解相关系数的方法，得依照求解相关系数的方法，得正弦波正弦波yk(n)的幅度的幅度这种幅度是复数的。用种幅度是复数的。用这种幅度的种幅度的正弦波正弦波可以可以合成合成原来原来的的信号信号这这个个结结果果仅仅适用于适用于时时序序0,N-1的范的范围围。这个个结论推广到推广到周期序列，得分析和周期序列，得分析和综合的公式，合的公式，其其物物理理意意义是是：周
33、周期期序序列列可可看看作作N个个不不同同频率率的的正正弦弦波波相相加加，这N个个正正弦波就是周期序列的成分，成分的含量是弦波就是周期序列的成分，成分的含量是ck。同理，非周期序列的正弦分析和同理，非周期序列的正弦分析和综合公式合公式为19数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science其其物物理理意意义是是：非非周周期期序序列列可可看看作作一一连串串频率率各各异异的的正正弦弦波波相相加加，这些些正弦波就是非周期序列的成分，成分的含量是正弦波就是非周期序列的成分，成分的含量是c()。不不管管是是连续时间信信号号，还是是离离散散时间信信号号，都都可可以以分
34、分解解为许多多的的正正弦弦波波。这个个秘秘密密是是科科学学家家Fourier发现的的，所所以以，分分析析和和综合合信信号号的的公公式式叫做傅里叶叫做傅里叶变换。傅里叶傅里叶变换类似化学分析。似化学分析。通常，周期序列的傅里叶通常，周期序列的傅里叶变变化写化写为为X(k)叫做叫做周期序列的周期序列的频谱频谱，它是，它是k的周期序列的周期序列，周期为，周期为N。非周期序列的傅里叶非周期序列的傅里叶变变化写化写为为X()叫做非叫做非周期序列的周期序列的频谱，它是，它是的的周期函数周期函数，周期为，周期为2。因因频谱X()是是周周期期函函数数，只只要要研研究究它它的的主主值区区间-,)，就就可可以以知
35、知道其它区道其它区间的情况。的情况。=0是最低是最低频率，率，=是最高是最高频率。率。20数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 利用利用数字角数字角频频率率和和频频序序k的关系的关系容易知道容易知道k=0对应最低最低频率，率，k=N/2对应最高最高频率。率。实实数数序序列列的的幅幅频频特特性性具具有有偶偶对对称称性性质质 ，相相频特特性性具具有有奇奇对称称性性质 。这些些性性质说明明：分分析析实实数数序序列列的的频频谱谱时时，只要分析只要分析0,的的频谱频谱X()就就够了了。这这么做能减少一半的工作量。么做能减少一半的工作量。系系统的的输出
36、出频谱Y()与与输入入频谱X()之之比比，能能反反映映系系统的的频率率特特性性，这个比个比值叫叫频率响率响应，写写为 如果系如果系统的的输入是幅度入是幅度为A频率率为的复数正弦波的复数正弦波则系系统的的输出出它它说说明明，频频率率响响应应H()的的幅幅频频特特性性|H()|反反映映系系统统对对输输入入正正弦弦信信号号幅幅度度的衰减，相的衰减，相频频特性特性()反映系反映系统对输统对输入正弦信号的相移。入正弦信号的相移。频频谱分析是信号分析是信号分析的数学工具。分析的数学工具。数字信号数字信号处理的三种基本方法是：相关，卷理的三种基本方法是：相关，卷积，频谱。21数字信号处理数字信号处理 杨毅明
37、杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science第第4 4章章 数字数字处理的技巧理的技巧 大大部部分分信信号号都都是是模模拟信信号号，计算算它它们之之前前，先先要要进行行采采样。采采样周周期期越越短短，数数字字信信号号越越逼逼近近原原始始信信号号，但但是是太太短短会会增增加加成成本本。多多少少才才合合适适呢？呢？根据根据CTFT分析，采分析，采样信号信号xs(t)的的频谱它它说明明，若若模模拟频谱Xa()的的最最高高频率率是是fa，选择采采样频率率fs2fa，采采样信号信号xs(t)就能代表模就能代表模拟信号信号xa(t)。这个准个准则叫奈奎斯特采叫奈奎斯特采样定理。定理。采采样信
38、号信号xs(t)的的频谱也可写也可写为 为了避免采了避免采样失真，模数失真，模数转换前信号要低通前信号要低通滤波，波，信号数字信号数字处理后，如果需要，数字信号理后，如果需要，数字信号还要要转变成模成模拟信号。根据信号。根据22数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science卷卷积定理，数模定理，数模转换器器输出的出的频谱为若数模若数模转换器的器的频谱为则可可获得得原原信信号号的的频谱。但但是是H()是是理理想想滤波波器器的的频谱，这种种系系统是是做做不出来的。不出来的。理理想想滤波波器器不不能能实现，但但可可用用零零阶保保持持器器逼逼近近。它它残残留
39、留的的重重复复周周期期频谱频谱可用后置可用后置滤滤波器加以改善。波器加以改善。离离散散时间傅傅里里叶叶变换用用ej对信信号号进行行变换，有有时不不方方便便。如如果果用用复复变量量z=rej代替代替ej，得到的，得到的变换叫叫z变换，即，即 z变换解决了傅里叶解决了傅里叶变换书写不便和不易收写不便和不易收敛这两个两个问题。如果序如果序23数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science列的傅里叶列的傅里叶变换变换存在，存在，X(z)就包含就包含X()，只要令，只要令z=ej，就可以从，就可以从X(z)获获得得X()。X(z)的的z反反变换为变换为求求z反
40、反变换变换，一般采用，一般采用对对比法、部分分式法或比法、部分分式法或长长除法。除法。z变换变换可以将差分方程可以将差分方程变为变为并得到一个并得到一个Y(z)比上比上X(z)的比例函数，用符号的比例函数，用符号H(z)表示，即表示，即它它能能够够描述系描述系统传输统传输信号的特征，信号的特征，故取名故取名传递传递函数函数，也叫系也叫系统统函数。函数。系系统函函数数的的零零极极点点是是快快速速绘绘制制幅幅频频特特性性和和相相频频特特性性的的工工具具。当当复复数数z=ej在在单单位位圆圆上上旋旋转转，接接近近零零点点时时，产产生生幅幅频频特特性性的的波波谷谷；接接近近极极点点时时，产产生生幅幅频
41、频特性特性的波峰。的波峰。24数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 在在四四种种傅傅里里叶叶变换中中，只只有有离离散散傅傅里里叶叶级数数有有计算算价价值。但但是是它它的的X(k)和和x(n)都都是是周周期期序序列列，时序序n和和频序序k都都是是没没有有限限制制的的整整数数，计算算机机较难处理。解决理。解决这个个问题的的办法是：法是：（1）规定序列在定序列在时域是有限域是有限长的，即的，即n=0N-1；（2）规定定频谱在在频域也是有限域也是有限长，即，即k=0N-1。有有这种种规定的离散傅里叶定的离散傅里叶级数叫做离散傅里叶数叫做离散傅里叶变
42、换。有有了了这这种种规规定定，我我们们就就能能用用计计算算机机对对测测量量得得到到的的序序列列进进行行频频谱谱分分析析，即即 离离散散傅傅里里叶叶变换就就是是离离散散傅傅里里叶叶级数数分分析析方方程程的的主主值序序列列，离离散散傅傅里叶逆里叶逆变换就是离散傅里叶就是离散傅里叶级数数综合方程的主合方程的主值序列。序列。应用用DFT时，直直接接引引用用DFS的的理理论就就可可以以了了，唯唯一一注注意意的的是是：DFT仅仅使用使用DFS的主的主值序列。序列。离离散散傅傅里里叶叶变变换换是是专为有有限限长序序列列制制定定的的理理论，它它的的许多多做做法法具具有有自己的特点。例如，它的移位叫循自己的特点
43、。例如，它的移位叫循环移位，它的卷移位，它的卷积叫循叫循环卷卷积。循循环移位移位的本的本质质是是对对周期序列移位并取其主周期序列移位并取其主值值序列序列，数学写，数学写为25数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 循循环卷卷积是是：将将两两个个等等长序序列列看看作作是是周周期期序序列列的的主主值序序列列，然然后后截截取它取它们周期卷周期卷积的主的主值序列，数学写序列，数学写为 离散傅里叶离散傅里叶变换与离散与离散时间傅里叶傅里叶变换的关系是：的关系是：它它说明，明，离散傅里叶离散傅里叶变换可用来可用来分析模分析模拟信号的信号的频谱。离散傅里叶
44、离散傅里叶变换与与z变换的关系是：的关系是：离离散散傅傅里里叶叶变换与与线性性卷卷积的的关关系系是是：循循环卷卷积的的长度度线性性卷卷积的的长度度时，循循环卷卷积可可以以代代替替线性性卷卷积。它它说明明，离离散散傅傅里里叶叶变换可可用用来来计计算系算系统统的卷的卷积积。采采样定理是模数定理是模数转换和数模和数模转换必必须遵循的。遵循的。离散傅里叶离散傅里叶变换是分析是分析频谱和和计算卷算卷积的工具。的工具。26数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science第第5 5章章 信号信号处理的效率理的效率 理理论是美好的，将它付是美好的，将它付诸应用用还要要
45、讲求效率。求效率。直接按定直接按定义计算离散傅里叶算离散傅里叶变换，需要复数乘法需要复数乘法N2次，需要复数加法次，需要复数加法N(N-1)次，次，还需要需要N2个旋个旋转因子。因子。这这个个N2暗暗示示：缩缩短短DFT的的长长度度和和减减少少旋旋转转因因子子的的独独立立值值，可可以以降降低低离散傅里叶离散傅里叶变换的的计算量。事算量。事实是是这样吗？假假设N点点离离散散傅傅里里叶叶变换的的长度度缩短短一一半半，其其乘乘法法量量将将减减为两两个个N2/2次次，加加法法量量减减为约约两两个个N2/2次次。这说明明，缩短短一一半半DFT长度度能能减减少少近一半近一半计算量。算量。还有，旋有，旋转因
46、子的周期性可因子的周期性可让其数量减少到其数量减少到N个个。缩短短DFT的的简单方方法法有有两两种种：第第一一种种按按时时序序的的奇奇偶偶分分解解序序列列，第第二二种按种按时序的前后分序的前后分为两段；由科学家两段；由科学家Cooley和和Tukey发明。明。按按时序序奇奇偶偶分分解解的的方方法法叫叫时域域抽抽取取快快速速傅傅里里叶叶变换，其其序序列列长长度度必必须满须满足足 时域抽取将一个域抽取将一个N点点DFT分解分解为两个两个N/2点点DFT，即，即27数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science这这么么做做的的好好处处是是：k值值的的数数量
47、量减减少少一一半半，离离散散傅傅里里叶叶变变换换的的乘乘法法量量和和加加法量都减半，旋法量都减半，旋转转因子的数量也减半。因子的数量也减半。分解公式分解公式可以可以简化化为信号流信号流图，叫蝶形叫蝶形图图。蝶形蝶形图能将能将较短的短的频谱组合成合成较长的的频谱。例如。例如8点点DFT，其流，其流图为 时域抽取法的蝶形运算有两个重要特点：域抽取法的蝶形运算有两个重要特点：输入倒序和原位运算。入倒序和原位运算。时时域抽取法的域抽取法的全部蝶形需要的复数乘法和复数加法的次数是全部蝶形需要的复数乘法和复数加法的次数是 例例如如，计算算一一个个1000点点序序列列的的频谱，直直接接计算算需需要要4秒秒，
48、快快速速计算算需要毫秒，需要毫秒，快速算法比直接算法快快速算法比直接算法快155倍。倍。28数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 按按时序序前前后后分分解解的的方方法法叫叫频域域抽抽取取快快速速傅傅里里叶叶变换，其其序序列列长长度度必必须满须满足足 频域抽取将一个域抽取将一个N点点DFT分解分解为两个两个N/2点点DFT，即，即其中的分解公式是其中的分解公式是它可以它可以简化化为信号流信号流图，也，也叫蝶形叫蝶形图图。蝶形蝶形图能将能将较短的短的频谱组合成合成较长的的频谱。例如。例如8点点DFT，其流，其流图为29数字信号处理数字信号处理
49、杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science 频域抽取法的全部蝶形需要的复数乘法和复数加法的次数是域抽取法的全部蝶形需要的复数乘法和复数加法的次数是 离散傅里叶离散傅里叶变换变换可用于可用于频谱分析、信息提取、快速卷分析、信息提取、快速卷积等，等，应用用时，往往往往还要离散傅里叶逆要离散傅里叶逆变换。怎怎样样快速快速计计算逆算逆变换变换呢？呢？方方法法有有：1、仿仿效效快快速速傅傅里里叶叶变换的的做做法法，2、取取旋旋转因因子子的的复复共共轭，3、取、取频谱的复共的复共轭。前前面面介介绍的的快快速速算算法法适适用用于于复复数数序序列列，程程序序大大多多按按复复数数编写写。怎
50、怎样利用利用这些程序些程序计算算实数序列的数序列的频谱呢？呢？方方法法有有：1、直直接接对实数数序序列列应用用快快速速算算法法；2、将将两两个个实数数序序列列合合并并为复复数数序序列列，再再用用快快速速算算法法；3、将将一一个个实数数序序列列分分为两两段段，然然后后合合并并为复数序列，再用快速算法。复数序列，再用快速算法。快速傅里叶快速傅里叶变换变换能能够提高信号分析的提高信号分析的计算速度。算速度。快速傅里叶快速傅里叶变换还能能够提高提高线性卷性卷积的的计算速度。算速度。30数字信号处理数字信号处理 杨毅明杨毅明Enjoy ScienceEnjoy Science第第6 6章章 数字数字滤波