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1、3 基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例特殊函数的不定积分本节内容:第四四章 3.1 3.1 有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.将下列真分式分解为部分分式:解解:(1)用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)赋值法(P.170.例3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 令可得四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:机动
2、 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 递推公式 分母配方 有理函数的原函数一点是初等函数 例例2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:已知 原式例例3.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 解解:已知例例5.求求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求求解解:原式例例7.求求解解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 设表示三角函数有理式,令万能代换t 的有理函数的
3、积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则例例7.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 1）求求解解:说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.2）求解解 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求解解:原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.1）求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:原式=2）求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束 令例例11.求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求解解:令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14 求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,思考与练习思
5、考与练习求下列积分:解解:1.2.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.求不定积分解解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.求不定积分解：解：令则,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.作业作业P178 1,5,9,12,13,14,18,19,21第五节 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3
6、.分部积分法分部积分法使用原则:1)由易求出 v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,例例1.求解解:设则因连续,得记作得利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设 解解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P179 2，4，5，10，11，19，21，22，24第五节 目录 上页 下页 返回 结束