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1、1Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域如果在区域G内内2二二.平面曲线积分与路径无关等价条件平面曲线积分与路径无关等价条件定理定理2.设D是单连通开区域单连通开区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿 D 中任意分段光滑闭曲线任意分段光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分,即 3(1)沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.证明证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则
2、4(3)在D内是某一函数 的全微分,即(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.证明证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有。和任一点B(x,y),与路径无关,设5(3)在 D 内是某一函数 的全微分,即(4)在D内每一点都有证明证明(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得则P,Q 在 D 内具有连续的偏导数从而在D内每一点都有6(1)沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L,有(4)在D内每一点都有设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为(如图),因此在 上利用格林公式格林公式,得证明证明(4)(1)7二二.平面曲线积分与路径无关等价条件平面曲线积分与路径
3、无关等价条件定理定理2.设D是单连通开区域单连通开区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿 D 中任意分段光滑闭曲线任意分段光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分,即 8说明说明:若在某区域内有则(2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,(3)求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点(1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;9解：因为 即不含原点的单连通域，积分与路径无关。取新路径 10其参数方程为
4、 11例例2.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使。12例例3.验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证:令则由定理定理 2 可知存在原函数。13。或14故积分路径可取圆弧例例4.设质点在力场作用下沿曲线 L:由移动到求力场所作的功W.(其中 )解解:令则有曲线积分在除原点外的单连通开区域单连通开区域上与路径无关,思考思考：积分路径是否可以取 为什么？15设函数 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并且对任意t恒有 解：由积分与路径无关的条件知 16两边对t求导得 17内容小结内容小结1.格林公式格林公式2.等价条件等价条件在 D 内与路径无关在 D 内有对 D 内任意闭曲线L在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有1819思考与练习思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:时202.设设求提示提示:21练练 习习 题题22232425练习题答案练习题答案2627