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1、二、二、无无穷大大 三三、无无穷小与无小与无穷大的关系大的关系 一、一、无无穷小小 第三节无穷小与无穷大当一、一、无无穷小小定定义1.若时,函数则称函数如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无无穷小小.时为无穷小.说明明:时,函数(或 )则称函数为(或 )则时的无无穷小小.1、定义中的极限包括六种情况。2、无穷小是对自变量的某一变化过程而言的是时的无穷小（由于定义1.若比如：而当时，就不是无穷小量，由于除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!3、无穷小量是极限为0的变量，不是很小的数，即：4、0是无穷小量，但是无穷小量不都是0.比如：但是函数处处不等于0.其中 为时的无穷小量
2、.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.时,有无无穷小的性小的性质定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此时，均为无穷小量，但如说明明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.例例1.求解解:利用定理 2 可知说明明:y=0 是的渐近线.推推论3.无穷小除以极限不为零的变量仍是
3、无穷小.都是无穷小,引例引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.无穷小的比较无穷小的比较定定义.若则称 是比 高高阶的无穷小,若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低低阶的无穷小;则称 是 的同同阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作二、二、无无穷大大定定义2.若任任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对(正数正数 X),记作总存在若在定义中将 式改为则记作注意注意:3.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.4.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!1.对数列也适用.2.和无穷小量一样，无穷大量也是在自变量的某一变换趋势而言的。例如例如,函数当但所以时,不是无穷大!例例.证明证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明明:三、无三、无穷小与无小与无穷大的关系大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2.在自变量的同一变化过程中,说明明:内容小内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th14.无穷小与无穷大的关系Th23.无穷小的性质（书上）