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1、全微分方程 机动目录上页下页返回结束第五节一、全微分方程一、全微分方程二、二、积分因子法分因子法 第十二章 判别:P,Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1.求原函数 u(x,y)2.由 d u=0 知通解为 u(x,y)=C.一、全微分方程一、全微分方程则称为全微分方程(又叫做恰当方程).机动目录上页下页返回结束例例1.求解解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为机动目录上页下页返回结束例例2.求解解解:这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或机动目录上页下页返回结束二、二、
2、积分因子法分因子法思考思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例2 的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数 积分因子.例2目录上页下页返回结束常用微分倒推公式常用微分倒推公式:积分因子不一定唯一.例如,对可取机动目录上页下页返回结束例例3.求解解解:分项组合得即选择积分因子同乘方程两边,得即因此通解为即因 x=0 也是方程的解,故 C 为任意常数.机动目录上页下页返回结束作作业P285 1(2),(4),(7);2(2),(5);4 习题课1目录上页下页返回结束备用用题 解方程解法解法1 积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外,y=0 也是方程的解.机动目录上页下页返回结束解法解法2 化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解此外,y=0 也是方程的解.机动目录上页下页返回结束解法解法3 化为线性方程.原方程变形为其通解为即此外,y=0 也是方程的解.机动目录上页下页返回结束