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1、 3.5 3.5.1 3.5.1 高阶导数与高阶微分的概念高阶导数与高阶微分的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分 第 3 章 3.5.2 3.5.2 高阶导数与高阶微分的运算法则高阶导数与高阶微分的运算法则3.5.1 3.5.1 高阶导数与高阶微分的概念高阶导数与高阶微分的概念其瞬时为速度为：即其加速度为：即引例引例：变速直线运动方程为：机动目录上页下页返回结束1.1.高阶导数高阶导数若函数的导数仍可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数数,阶导数的导数称为 n 阶导数数,或的二二阶导数数,记作：的依次类推,各阶导数分别记作：则称机动目录上页下页返回结束导数
2、为函数或定定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶导数统称为高阶导数。2.2.高阶微分高阶微分若函数的微分仍可微,或即或类似地,二阶微分的微分称为三阶微分微分,阶微分的微分称为 n 阶微分微分,或的二二阶微分微分,记作：依次类推,函数的各阶微分分别记作：则称机动目录上页下页返回结束为函数定定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶微分统称为高阶微分。设求解解:依次类推：例例1.思考思考:设问特别地：机动目录上页下页返回结束显然：例例2.设求解解:特别有:解解:规定 0!=1思考思考:例例3.设求机动目录上页下页返回结束例例4.设求解解:一般地,类似可得：机动目录上页下页返回结束例例5.设解解:机动目录上页下
3、页返回结束例例6.设求使收敛的最高分析分析:但是发散。2又阶数机动目录上页下页返回结束3.5.2 3.5.2 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则都是n 阶可导的,则(C为常数)莱布尼莱布尼兹(Leibniz)公式公式推导目录上页下页返回结束设函数例例 7.求解解:设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束例例 8.设求解解:即用莱布尼兹公式求 n 阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束内容小内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习1.如何求下列函数的 n 阶导数?解解:解解:机动目录上页下页返回结束(3)提示提示:令原式原式机动目录上页下页返回结束解解:机动目录上页下页返回结束2.(填空题)(1)设则提示提示:各项均含因子(x 2)(2)已知任意阶可导,且时提示提示:则当机动目录上页下页返回结束3.试从 导出解：解：同样可求(见 P101 题4)作作业P101 1(9),(12);3;4(2);8(2),(3);9(2),(3)第四节目录上页下页返回结束解解:设求其中 f 二阶可导.备用用题机动目录上页下页返回结束