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1、第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换6 矩阵矩阵(j zhn)的秩的秩第一页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念一、矩阵一、矩阵(j zhn)的定义的定义定义定义(dngy):(dngy):由由mnmn个数个数aij(i=1,2,aij(i=1,2,m;,m;j=1,2,j=1,2,n),n)排成的排成的m m行行n n列的数表列的数表称为称为m行行n列矩阵列
2、矩阵,简称简称mn矩阵矩阵.第二页，共102页。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写(dxi)黑体字母表示它，记作黑体字母表示它，记作简记简记(jin j)为为:A=Am n=(aij)m n=(aij).这这m n个数称为矩阵个数称为矩阵A的元素的元素,数数aij称为矩阵称为矩阵A的第的第i行第行第 j列列元素元素.第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念第三页，共102页。元素是实数的矩阵元素是实数的矩阵(j zhn)称为实矩阵称为实矩阵(j zhn),元素是复元素是复数的矩阵数的矩阵(j zhn)称为复
3、矩阵称为复矩阵(j zhn).本书中的矩阵本书中的矩阵(j zhn)除特别说明者外，都指实矩阵除特别说明者外，都指实矩阵(j zhn)。例如例如(lr):是一个是一个2 4实矩阵实矩阵;是一个是一个3 3复矩阵复矩阵;是一个是一个1 4(实实)矩阵矩阵;是一个是一个3 1(实实)矩阵矩阵;是一个是一个1 1(实实)矩阵矩阵.第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念第四页，共102页。二、几种二、几种(j zhn)特特殊矩阵殊矩阵例如例如:是一个是一个3 阶方阵阶方阵.(1)行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵(j zhn)A,称为称为n阶方阵阶方阵.
4、也可记作也可记作An,(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).).(3)只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念第五页，共102页。(4)元素元素(yun s)全为零的矩阵称为零矩阵全为零的矩阵称为零矩阵,记作记作O.例如例如注意注意(zh y)(zh y)：不同阶数的零矩阵是不相等的：不同阶数的零矩阵是不相等的.的方阵的方阵,称为称为单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵，(5)形如形如其中主对角线上的元素都是其中主对角线上的元素都是其中主对角线上的元素都
5、是其中主对角线上的元素都是1 1，其他元素都是，其他元素都是，其他元素都是，其他元素都是0 0。记作记作:第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念第六页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念的方阵的方阵,称为称为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵),(6)形如形如其中其中(qzhng)1,2,n不全为零不全为零.记作记作A=diag(1,2,n)(7)设设A=(aij)为为 n 阶方阵阶方阵,对任意对任意 i,j,如果如果aij=aji都成立都成立,则称则称A为对称为对称(duchn
6、)矩阵矩阵.例如例如:为对称矩阵为对称矩阵.第七页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念 2.如果如果A=(aij)与与B=(bij)为同型矩阵为同型矩阵,并且对应元素并且对应元素(yun s)相等相等,即即 aij=bij (i=1,2,m;j=1,2,n)则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B相等相等,记作记作A=B.三、同型矩阵与矩阵相等三、同型矩阵与矩阵相等(xingdng)的概念的概念1.两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵同型矩阵.例如例如:为为同型矩阵同型矩阵.解解:由于矩阵由于矩
7、阵A=B,则由矩阵相等的定义则由矩阵相等的定义,得得:例例1:设设已知已知A=B,求求x,y,z.x=2,y=3,z=2.第八页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念例例2 2：见：见P36P36（自学（自学(zxu)(zxu)）n个变量个变量(binling)x1、x2、xn与与m个变量个变量(binling)y1、y2、ym之间的关系式之间的关系式表示一个从变量表示一个从变量x1、x2、xn到变量到变量y1、y2、ym的的线性变换线性变换，其，其中中aij为常数。为常数。四、矩阵应用举例四、矩阵应用举例例例3 3：(线性变换线性变换)参考参
8、考P44P44第九页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念系数系数(xsh)矩阵矩阵线性变换与矩阵线性变换与矩阵(j zhn)之间存在着一一对之间存在着一一对应关系应关系.第十页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念线性变换线性变换称之为称之为恒等变换恒等变换.再如：再如：它对应它对应(duyng)(duyng)着单位着单位矩阵矩阵第十一页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)1 矩阵矩阵(j zhn)的概念的概念注：行列式与矩阵注：行列式与矩阵(j(j zhn)zhn)的区别的区别
9、:1.一个是算式一个是算式(sunsh)，一个是数表，一个是数表2.一个行列数相同一个行列数相同,一个行列数可不同一个行列数可不同.3.对对 n 阶方阵可求它的行列式阶方阵可求它的行列式.记为记为:第十二页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义定义(dngy):设有两个设有两个mn 矩阵矩阵A=(aij)与与 B=(bij),那么那么矩阵矩阵A与与B的和记作的和记作A+B,规定为规定为注意注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进这两个矩阵才能进行行(jnxng)加法运算加法运算
10、.第十三页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算例：例：第十四页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算矩阵加法满足下列运算规律矩阵加法满足下列运算规律(gul)(设设A、B、C都是都是mn 矩阵矩阵)：(1)交换律：交换律：A+B=B+A,(2)结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C),(3)若记：若记：-A=-(aij),称为矩阵称为矩阵A的负矩阵，则有：的负矩阵，则有：A+(-A)=O,A-B=A+(-B).二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义:数数与矩阵与矩阵A的乘积的乘积(ch
11、ngj)记作记作A或或A,规定为规定为第十五页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算例：例：第十六页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算注意：矩阵注意：矩阵(j zhn)数乘与行列式数乘的区别数乘与行列式数乘的区别.矩阵数乘满足下列矩阵数乘满足下列(xili)运算规律运算规律(设设A、B都是都是m n 矩阵矩阵,为数为数)矩阵相加与矩阵数乘合起来矩阵相加与矩阵数乘合起来,统称为统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算.第十七页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn
12、)的运算的运算 定义定义(dngy):设设A=(aij)是一个是一个 m s 矩阵矩阵,B=(bij)是一个是一个s n 矩阵矩阵,定义定义(dngy)矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积的乘积 C=(cij)是一个是一个m n 矩阵矩阵,其中其中三、矩阵三、矩阵(j zhn)与矩与矩阵阵(j zhn)相乘相乘 (i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB.记号记号AB常读作常读作A左乘左乘B或或B右乘右乘A。注意注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩两个矩阵才能相乘阵才能相乘.第十八页，共102页。第二章第
13、二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算例例5：求矩阵：求矩阵(j zhn)的乘积的乘积(chngj)AB及及BA.解：解：由于矩阵由于矩阵A与矩阵与矩阵B均为二阶方阵，所以二者可以互乘。均为二阶方阵，所以二者可以互乘。第十九页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算例例5表明表明(biomng)：矩阵矩阵(j zhn)乘法不满足交换律乘法不满足交换律,即即:AB BA,另外，另外，矩阵乘法满足下列运算规律：矩阵乘法满足下列运算规律：（其中（其中 为数）为数）;定义定义:如果两矩阵相乘，有如果两矩阵相乘，有AB=BA,则
14、称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B可交换可交换，简称，简称A与与B可换可换。第二十页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算上节例上节例3中中的线性变换的线性变换（1）利用矩阵的乘法，可记作利用矩阵的乘法，可记作其中，其中，线性变换线性变换(1)把把X变成变成Y，相当于用矩阵，相当于用矩阵(j zhn)A去左乘去左乘X得到得到Y。第二十一页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算并且满足并且满足(mnz)幂运算律幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中其中k,m为正整数为正整数.注意注意:
15、由于由于(yuy)矩阵乘法不满足交换矩阵乘法不满足交换律律,则则:若若A是是n 阶方阵阶方阵,则则Ak为为A的的k次幂次幂,即即 方阵的幂：方阵的幂：第二十二页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算四、矩阵四、矩阵(j zhn)的转置的转置定义定义:把矩阵把矩阵(j zhn)A的行换成同序数的列得到一个新的行换成同序数的列得到一个新矩阵矩阵(j zhn),叫做叫做A的转置矩阵的转置矩阵(j zhn),记作记作AT.例：例：矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律(假设运算都是可行的假设运算都是可行的):(1)(AT)T=A;(2)(
16、A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;第二十三页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算解法解法(ji f)1:因为因为例例7:已知已知求求(AB)T.所以所以解法解法(ji f)2:(AB)T=BTAT第二十四页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算由矩阵转置由矩阵转置(zhun zh)和对称矩阵的定义可得和对称矩阵的定义可得:方阵方阵(fn zhn)A 为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.证明证明:自学自学（见（见P49）例例8:
17、设列矩阵设列矩阵X=(x1 x2 xn)T,满足满足XTX=1,E为为n 阶单位矩阵阶单位矩阵,H=E 2XXT,证明证明:H为对称矩阵为对称矩阵,且且HHT=E.如果如果AT=-A，则称，则称A 为为反对称矩阵反对称矩阵。第二十五页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义定义:由由n阶方阵阶方阵A的元素所构成的元素所构成(guchng)的行列式的行列式(各元素的位置不变各元素的位置不变),称为方阵称为方阵A的行列式的行列式,记作记作|A|或或det A.例例方阵方阵(fn zhn)的行列式满足下列运算规的行列
18、式满足下列运算规律：律：(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.第二十六页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)2 矩阵矩阵(j zhn)的运算的运算六、共轭矩阵六、共轭矩阵(j(j zhn)zhn)定义定义:当当 A=(aij)为复矩阵时为复矩阵时,用用 表示表示aij 的共轭复数的共轭复数,记记 ,称称 为为A 的共轭矩阵的共轭矩阵.共轭矩阵满足下述运算规律共轭矩阵满足下述运算规律(gul)(设设A,B为复矩阵为复矩阵,为复数为复数,且且运算都是可行的运算都是可行的):作业：作业：P49习题习题2-2 5.7.（用矩阵求
19、解用矩阵求解）第二十七页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)定义定义:对于对于(duy)n阶矩阵阶矩阵A,如果有一个如果有一个n阶矩阵阶矩阵B,使使 AB=BA=E则说矩阵则说矩阵A是可逆的是可逆的,并把矩阵并把矩阵B称为称为A的逆矩阵的逆矩阵,简简称逆阵称逆阵.记作：记作：A-1=B唯一性：若唯一性：若A是可逆矩阵是可逆矩阵(j zhn)，则，则A的逆矩阵的逆矩阵(j zhn)是唯一的是唯一的.证明：证明：所以所以A 的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。一、逆矩阵的定义和性质一、逆矩阵的定义和性质第二十八页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j
20、zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)方阵的逆矩阵满足下列方阵的逆矩阵满足下列(xili)运算规律运算规律(1)若矩阵若矩阵(j zhn)A可逆可逆,则则A-1亦可逆亦可逆,且且(A-1)-1=A.(2)若矩阵若矩阵A可逆可逆,且且 0,则则 A 亦可逆亦可逆,且且(3)若若A,B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵,则则AB亦可逆亦可逆,且且(AB)-1=B-1A-1.(4)若矩阵若矩阵A可逆可逆,则则AT 亦可逆亦可逆,且且(AT)-1=(A-1)T.(5)若矩阵若矩阵A可逆可逆,则有则有|A-1|=|A|-1.第二十九页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zh
21、n)第三十页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)定义定义(dngy):行列式行列式|A|的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式Aij 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵称为称为(chn wi)矩阵矩阵A 的伴随矩阵的伴随矩阵.性质性质:AA*=A*A=|A|E.证明证明:自学自学 二、伴随矩阵的概念及其重要性质二、伴随矩阵的概念及其重要性质第三十一页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)三、矩阵可逆的判别三、矩阵可逆的判别(pnbi)定定理及求法理及求法例例9 设设求求A的逆矩阵的逆矩阵.解解:利用待定系
22、数法利用待定系数法.是是A的逆矩阵的逆矩阵,设设即即由由解得解得,则则解完否？解完否？第三十二页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)又因为又因为(yn wi)所以所以即即AB=BA=E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须必须(bx)寻求可行而有效的方法寻求可行而有效的方法.定理定理:矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A|0,且且其中其中A*为矩阵为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.第三十三页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)证明证
23、明(zhngmng)：由由伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质:AA*=A*A=|A|E,知知当当|A|0时时,由逆矩阵的定义得由逆矩阵的定义得,第三十四页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)当当|A|=0 时时,称称A为奇异为奇异(qy)矩阵矩阵,否则称否则称A为非奇异为非奇异(qy)矩阵矩阵.由此可得由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是可逆矩阵的充分必要条件(b yo tio jin)是是A为非为非奇异矩阵奇异矩阵.推论推论:若若 AB=E(或或 BA=E),则则 B=A-1.证明证明:由由 AB=E 得得,|A|B|=|E|=1,故故|A|0.因而因
24、而,A-1存在存在,于是于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.故结论成立故结论成立.例例10 10 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.第三十五页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)解解同理可得同理可得第三十六页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)所以所以(suy)例例11 设设求矩阵求矩阵(j zhn)X使其满足使其满足 AXB=C.解解:由于由于所以所以,A-1,B-1都存在都存在.且且第三十七页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)又由又
25、由 AXB=C,得得 A-1AXBB-1=A-1CB-1,则则 X=A-1CB-1.于是于是X=A-1CB-1第三十八页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)3 逆矩阵逆矩阵(j zhn)注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，的位置关系，例如解例如解AX=B,需先考察需先考察A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才可以解可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边此矩阵方程，在方程两边(lingbin)同时左乘同时左乘A的逆，而不能右乘，的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程矩阵方程解解第三十九页，共102
26、页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)引言引言:对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵A A，为了简化运算，常采，为了简化运算，常采用分块法用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.定义定义:将矩阵将矩阵A A用若干条纵线和横线分成用若干条纵线和横线分成(fn chn)(fn chn)许多许多个小矩阵个小矩阵,每一个小矩阵称为每一个小矩阵称为A A的子块的子块,以子块为元素的以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵形式上的矩阵称为分块矩阵.一、分块矩阵一、分块矩阵(j zhn)的定义的定义例如例如:第四十页，共102页。
27、第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)第四十一页，共102页。二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算(yn sun)规则规则 (1)分块矩阵的加法分块矩阵的加法:设矩阵设矩阵A与与B是同型的是同型的,且采用且采用(ciyng)相同的相同的分块法分块法,有有其中其中(qzhng)子块子块Aij与与Bij是同型的是同型的(i=1,2,s;j=1,2,r),则则第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵第四十二页，共102页。(2)分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘:第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)第四十三页，共102页。第二章第二章 矩
28、阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)(3)分块矩阵分块矩阵(j zhn)的乘法的乘法:设设A为为m l 矩阵矩阵(j zhn),B为为l n矩阵矩阵(j zhn),分块为分块为其中其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别的列数分别(fnbi)等于等于B1j,B2j,Btj的行数的行数,则则其中其中(i=1,2,s;j=1,2,r).第四十四页，共102页。例例12 设设求求AB.解解:把把A,B分块成分块成则则第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)第四十五页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)而而于是
29、于是第四十六页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)(4)设设则则 (5)设设A为为n阶方阵阶方阵,若若A的分块矩阵的分块矩阵(j zhn)除在对角线上有非除在对角线上有非零子块外零子块外,其余子块均为零矩阵其余子块均为零矩阵(j zhn),且对角线上的子块都是方且对角线上的子块都是方阵，即阵，即其中其中(qzhng)Ai(i=1,2,s)都是方阵都是方阵,则称则称A为分块对角矩阵为分块对角矩阵.第四十七页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)1.|A|=|A1|A2|As|.2.设分块对角设分块对角(
30、du jio)矩阵矩阵A,若若|Ai|0(i=1,2,s),则则|A|0,且且3.分块对角矩阵分块对角矩阵(j zhn)具有下述性质具有下述性质:第四十八页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)其中其中则则所以所以解解:将将A 分块分块例例13 设设求求A-1.形成分块对角形成分块对角(du jio)矩阵矩阵.第四十九页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)对于对于(duy)线性方线性方程组程组记记三、分块矩阵的应用三、分块矩阵的应用(yngyng)：线性方程组的：线性方程组的表示表示(2)第五十页，共
31、102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)其中其中A称为系数矩阵称为系数矩阵,x称为未知数向量称为未知数向量,b称为常数称为常数(chngsh)项向量项向量,B称为增广矩阵称为增广矩阵.按分块矩阵的记法按分块矩阵的记法,可记可记 B=(A b)或或 B=(A,b)=(a1,a2,an,b).利用矩阵的乘法利用矩阵的乘法,方程组方程组(2)可记作可记作 Ax=b作业作业(zuy)：P56习题习题2-3 1.(2)2.(3)P63习题习题2-4 5.第五十一页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换分析分
32、析:用消元法解下列用消元法解下列(xili)方程组的过程方程组的过程.引例引例:求解线性方程组求解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组解解:2第五十二页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换 2 3 2第五十三页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换+53 2第五十四页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换用用“回代回代”的方法的方法(fngf)求出解求出解:其
33、中其中x3可以任意取值可以任意取值.或令或令x3=c,方程组的解可记作方程组的解可记作:其中其中c为任意为任意(rny)常数常数.(2)或或第五十五页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换 1.始终把方程组看作始终把方程组看作(kn zu)一个整体变形一个整体变形,用到如下三种变换用到如下三种变换:归纳以上归纳以上(yshng)过程过程:(3)一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍倍;(2)以不等于以不等于0的数的数 k 乘某个方程乘某个方程;(1)交换方程次序交换方程次序;2.上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可
34、逆的.第五十六页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换由于三种变换由于三种变换(binhun)都是可逆的都是可逆的,所以变换所以变换(binhun)前的方程组与变换前的方程组与变换(binhun)后的方程组是同解的后的方程组是同解的.故这三种变换故这三种变换(binhun)是同解变换是同解变换(binhun).在上述在上述(shngsh)变换过程中变换过程中,只对方程组的系数和常数进只对方程组的系数和常数进行运算行运算,未知量并未参与本质性运算未知量并未参与本质性运算.因此，若记因此，若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的
35、变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组(1)的的增广矩增广矩阵阵)的变换的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。矩阵的三种初等变换。第五十七页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换二、矩阵二、矩阵二、矩阵二、矩阵(j(j zhn)zhn)的初的初的初的初等变换等变换等变换等变换定义定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调对调(dudio)两行两行(对调对调(dudio)i,j 两行两行,记作记作 ri rj);(
36、2)以非零数以非零数k乘以某一行的所有元素乘以某一行的所有元素(第第 i 行乘行乘 k,记作记作 ri k);(3)把某一行所有元素的把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去倍加到另一行的对应元素上去(第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行上去行上去,记作记作 ri+k rj ).把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”,即得即得矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换的定义的定义(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)定义定义2:矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换.对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换第五十
37、八页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换说明说明:三种初等变换都是可逆的三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一且其逆变换是同一(tngy)类型的初等变换类型的初等变换:ri rj 的逆变换为的逆变换为 ri rj;ri k 的逆变换为的逆变换为 ri (1/k),或或 ri k;ri+k rj 的逆变换为的逆变换为 ri+(k)rj,或或 ri k rj.定义定义3:如果如果(rgu)矩阵矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价.记作记作A B.矩阵之间的等价关系具有
38、下列矩阵之间的等价关系具有下列性质：性质：(1)反身性反身性:A A;(2)对称性对称性:若若A B,则则 B A;(3)传递性传递性:若若A B,且且 B C,则则A C.第五十九页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换用矩阵的初等用矩阵的初等(chdng)行变换解方程组行变换解方程组(1)，其过程可与，其过程可与方程组方程组(1)的消元过程一一对照的消元过程一一对照.r1r2r3 2 2第六十页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换r2r3r32r1r43r1 2 3r2 2
39、 2第六十一页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换r3+5r2r43r2+53r32r4r4r3 2第六十二页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换r2r3r1r2B6对应的方程组为对应的方程组为:或令或令x3=c(c为任意为任意(rny)常数常数),方程组的解可记作方程组的解可记作:第六十三页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换定定义义4:矩矩阵阵B5和和 B6都都称称为为(chn wi)行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵,其
40、其特特点是点是:(1)可画出一条阶梯线可画出一条阶梯线,线的下方全为线的下方全为0;(2)每每个个台台阶阶只只有有一一行行,阶阶梯梯线线的的竖竖线线(每每段段竖竖线线的的长长度度为为一一行行)后后面面的的第第一一个个元元素素为为非非零零元元,也也就就是是非非零零行行的的第第一一个非零元个非零元.行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B6还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵,其其特特点点是是：非非零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为1,且且这这些些非非零零元元所所在在(suzi)的列的其它元素都为的列的其它元素都为0.第六十四页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的
41、初等变换的初等变换 (2)利用初等行变换利用初等行变换,解线性方程组只需把增广解线性方程组只需把增广(zn un)矩矩阵化为行最简形矩阵阵化为行最简形矩阵.(3)一个矩阵一个矩阵(j zhn)的行最简形矩阵的行最简形矩阵(j zhn)是唯一确定的是唯一确定的,而而其行阶梯形矩阵其行阶梯形矩阵(j zhn)却不是唯一的，但是行阶梯形矩阵却不是唯一的，但是行阶梯形矩阵(j zhn)中非零行的行数是唯一确定的中非零行的行数是唯一确定的.行最简形矩阵再经过若干次初等行最简形矩阵再经过若干次初等列列变换可化成变换可化成标准形标准形.说明说明:(1)对于任何矩阵对于任何矩阵Amn,总可经过有限次初等总可经
42、过有限次初等行行变换把它变变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；行最简形矩阵一定是行为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；行最简形矩阵一定是行阶梯形矩阵，但行阶梯形矩阵不一定是行最简形矩阵。阶梯形矩阵，但行阶梯形矩阵不一定是行最简形矩阵。第六十五页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换c54c13c2+3c3矩阵矩阵(j zhn)F称为矩阵称为矩阵(j zhn)B的标准形的标准形.特点特点(tdin):标准形标准形F的左上角是一个单位矩阵的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为其余元素全为零零.B6c3c4c4+c1+c2第六十六页，共102页。
43、第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换任一个矩阵任一个矩阵Am n总可经过总可经过(jnggu)初等变换化为标初等变换化为标准形准形 此标准形由此标准形由m,n,r三个数唯一确定三个数唯一确定,其中其中r 就是就是(jish)行阶行阶梯形矩阵中非零行的行数梯形矩阵中非零行的行数.第六十七页，共102页。三、矩阵三、矩阵三、矩阵三、矩阵(j(j zhn)zhn)的初等变换的性的初等变换的性的初等变换的性的初等变换的性质质质质第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换定理定理1 设设A与与B为为mn矩阵，那么：矩阵
44、，那么：的充分必要条件是：存在的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使，使PA=B.（3）AB的充分的充分(chngfn)必要条件是：存在必要条件是：存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P与与n阶阶可逆矩阵可逆矩阵Q,使使PAQ=B.的充分必要条件是：存在的充分必要条件是：存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q，使，使AQ=B.推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 .第六十八页，共102页。当当|A|0时时,则由则由 定理定理1及推论可知，存在及推论可知，存在(cnzi)可逆矩阵可逆矩阵P，使，使得得(i)式表明式表明A经一系列初等行变换可变成经一系列初等行变换可变成E，(ii)
45、式表明式表明E经同样的初等行经同样的初等行变换即变成变换即变成A-1，利用分块矩阵的形式，利用分块矩阵的形式(xngsh)，(i)、(ii)两式可合并两式可合并为：为：四、矩阵四、矩阵四、矩阵四、矩阵(j(j zhn)zhn)的初等变换的应用的初等变换的应用的初等变换的应用的初等变换的应用 及及()()即即,对对n 2n矩阵矩阵(A|E)施行初等施行初等行行变换变换,当当把把A变成变成E的同时的同时,原原来的来的E就变成了就变成了A-1.1.1.1.1.利用初等变换求可逆矩阵的逆阵利用初等变换求可逆矩阵的逆阵利用初等变换求可逆矩阵的逆阵利用初等变换求可逆矩阵的逆阵 第二章第二章 矩阵矩阵5 矩
46、阵的初等变换矩阵的初等变换第六十九页，共102页。2.2.2.2.利用利用利用利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)初等变换求矩阵初等变换求矩阵初等变换求矩阵初等变换求矩阵A-A-A-A-1B1B1B1B 同样，对矩阵方程同样，对矩阵方程 AX=B,其中其中A为为n阶方阵阶方阵(fn zhn),B为为n s 阶矩阵阶矩阵,如果如果A可逆可逆,则则X=A-1B.考虑考虑(kol)分块矩阵分块矩阵(A|B),可得可得即即,当一系列初等当一系列初等行行变换变换将将A化为化为E 的同时也的同时也将将B化为化为了了A-1B.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第七十页，共
47、102页。解解:r22r1r33r1r1+r2r3r2r12r3r25r3例例1:设设A=求求A-1.第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换第七十一页，共102页。例例2:求矩阵求矩阵(j zhn)X,使使AX=B,其中其中解解:若若A可逆可逆,则则 X=A-1B.r22r1r33r1r2(2)r3(1)所以所以第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换第七十二页，共102页。r2(2)r3(1)所以所以作业：作业：P71习题习题(xt)2-53.(3)4.(3)(4)5.(2)（提示见下页）（提示见下页）r1
48、+r2r3r2r12r3r25r3第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换第七十三页，共102页。如果要求如果要求X=BA-1,则可对矩阵则可对矩阵作初等作初等列列变换变换.列变换列变换即可求得即可求得X=BA-1.通常通常(tngchng)更习惯作初等行变换，此时应对更习惯作初等行变换，此时应对(AT|BT)作初等行变换作初等行变换.行变换行变换即可求得即可求得XT=(AT)-1BT=(A-1)TBT=(BA-1)T,从而从而(cng r)求得求得X=BA-1.第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)5 矩阵矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换习题习题
49、2-5：5（2）提示：）提示：第七十四页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)6 矩阵矩阵(j zhn)的秩的秩一、矩阵一、矩阵一、矩阵一、矩阵(j(j zhn)zhn)秩的秩的秩的秩的概念概念概念概念 定义定义:在在m n矩阵矩阵A中任取中任取 k 行行 k 列列(km,kn),位于这位于这 k 行行 k 列交叉处的列交叉处的 k2个元素个元素,不改变它们在不改变它们在A中所处的位置次序中所处的位置次序(cx)而得到的而得到的 k 阶行列式阶行列式,被称为矩阵被称为矩阵A的的k阶子式阶子式.说明：说明：m n矩阵矩阵A的的k阶子式共有阶子式共有定义定义:设在设在矩阵矩阵A中有一个
50、不等于中有一个不等于0的的r阶子式阶子式D，且所有，且所有r+1阶子阶子式式(如果存在的话如果存在的话)全等于全等于0，那么，那么D称为矩阵称为矩阵A的一个最高阶的一个最高阶非零子式，数非零子式，数r称为称为矩阵矩阵A的秩的秩,记作记作 R(A).规定规定:零矩阵的秩等于零矩阵的秩等于0.说明说明:m n矩阵矩阵A的秩的秩R(A)是是A中不等于零的子式的最高阶数中不等于零的子式的最高阶数.第七十五页，共102页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)6 矩阵矩阵(j zhn)的秩的秩例例3:求矩阵求矩阵(j zhn)A和和B的秩，其中的秩，其中A的的3阶子式只有阶子式只有|A|,且经计算可知且经