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1、 10.2 简单的一阶和二阶常系数线性差分方程的解法一、齐次方程的通解二、非齐次方程的特解与通解三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法一、齐次方程的通解一阶常系数线性差分方程一般形式为一阶常系数线性差分方程一般形式为这是等比数列所满足的关系式这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式由等比数列通项公式可以得到可以得到方程方程 变形后改写为变形后改写为从而得到方程从而得到方程 的通解的通解有有二、非齐次方程的特解与通解于是于是,要使方程恒等要使方程恒等,则应设则应设则方程则方程 为为代入方程代入方程 ,代入方程后代入方程后,比较同幂次系数比较同幂次系数,可以解代数方程确定待定系数可以解代数方程
2、确定待定系数.要使方程恒等要使方程恒等,则应设则应设代入方程代入方程,比较同幂次系数比较同幂次系数,例例1 1解解代入原方程代入原方程,有有比较系数得比较系数得所以所以所给方程通解为所给方程通解为例例2 2解解代入原方程代入原方程,有有比较系数得比较系数得所以得所以得从而所给方程的通解为从而所给方程的通解为为为代入方程有代入方程有于是于是,从而得到从而得到代入方程代入方程,这时方程这时方程 从而得到从而得到代入方程代入方程 ,于是方程于是方程 的特解为的特解为于是方程于是方程 的特解为的特解为综上讨论综上讨论,于是方程于是方程 的通解可表示为的通解可表示为例例3 3解解代入方程代入方程,有有从
3、而解得从而解得所给方程的通解为所给方程的通解为于是所给方程满足条件的特解为于是所给方程满足条件的特解为 求解非齐次线性方程求解非齐次线性方程 的通解，除了利用的通解，除了利用线性方程解的结构定理，通过分别求出对应齐次方线性方程解的结构定理，通过分别求出对应齐次方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外，还可程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外，还可以直接用迭代法计算，这时将方程以直接用迭代法计算，这时将方程 改写成迭改写成迭代方程形式代方程形式则有则有一般地一般地,由数学归纳法可证由数学归纳法可证其中其中为方程为方程 的特解的特解,例例4 4解解有有所以，所给方程的通解为所以，所给方程的通解为
4、三、二阶常系数齐次线性差分方 程的解法二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为特征方程的解称为特征根或特征值特征方程的解称为特征根或特征值.方程方程 称为方程称为方程 的特征方程的特征方程,1.特征方程有两个相异实根特征方程有两个相异实根方程方程 有两个相异实根有两个相异实根于是方程于是方程 有两个特解有两个特解 根据二次代数方程根据二次代数方程 解的三种情况，可以解的三种情况，可以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程 的通解的通解.且由且由从而得到方程从而得到方程 的通解的通解 例例1 1解解特征方程为特
5、征方程为解得两个相异实根解得两个相异实根于是于是,所给方程的通解为所给方程的通解为2.特征方程有二重根特征方程有二重根于是方程于是方程 有一个特解有一个特解 方程方程 有二重根有二重根可验证方程可验证方程 有另一特解有另一特解且由且由从而得到方程从而得到方程 的通解的通解例例2 2解解特征方程为特征方程为解得特征根为解得特征根为于是于是,所给方程的通解为所给方程的通解为3.特征方程有两个共轭复根特征方程有两个共轭复根通过直接验证可知通过直接验证可知,其中其中方程方程 有两个共轭复根有两个共轭复根方程方程 有两个特解有两个特解所给方程所给方程 的通解可表示为的通解可表示为例例3 3解解特征方程为特征方程为解得特征根解得特征根因此因此所给方程的通解为所给方程的通解为