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1、200812116.4 6.4 特殊函数的积分特殊函数的积分 有理函数有理函数.两个多项式的商表示的函数称之为两个多项式的商表示的函数称之为一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式有理函数是有理函数是真分式真分式；有理函数是有理函数是假分式假分式；利用利用多项式除法多项式除法,假分式可以化成一个多项式假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和和一个真分式之和.例例难点难点将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和
2、的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解例例5 5 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令则则记记三类积分均可积出三类积分均可积出
3、,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.P244三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分令令（万能置换公式万能置换公式）例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,
4、便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.例例9 9 求积分求积分解解讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结作业作业 (数学分析习题集数学分析习题集)习题习题5.4 有理函数的积分有理函数的积分 1；2；7；8.习题习题5.5 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 1、1),3),4),5),6);2、1),2),8),9),11),12).思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.