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1、第四章第四章 有限长单位脉冲响应（有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法滤波器的设计方法序言序言4.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性4.2窗口设计法（时间窗口法）设计窗口设计法（时间窗口法）设计FIR滤波器滤波器 4.3频率取样法设计频率取样法设计FIR滤波器滤波器4.4FIR数字滤波器的最优化设计数字滤波器的最优化设计4.5IIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较序言序言一、一、FIR滤波器的表示滤波器的表示FIR数字滤波器的差分方程描述数字滤波器的差分方程描述 对应的系统函数对应的系统函数因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示因为它是一种线性时不变
2、系统，可用卷积和形式表示比较比较、得：得：二、二、FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点(与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较)优点优点：（：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号的信号产生相位失真，这一特点在产生相位失真，这一特点在宽频带信宽频带信号处理、阵号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中列信号处理、数据传输等系统中非常重要；非常重要；（2）可得到多带幅频特性；）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一）任何一个非因果的
3、有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是所以因果性总是满足；满足；（5）无反馈运算，运算误差小。）无反馈运算，运算误差小。（6）由于单位脉冲响应为有限长序列，因此可以）由于单位脉冲响应为有限长序列，因此可以采用采用FFT快速算法实现信号过滤，可以提高效率。快速算法实现信号过滤，可以提高效率。缺点：（缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解般无解析设计析设计公式，要借助计算机辅助设计程
4、序公式，要借助计算机辅助设计程序完成。完成。三、三、FIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法设计方法：设计方法：窗函数法窗函数法频率采样法频率采样法切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法设计任务：选择有限长度的脉冲响应设计任务：选择有限长度的脉冲响应，得到系统函数得到系统函数，使幅频特性满足技术指，使幅频特性满足技术指标，同时是相频特性达到线性相位。标，同时是相频特性达到线性相位。4.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 一、一、线性相位的条件线性相位的条件1、线性相位的定义、线性相位的定义线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线
5、性函数，即线性函数，即式中式中 为常数，此时通过这一系统的各频率分为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为量的时延为一相同的常数，系统的群时延为 2、线性相位的条件、线性相位的条件FIR滤波器的滤波器的DTFT为为式中式中H()是正或负的实函数。等式中间和等式右边是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等值应当相等:将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系应用三角函数的恒等关系满足上式的条件（线性相
6、位的条件）是满足上式的条件（线性相位的条件）是（2）式是）式是FIR滤波器具有（滤波器具有（1）的线性相位的必要且）的线性相位的必要且充分条件，它要求单位冲击响应的充分条件，它要求单位冲击响应的h（n）序列以）序列以 为偶对称中心，此时，时间延迟为偶对称中心，此时，时间延迟 等于等于 长度长度N-1的一半，即的一半，即 个个抽样周期。抽样周期。N为偶数时，延时为整数，为偶数时，延时为整数，N为奇数时，为奇数时，延时等于整数加半个抽样周期。不管延时等于整数加半个抽样周期。不管N为奇偶，此为奇偶，此时时 都应满足对都应满足对 轴呈偶对称。轴呈偶对称。另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附另
7、外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即加的相位，即利用类似的关系，可以得出新的解答为利用类似的关系，可以得出新的解答为（4）式是）式是FIR滤波器具有（滤波器具有（3）的线性相位的必要且）的线性相位的必要且充分条件，它要求单位冲击响应的充分条件，它要求单位冲击响应的h（n）序列以）序列以 为奇对称中心，此时，时间延迟为奇对称中心，此时，时间延迟 等于等于 长度长度N-1的一半，即的一半，即 个个抽样周期。在抽样周期。在 的这种奇对称情况下，满足的这种奇对称情况下，满足 ，因而，因而 。这种。这种线性相位情况和前一种不同之处是，除了产生线性线性相位情况和前一种不同之处是，除了产
8、生线性相位外，还有相位外，还有 的固定相移。的固定相移。偶对称 奇对称图1 线性相位特性分四种情况:1、h(n)偶对称、N为偶数2、h(n)偶对称 N为奇数3、h(n)奇对称 N为偶数4、h(n)奇对称 N为奇数二、二、线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性1 偶对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n)二、线性相位二、线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性令 ，则令则由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。可以用于各种滤波器的设计。2h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数h(n)=h(N-1-n)令 ，则或写为：由此看出：由于 奇对称，所以 对 也为奇对称，对 为偶
9、对称。且由于 时，处必有一零点。因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高通、带阻滤波器。3.h(n)3.h(n)奇对称，奇对称，奇对称，奇对称，NN为奇数，为奇数，为奇数，为奇数，h(n)=-h(N-1-n)h(n)=-h(N-1-n)令 n=m+(N-1)/2，得：所以 由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。由于 时，相当于H（z）在 处有两个零点。不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。4.h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数令当=0,2时，且对=0,2呈奇对称，因此H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1 处有一个零点，且H()对=0,2也呈奇对称。当
10、=时，或1，则 对=呈偶对称，幅度函数H()对于=也呈偶对称。如果数字滤波器在=0,2处不为零，例如低通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。四种线性相位FIR DF特性，参考 P91 表第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设 计低通和带阻。奇对称单位冲击响应 h(n)=-h(N-1-n)例例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数，求幅度函数H()。解解：为奇
11、数并且为奇数并且h(n)满满足偶对称关系足偶对称关系a(0)=h(2)=2a(1)=2 h(3)=-1a(2)=2 h(4)=-1H()=2-cos-cos2=2-(cos+cos2)4 4、小结：、小结：、小结：、小结：四种四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的的对称性，而与对称性，而与h(n)的值无关。的值无关。幅度特性取决于幅度特性取决于h(n)。设计设计FIR数字滤波器时，在保证数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当注意：当H()用用H()表示时，当表示时，当H()为
12、奇对为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移称时，其相频特性中还应加一个固定相移。三、三、线性相位线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性1、零点结构分布、零点结构分布 由该式可看出，若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也一定是H(z)的零点。由于h(n)是实数,H(z)的零点还必须共轭或对，所以z=zi*及 z=1/zi*也必是零点。所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成对出现，这种共轭对共有四种可能的情况：既不在单位圆上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭 对，zi zi*1/zi 1/zi*图4.2(a)在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以
13、有一对共轭零点，zi,z*i 图（b）不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点,zi,1/zi 图4.2(c)又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能,zi=1或 zi=-1 图4.2(d),p922、不同种类、不同种类FIR滤波器的零点分布滤波器的零点分布我们从幅度响应的讨论中已经知道对于第二种FIR滤波器（h(n)偶对称，N为偶数，即 是 的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必有单根；对于第三种FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因 所以z=1，z=-1都是H（z）的单根；对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H（0）=0，所以z=1是H（z）的单根。线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。