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1、第第2 2章章 点、直线和平面的投点、直线和平面的投影影 我们知道，点、直线和平面是形成立体的基本几何元素，因此，在学习形体的投影之前，我们首先要掌握这些几何元素的投影规律。本章主要内容 2.1 2.1 投影的基本知识投影的基本知识本节主要内容：投影法的形成与分类 正投影的投影特性一、投影法的形成一、投影法的形成光源投影中心投影中心光线投射线投射线预设的平面 投影面投影面得到的图形 投影投影由投影现象抽象出投影法：由投影现象抽象出投影法：物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变思考思考:1、在中心投影下，投影在中心投影下，投影 能否反映物体的真实能否反映物体的真实 大小大小?2
2、、中心投影能否满足绘、中心投影能否满足绘 制工程图样的要求制工程图样的要求?投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视图画轴测图画轴测图画工程图样及画工程图样及正轴测图正轴测图二、投影法的分类投影法的分类正投影正投影 斜投影斜投影中中心心投投影影法法 投投射中心、物体、投射中心、物体、投影面三者之间的相对影面三者之间的相对距离对投影的大小有距离对投影的大小有影响。度量性较差。影响。度量性较差。三、正投影的基本特性三、正投影的基本特性真实性真实性积聚性积聚性类似性类似性四、投影体系四、投影体系一般要从几个方向观察物体，一般要从几个方向观
3、察物体，才能表达清楚物体的形状？才能表达清楚物体的形状？三个方向三个方向单一投影面：单一投影面：单一投影面不能单一投影面不能完全确定物体的完全确定物体的形状和大小形状和大小两面投影体系：两面投影体系：两个投影面有时也不能完全确定物体的形状。两个投影面有时也不能完全确定物体的形状。三面投影体系：三面投影体系：V V正投影面正投影面 W W侧投影面侧投影面 H H水平投影面水平投影面 V V、H H交线交线OXOX轴轴 H H、W W交线交线OYOY轴轴 V V、W W交线交线OZOZ轴轴三面投影2.2 2.2 点的投影点的投影 点的投影仍是点。点的投影仍是点。一、点的三面投影一、点的三面投影空间
4、点用大写字母表示：如A。水平投影用相应小写字母：如a。正面投影用相应小写字母加一撇：如a。侧面投影用相应小写字母加两撇：如a。X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayH HY YH H W WY YW WZ ZV VX X投影面的展开投影面的展开ayayaaO Oxazaa 线框省略不画X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay绕绕Z轴轴向向右右旋转旋转90不不动绕绕X轴向轴向下旋转下旋转90点的三面投影点的三面投影YWZXYHaaaaxazaywayhoY相等的保证方法有：1画45度辅助线2用圆规量取二、点的三面投影和坐标关系二、点的
5、三面投影和坐标关系水平投影水平投影 a a 反映反映A A点点X X和和Y Y的坐标；的坐标；正面投影正面投影 aa反映反映A A点点X X和和Z Z的坐标；的坐标；侧面投影侧面投影aa反映反映A A点点Y Y和和Z Z的坐标。的坐标。X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayx xy yz z换言之：换言之：A点的水平投影点的水平投影a由由X、Y坐坐标确定；标确定；A点的下面投影点的下面投影a由由X、Z坐坐标确定；标确定；A点的侧面投影点的侧面投影a由由Y、Z坐标确定。坐标确定。1.a aOXOX轴，轴，a a OZOZ轴轴2.aax=a az=y=A Aa （A
6、 A到到V V面的距离）面的距离）a ax=a ay=z=A Aa （A A到到H H面的距离面的距离）Z ZY YW Waza X XY YH HayWO OaaxayHa aay=a az=x=A Aa （A A到到W W面的距离面的距离）点的投影规律点的投影规律例：已知点的两个投影，求第三投影。解法一解法一:通过作通过作45辅助线辅助线使使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa a aaxaza aaxaza 三、特殊位置点的投影三、特殊位置点的投影1、投影面上的点、投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上
7、。2、投影轴上的点、投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。例：已知点的两投影，求其第三投影例：已知点的两投影，求其第三投影 e e f e f f dxYWz YH0 d d d a a aA为X轴上的点；D为V面上的点；E为H面上的点；F为W面上的点。两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的指两点在空间的上下、上下、前后、左右前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之后、点之后、之左、之下。之左、之下。四、四、两点的相对位置两点的相对位置
8、a a aXZYWYHb bb O例例：已知已知A点在点在B点之前点之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米，求毫米，求A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 985重影点：重影点：空间两点在某一投影面上的空间两点在某一投影面上的投影重合为一点投影重合为一点时，则称此两点时，则称此两点为为该投影面该投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点被挡住的被挡住的投影加投影加()A、C为哪为哪个投影面的个投影面的重影点呢？重影点呢？a a c c a（c）重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。判断重影点的可见性：左遮右
9、，前遮后，上遮下左遮右，前遮后，上遮下 2.3 2.3 直线的投影直线的投影 一般情况下，一般情况下，直线的投影仍然直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。为直线，特殊情况为一个点。一、直线的投影一、直线的投影 根据两点确定一条直线，将两点的同根据两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。影。aa b b b a 直线垂直于投直线垂直于投影面投影重合影面投影重合为一点为一点直线平行于直线平行于投影面投影投影面投影反映线段实反映线段实长长 ab=ABab=AB直线倾斜于投影直线倾斜于投影面投影比空间线面投影比空间线段短段短 B BA
10、AabA AB Bab A AM MB Ba（m）（）（b）二、二、直线的投影特性直线的投影特性 类类类类 似似似似 性性性性显显显显 实实实实 性性性性 积积积积 聚聚聚聚 性性性性投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面水平线（平行于面)正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特
11、殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 直线的投影特性取决于其与三个投影面间的相对位置。三、各类直线及其投影特性三、各类直线及其投影特性 投影面平行线：投影面平行线：两平对一斜两平对一斜两平对一斜两平对一斜水平线水平线与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长ba aa b b 正平线正平线b a aba b 实长实长侧平线侧平线b aa b ba 实长实长 在其平行的那个投影面上的投影反映实在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。另两个投影面上的投影平行于相应的投另两个
12、投影面上的投影平行于相应的投影轴。影轴。投影面平行线的投影特性：投影面平行线的投影特性：投影面垂直线：投影面垂直线：两垂对一点两垂对一点两垂对一点两垂对一点铅垂线铅垂线a b a(b)a b ZXOYHYWX正垂线正垂线c(d)cdd c ZOYHYW侧垂线侧垂线e f efe(f)ZOYHYW2.另外两个投影，另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。的投影轴。1.在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，投影积聚成一点。上，投影积聚成一点。投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性:一般位置直线：一般位置直线：三斜相对应三斜相对应三斜相对应三斜相对应Z Z
13、Y YH HaO OX XabbaY YW Wb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角不反映空三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性投影特性:H HaaAb V VBbW Wa b Z ZX XOY Y 直线与点及两直线的相对位置直线与点及两直线的相对位置 一、直线与点的相对位置：一、直线与点的相对位置：1 1、点在直线上、点在直线上 2 2、点在直线外、点在直线外 直线上的点具有两个特性：直线上的点具
14、有两个特性：直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1、从属性从属性 点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2、定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A CA C:C BC B=a c a c:c bc b=a a c c :c c b b =a a c c :c c b b ABbbaaXOccC例：判断点例：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在X XX XZ ZX XO OY YH HY YW W例：已知点
15、例：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用从属性）（应用从属性）解法二：解法二：（应用定比性）（应用定比性）aa b bka b k k aa b bkk X XZ ZO OX XY YH HY YW W例：已知、三点分别在三棱锥的SA、AB、SC棱线上，求此三点的水平投影和侧面投影，然后将它们的同面投影用直线连接起来，并判别A、B、C直线的空间位置。A是 线B是 线 C是 线。正平侧平任意abcabc123cabsss123123二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。
16、平行、相交、交叉（异面）。两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX XO OX X 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直交点是两直线的共有点的共有点ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk X X 两直线交叉两直线交叉cacabddbO OX XaccA
17、aCV VbH HddDBbX X 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但“交点交点”不符合空间一点不符合空间一点的投影规律。的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对重影点的对重影点的投影。投影。同面投影也可能平行，但只有一面或两面投影平同面投影也可能平行，但只有一面或两面投影平行，并非三面投影同时平行。行，并非三面投影同时平行。平面的投影平面的投影 一般情况下，一般情况下，平面的投影平面的投影仍然为平面，特殊情况为一条仍然为平面，特殊情况为一条直线。直线。一一、平面的表示法平面的表示法不共线三个点不共线三个点abca b c dd 两平行两平行直线直线abca b c 两相
18、交两相交直线直线c直线及直线及线外一线外一点点baca b c c aba b X XX XX XX X平面图平面图形形c abca b X X迹线表示平面迹线表示平面 正面迹线正面迹线PV 水平迹线水平迹线PH 侧面迹线侧面迹线PW二、平面的投影特性二、平面的投影特性平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面显实性显实性类似性类似性积聚性积聚性平行平行A AB BC Cabc垂直垂直A AB BC Cabc倾斜倾斜A AB BC Cabc三、各类平面的投影特性三、各类
19、平面的投影特性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面平面的投影特性取决于其与三个投影面间的相对位置。投影面的垂直面投影面的垂直面：两框对一线两框对一线两框对一线两框对一线投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与
20、投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。c c abca b b a 积聚性积聚性铅垂面铅垂面Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW W 投影面的平行面：投影面的平行面：两线对一框两线对一框两线对一框两线对一框投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。轴平行的直线。a b c a b c abc积聚性
21、聚性积聚性聚性显显实性性水平面水平面Z ZX XO OY YH HY YW W 一般位置平面：一般位置平面：三框相对应三框相对应三框相对应三框相对应投影特性：投影特性：三个投影都类似三个投影都类似。a b c a c b abcZ ZX XO OY YH HY YW W例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影及，已知其水平投影及顶点顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。a c b c a abcb 思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？45Z ZX XO OY YH HY YW W 平面上的
22、直线和点平面上的直线和点一、平面上的直线一、平面上的直线几何条件：几何条件：1、直线通过平面上的两个已知点，则此直线必在、直线通过平面上的两个已知点，则此直线必在该平面内。该平面内。2、直线通过平面上一点，并且平行于该平面上的、直线通过平面上一点，并且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。另一直线，则此直线在该平面内。M MN NA AB BM M平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。不存在投影面垂直线。例例1 1：已知平面由直线：
23、已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在 平面内任作平面内任作一条直线。一条直线。abcb c a d d解法一：解法一：解法二：解法二：有无数解！有无数解！n m nmabcb c a X XX X有多少解？有多少解？例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面的距面的距 离为离为1010mmmm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？二、平面上的点二、平面上的点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。助线，然后再在该直线上确定点的
24、位置。求作求作方法：方法：先在面上取先在面上取线线几何条件：几何条件：点在平面内的一条直线上。点在平面内的一条直线上。例例1 1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解kabca b k c kX XX X例例2 2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平的水平投影。投影。bckada d b c k 解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X例例3 3：在：在ABCABC内取一点内
25、取一点M M，并使其到并使其到H H面面V V面的距离均为面的距离均为1010mmmm。dede1010mmbcX XbcaaO O例例4：根据主、左视图完成俯视图。又知属于该体前表面：根据主、左视图完成俯视图。又知属于该体前表面的点的点N的一面投影，求另两面的投影。的一面投影，求另两面的投影。2.7 2.7 直线与平面及两平面的交直线与平面及两平面的交一、直线与平面相交一、直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：(1)求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见
26、性。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们一般只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊我们一般只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。位置的情况。二、二、两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：确定两平面的两个共有点。确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。确定一个共有点及交线的方向。通常通常只讨论两平面中至少有只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。一个处于特殊位置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关判别两平面之间的相互遮挡关系，即：系，即：判别可见性。判别可见性。abd(e)ebdh(f)cfhmnnmX Xc c本章考核重点：1、空间点的相对位置及可见性判断 2、各类直线的投影特性 3、各类平面的投影特性 4、在平面内确定直线和点本章可出考核题型：1、填空题 2、选择题 谢谢 谢谢 观观 看！看！