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1、第六章第六章 方差分析方差分析Analysis of variance10/28/202216.1 单向分组数据方差分析 方差分析原理 单向分组数据6.2 两向分组数据方差分析 有重复两向分组数据 无重复两向分组数据本章内容本章内容6 方差分析10/28/202226.2 两向分组数据方差分析Two way analysis of variance6 方差分析10/28/202236.2 两向分组数据方差分析(1)案例和问题推进器(B)B1B2B3燃料(A)A158.252.656.241.265.360.8A249.142.854.150.551.648.4A360.158.370.973.
2、239.240.7A475.871.558.251.048.741.4火箭射程试验数据 选用4种燃料和3种推进器进行火箭射程试验，每个试验处理重复2次。因素响应水平10/28/20224需要弄清的问题是：(1)选用不同的燃料对火箭的射程是否有影响，影响多大？(2)选用不同的推进器对火箭的射程是否有影响，影响多大？(3)不同推进器选配不同燃料对火箭的射程是否有影响，影响多大？(1)案例和问题6.2 两向分组数据方差分析10/28/20225B1B2BbA1x111 x11,n11x121 x12,n12x1b1 x1b,n1bA2x211 x21,n21x221 x22,n21x2b1 x2b,
3、n2bAaxa11 xa1,na1xa21 xa2,na2xab1 xab,nab(3)数据模式AB两向分组B单向分组A单向分组6.2 两向分组数据方差分析10/28/20226各个处理(因素A与B的水平组合)分别独立试验，第ij处理重复试验nij次获得nij个观测，这nij个观测视作第ij正态总体的一个样本；全部观测（整个样本）由ab个独立正态总体的ab个样本组成，称作两向分组数据两向分组数据；按因素A的a个水平分组，则全部观测可视作因素A单向分组数据，包括因素B所有b个水平的试验结果；按因素B的b个水平分组，则全部观测可视作因素B单向分组数据，包括因素A所有a个水平的试验结果。(2)数据模
4、式6.2 两向分组数据方差分析10/28/20227(3)统计模型The statistical model is:效应模型响应模型6.2 两向分组数据方差分析10/28/20228(3)统计模型定义几个总体的均值6.2 两向分组数据方差分析10/28/20229(3)统计模型定义因素的效应因素影响决定的响应值称作效应6.2 两向分组数据方差分析10/28/202210(4)均值的无偏估计6.2 两向分组数据方差分析10/28/202211(5)效应的无偏估计样本均值差作为效应的估计6.2 两向分组数据方差分析10/28/202212 问题归结为检验ab个方差齐性正态总体的均值是否相等总效应假
5、设(6)统计假设总效应亦称作模型效应总效应假设6.2 两向分组数据方差分析10/28/202213因素A效应假设(6)统计假设因素B效应假设因素AB互作效应假设总效应分解成各个因素效应6.2 两向分组数据方差分析10/28/202214(6)统计假设因素A效应假设因素B效应假设因素AB互作效应假设总效应分解成各个因素效应6.2 两向分组数据方差分析10/28/202215(7)计算校正总平方和SST表征数据的总变异6.2 两向分组数据方差分析10/28/202216(8)计算误差平方和SSE误差均方MSE6.2 两向分组数据方差分析10/28/202217(8)计算误差平方和SSE6.2 两向
6、分组数据方差分析10/28/202218SSA表征因素A效应(9)计算因素A平方和SSA6.2 两向分组数据方差分析10/28/202219(9)计算因素A平方和SSA因素A均方MSA6.2 两向分组数据方差分析10/28/202220(9)计算因素A平方和SSA6.2 两向分组数据方差分析10/28/202221SSB表征因素B效应(10)计算因素B平方和SSB6.2 两向分组数据方差分析10/28/202222(10)计算因素B平方和SSB因素B均方MSB6.2 两向分组数据方差分析10/28/202223(10)计算因素B平方和SSB6.2 两向分组数据方差分析10/28/202224(
7、11)计算因素AB平方和SSAB6.2 两向分组数据方差分析10/28/202225(11)计算因素AB平方和SSAB因素AB均方MSAB因素AB的互作效应6.2 两向分组数据方差分析10/28/202226(12)总离差平方和分解效应分解平方和代表效应6.2 两向分组数据方差分析10/28/202227B1B2BbA1x111 x11,n11x121 x12,n12x1b1 x1b,n1bA2x211 x21,n21x221 x22,n21x2b1 x2b,n2bAaxa11 xa1,na1xa21 xa2,na2xab1 xab,nabAB两向分组A单向分组6.2 两向分组数据方差分析(1
8、2)总离差平方和分解B单向分组10/28/202228(13)平方和算法汇总分组数据和6.2 两向分组数据方差分析10/28/202229(13)平方和算法汇总分组数据平方和6.2 两向分组数据方差分析10/28/202230(13)平方和算法汇总平方和及自由度计算6.2 两向分组数据方差分析10/28/202231(14)假设检验6.2 两向分组数据方差分析10/28/202232(14)假设检验6.2 两向分组数据方差分析10/28/202233(14)假设检验6.2 两向分组数据方差分析10/28/202234SourceSSdfMSF ValuePrFFactor AFactor BF
9、actor ABErrorSSASSBSSABSSEa-1b-1(a-1)(b-1)n-abMSAMSBMSABMSEMSA/MSEMSB/MSEMSAB/MSEpApBpABTotalSSTn-1(15)方差分析表The Table of ANOVA6.2 两向分组数据方差分析10/28/202235SourceSSdfMSF ValueFactor AFactor BFactor ABErrorSSASSBSSABSSEa-1b-1(a-1)(b-1)n-abMSAMSBMSABMSEMSA/MSEMSB/MSEMSAB/MSETotalSSTn-1(15)方差分析表The Table o
10、f ANOVAF(df1,df2)F(dfA,dfE)F(dfAB,dfE)F(dfB,dfE)6.2 两向分组数据方差分析10/28/202236B1B2B3Ti.T2i./ni.A158.252.6110.8615456.241.297.44855.8865.360.8126.17960.73334.318626.087A249.142.891.94242.6554.150.5104.65477.0651.648.41005005.12296.514652.04A360.158.3118.47010.970.973.2144.110385.0539.240.779.93193.13342.
11、419539.63A475.871.5147.310857.8958.251.0109.25988.2448.741.490.14085.65346.620021.93T.j.468.4455.3396.1T=1319.8A72839.68T2.j./n.j27424.8225912.2612519611.90125B72948.98CR72578.00T2ij./nij28219.0526558.68520201.615E74979.35R.j28265.4426706.2320244.63R75216.30(16)方差分析案例数据的表格算法6.2 两向分组数据方差分析10/28/20223
12、7B1B2B3Ti.T2i./ni.A158.252.656.241.265.360.8334.318626.087A249.142.854.150.551.648.4296.514652.04A360.158.370.973.239.240.7342.419539.63A475.871.558.251.048.741.4346.620021.93T.j.468.4455.3396.1T=1319.8A72839.68T2.j./n.j27424.8225912.2612519611.90125B72948.98CR72578.00T2ij./nij28219.0526558.68520201
13、.615E74979.35R.j28265.4426706.2320244.63R75216.30(16)方差分析案例数据的表格算法6.2 两向分组数据方差分析10/28/202238dfT=n-1=24-1=23；dfE=n-ab=24-43=12dfA=a-1=4-1=3；dfB=b-1=3-1=2dfAB=(a-1)(b-1)=32=6SST=R-CR=75216.3-72578.00167=2638.29833SSE=R-E=75216.3-74979.35=236.95SSA=A-CR=72839.67668-72578.00167=261.67501SSB=B-CR=72948.9
14、825-72578.00167=370.98083SSAB=SST-SSE-SSA-SSB =2638.29833-236.95-261.67501-370.98083 =1768.69249平方和及自由度计算(16)方差分析案例6.2 两向分组数据方差分析10/28/202239SourceSSdfMSF valuePrFFactor AFactor BFactor ABError261.67501370.980831768.69249236.953261287.2250185.4904294.782119.745834.41749.393914.92880.02600.00350.0001
15、Total2638.29833 23火箭射程试验方差分析表方差分析表(16)方差分析案例6.2 两向分组数据方差分析10/28/202240 因pA=0.026、pB=0.0035和pAB3.4903、fB=9.39393.8853和fAB=14.92882.9961，可见三个因素效应的原假设H0在0.05水平上均被拒绝。方差分析表明，燃料A、推进器B、AB互作等三因素对火箭射程均有显著影响，影响大小的排序依次是AB互作、推进器B和燃料A，其中AB互作对射程的影响远大于其余因素。(16)方差分析案例依拒绝域的决策和结论6.2 两向分组数据方差分析10/28/202243结束结束6 方差分析10/28/202244