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1、计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件3.1 拟合曲线拟合曲线 通过观察或测量，得到一组离散数据通过观察或测量，得到一组离散数据 1结束结束 插值插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能产生较大的误差，如产生较大的误差，如RungeRunge现象，使得高次多项式并不能接现象，使得高次多项式并不能接近原函数。近原函数。拟合拟合：不要求近似函数过所有的数据点不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映而是要求它反映原函数整体的变化趋势原函数整体的变化趋势,从而得到比原函数更简单更适用的从而得到比原函数更简单更适用的近似函数近似函数,这样
2、的方法称为数据拟合这样的方法称为数据拟合第第3 3章章 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束 数据拟合最常用的近似标准是数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法最小二乘法：设：设f(x)为原为原函数函数,(x)为近似函数为近似函数,(xi,f(xi)(i=1,n)为数据点为数据点,要求选要求选择择 (x)使使 当当 (x)选择为多项式时选择为多项式时,称为多项式拟合称为多项式拟合.最小二乘拟合最小二乘拟合,特别是多项式拟合特别是多项式拟合,是最流行的数据处理是最流行的数据处理方法之一方法之一.它常用于把实验数据它常用于把实验数据(离散的数
3、据离散的数据)归纳总结为经归纳总结为经验公式验公式(连续的函数连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用以利于进一步的推演分析或应用.2插值插值与与拟合拟合是构造近似函数的两种不同方法是构造近似函数的两种不同方法为最小为最小.计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件3.2 线性拟合和二次拟合函数线性拟合和二次拟合函数1.线性拟合线性拟合 已知数据点为已知数据点为 由求极值的方法得矩阵方程由求极值的方法得矩阵方程拟合曲线的法方程组拟合曲线的法方程组用直线用直线 作为近似曲线作为近似曲线,均方误差为均方误差为 3计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 4由此可出求系数由此可出求系
4、数拟合直线为拟合直线为2.二次拟合函数二次拟合函数 已知数据点为已知数据点为用二次函数用二次函数 作为近似拟合曲线作为近似拟合曲线,均方误差为均方误差为最小。最小。计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件由求极值的方法得法方程：由求极值的方法得法方程：由此可出求系数由此可出求系数拟合曲线为拟合曲线为 5计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 6 例例1 1 设设5 5组数据如下表组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。用一多项式对其进行拟合。解解 首先作平面散点图如下：首先作平面散点图如下：x xy y1 12 23 34 45 51 12 23 34 45 56 67 78
5、89 910100 0计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 7 从图中观察从图中观察,这这5 5个点大致在一条抛物线的附近个点大致在一条抛物线的附近,可考虑可考虑用二次多项式用二次多项式 进行拟合。进行拟合。计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 8 用高斯用高斯-若当无回代消去法解此方程组若当无回代消去法解此方程组,得得a0 0=13.454,=13.454,a1 1=-3.657,=-3.657,a2 2。最小二乘拟合多项式为最小二乘拟合多项式为：3 3 非线性曲线转化为线性拟合非线性曲线转化为线性拟合:计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件例例3:3:已知
6、数据为已知数据为x12345678y15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6求一个形如求一个形如 y=aebx的经验公式的经验公式(a,b为常数为常数).).解解:两边取对数得：两边取对数得：9计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 10ixiyiYixi2xiYi0115.32.727912.72791220.53.020446.04082327.43.310599.93153436.63.60001614.40004549.13.89392519.46955665.64.18363625.10166787.84.47514931.32577
7、8117.64.76736438.13843629.9787204147.1354计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件解该方程组的解该方程组的 A=2.4368,=2.4368,b由由A=ln=lna,即得即得a=eA=11.436 9=11.436 9所以所以,经验公式为：经验公式为：yx 11计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件3.3 解矛盾方程组解矛盾方程组1.矛盾方程组矛盾方程组已知数据点为已知数据点为作拟合直线作拟合直线若直线若直线 通过点通过点(x(xi i,y,yi i),),则则 否则否则此时统称此时统称为矛盾方程为矛盾方程 12计计计计算算算算方方方方
8、法法法法课课课课件件件件矛盾方程组矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组）：（由点和拟合曲线构成的方程组）其矩阵形式为：其矩阵形式为：13计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 14为法方程。为法方程。计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 15即法方程。即法方程。定理定理（1）AX=b的法方程的法方程 恒有解；恒有解；（2）x*为为Ax=b的最小二乘解的充要条件为的最小二乘解的充要条件为 ATAx*=ATb.证明证明(略略)计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 16一般形式为：一般形式为：矛盾方程组的矩阵形式为：矛盾方程组的矩阵形式为：简化为简化为计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束其法方程为：其法方程为：17由此求出拟合多项式的系数。由此求出拟合多项式的系数。例：给出一组数据，用最小二乘法求如下形式经验公式例：给出一组数据，用最小二乘法求如下形式经验公式计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束 18解：解：解得：解得：拟合曲线为：拟合曲线为：