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1、目录 上页 下页 返回 结束 第七节（1）二、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的概念与性质三、三、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第六章 一、场的概念一、场的概念目录 上页 下页 返回 结束 一一 数量场与向量场数量场与向量场分布着某种物理量的平面或空间区域称为分布着某种物理量的平面或空间区域称为场场 如果这个物理量能用数表示，称为如果这个物理量能用数表示，称为数量场数量场 如果这个物理量用向量表示，称为如果这个物理量用向量表示，称为向量场向量场 如果这个物理量与时间有关，称为如果这个物理
2、量与时间有关，称为时变场时变场 如果这个物理量与时间无关，称为如果这个物理量与时间无关，称为定常场定常场 目录 上页 下页 返回 结束 函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场(数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)如如:温度场温度场,电势场电势场等等数量场的等值面数量场的等值面向量场的向量线向量场的向量线目录 上页 下页 返回 结束 二、二、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xOy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点
3、移动到点 B,求移求移“大化小大化小”“常代变常代变”“近似和近似和”“取极限取极限”恒力沿直线所作的功恒力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小大化小”.2)“常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在目录 上页 下页 返回 结束 3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)目录 上页 下页 返回 结束 2.定义定义.设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光
4、滑弧弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中,L 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线.称为称为被积函数被积函数,在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 若若 为空间曲线弧为空间曲线弧,记记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记,对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作类似地
5、类似地,目录 上页 下页 返回 结束 3.性质性质(1)若若 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧,则则则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!目录 上页 下页 返回 结束(3)若由闭合曲线C所围成的平面区域被划分为两个无公共内点的区域1和2，它们的边界分别记作C1，C2，那么沿闭合曲线C的第二型线积分等于按同一方向闭合曲线 C1和C2 的第二型线积分之和，即其中曲线C、C1和C2 或者都取正向或者都取负向.目录 上页 下
6、页 返回 结束 将上式两端同乘以-1，并利用性质2就有目录 上页 下页 返回 结束 三、对坐标的曲线积分的计算法三、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有目录 上页 下页 返回 结束 特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 14例例1 1解解目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方
7、向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5解解目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设在力场作用下,质点由沿 移动到解解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中 为 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程目录 上页 下页 返回 结束 例例8.已知为折线 ABCOA(如图),计算提示提示:目
8、录 上页 下页 返回 结束 例例9.质量为质量为的质点，从空间一点的质点，从空间一点A沿某光滑曲线沿某光滑曲线C移动到另一点移动到另一点B，求重力所做的功，求重力所做的功W。目录 上页 下页 返回 结束 四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系目录 上页 下页 返回 结束 两型线积分的异同（1）第一型线积分无方向，第二型线积分有方向。（2）第一型线积分是对弧长的积分，第二型线积分是对坐标的积分（3）第一型线积分对应参数的下限小，上限大，第二型线积分对应参数的下限为起点，上限为终点（4）第一型线积分用于求质量、质心、转动惯量等，第二型线积分用于求变力作功、引力场作功等。（5）两类线积
9、分的被积函数都定义在曲线上。（6）两类线积分的计算都是化为定积分计算的。目录 上页 下页 返回 结束 例例9.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周目录 上页 下页 返回 结束 1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧目录 上页 下页 返回 结束 4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:目录 上页 下页 返回 结束 原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:(解见 P196 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.解解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点目录 上页 下页 返回 结束 2.设曲线C为曲面与曲面从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解:(1)目录 上页 下页 返回 结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”