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1、二、洛比达法则及其应用二、洛比达法则及其应用一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章第三章三、导数应用三、导数应用-研究曲线的性态研究曲线的性态1二、中值定理的应用二、中值定理的应用一、几个中值定理一、几个中值定理中值定理及其应用专题：专题：2罗尔定理：罗尔定理：拉格朗日定理：拉格朗日定理：柯西定理：柯西定理：1.微分中值定理微分中值定理一、一、几个中值定理几个中值定理3其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式.若函数若函数内具有内具有 n+1 阶导数阶导数,泰勒中值定理：泰勒中值定理：4 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 微分中值定理之间的相互关
2、系微分中值定理之间的相互关系 罗尔定理罗尔定理 柯西中值定理柯西中值定理 泰勒中值定理泰勒中值定理 52.零点定理与介值定理零点定理与介值定理1)零点定理零点定理：至少有一点至少有一点且且使使(又叫根的存在定理又叫根的存在定理).2)介值定理：介值定理：则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C,推论推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值之间的任何值.63.费马定理费马定理取得极值取得极值4.积分中值定理积分中值定理实质实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值把积分转化为被积函数在某点的函数值.积分中值定理积分中值定
3、理微分中值定理微分中值定理说明：说明：牛顿牛顿 莱布尼茨公莱布尼茨公式式7研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态导数的应用导数的应用及求不定式的极限及求不定式的极限1.证明恒等式证明恒等式.2.证明不等式证明不等式.3.证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论.关键关键:利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数经验经验1:二、中值定理的主要应用二、中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤利用中值定理证明不等式的步骤:(3)根据根据 a b 的关系的关系,证明出不等式证明出不等式.(2)利用中值定理利用中值定理,(1)设出辅助函数和区间，设出辅助函数和区间，经验经验2：经验经验3
4、:欲证欲证(1)设函数设函数(2)验证函数验证函数 在区间在区间 上满足罗尔定理上满足罗尔定理.81.证明恒等式证明恒等式例例1.证明等式证明等式证证:设设由推论可知由推论可知 (常数常数)令令 x=0,得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.自证自证:9例例1.证明不等式证明不等式证证:设设的条件的条件,即即因为因为所以所以因此应有因此应有2.证明不等式证明不等式10例例2.设函数设函数在在上二阶可导上二阶可导,且且证明证明证证:由泰勒公式得由泰勒公式得两式相减得两式相减得113.证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论题型一题型一.保号性保号性 定理定理例例1.设设
5、试证：试证：证证:不妨不妨设设必有必有使使故故保号性保号性 定理定理必有必有使使故故又在又在上上连续连续,由零点定理知由零点定理知,存在存在12例例2.设设分析：分析：13例例2.设设14题型二题型二.15例例3.设设分析：分析：保号性保号性 定理定理证证:不妨不妨设设必有必有保号性保号性 定理定理必有必有16例例3.设设17例例4.设设分析：想用罗尔定理时找辅助函数的方法分析：想用罗尔定理时找辅助函数的方法证证:18例例5.设设证证:19题型三题型三.例例6.设设分析：分析：20例例6.设设解：解：21例例6.设设22例例6.设设23题型四题型四.24例例7.设设在在内可导内可导,且且证明至
6、少存在一点证明至少存在一点上连续上连续,在在分析分析:问题转化为证：问题转化为证：证明：证明：设辅助函数设辅助函数显然显然故至少故至少使使即有即有存在一点存在一点25例例8.设设证明：证明：设辅助函数设辅助函数只需验证：只需验证：分析分析:26例例8.设设证明：证明：27例例9.设设证明：证明：设辅助函数：设辅助函数：只需验证：只需验证：分析分析:28题型五题型五.29例例10.设设分析分析:30题型六题型六.例例11.试证存在试证存在证证:欲证欲证将将代入代入,化简得化简得故有故有即要证即要证31已知函数已知函数内可导内可导,且且证证:(1)令令使使 即即(2005 考研数考研数1,2)(2
7、)根据拉格朗日中值定理根据拉格朗日中值定理,使使练习练习.32练习：练习：分析：分析：解：解：33总之，总之，有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法:利用逆向思维利用逆向思维,设辅助函数设辅助函数.一般一般解题方法解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.多用多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯柯西中值定理西中值定理.必须必须多次应用多次应用中值定理中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数,多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式,有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.34