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1、第第6章章 多变量系统的频域设计方法多变量系统的频域设计方法经经经经典典典典频频频频域域域域设设设设计计计计方方方方法法法法 用用于于解解决决单单输输入入单单输输出出控控制制系系统统的的分分析析和和设设计计是是卓卓有有成成效效的的，具具有有清清晰晰明明确确的的物物理理概概念念。它它们们不不仅仅能能定定性性地地指指导导设设计计的的方方向向，而而且且设设计计过过程程有有着着十十分分直直观观的的物物理理意意义义解解释释，计计算算与与作作图图都都很很简单易行。简单易行。基于状态空间理论时域设计方法基于状态空间理论时域设计方法基于状态空间理论时域设计方法基于状态空间理论时域设计方法(1)基于被控对象精确
2、的状态空间模型描述基于被控对象精确的状态空间模型描述(2)高高阶阶系系统统由由状状态态空空间间方方法法得得到到的的控控制制方方案案往往往往过过于于复复杂杂，难难以以为工业应用所接受。为工业应用所接受。(3)对对系系统统设设计计问问题题的的提提法法往往往往较较为为间间接接和和过过于于抽抽象象，控控制制目目标标缺乏明确的物理依据。缺乏明确的物理依据。多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多多变变量量系系统统的的关关联联性性(Interaction)，是是多多变变量量系系统统所所特特有有的的一一种种效效应应，G(s)的的非非对对角角线线元元素素gij(s)(ij)的
3、的存存在在即即反反映映了了这这种种关关联联性性。当当G(s)为对角阵时，称为无关联系统，或者称为解耦系统为对角阵时，称为无关联系统，或者称为解耦系统decoupled system)。多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性(续续续续)消消除除闭闭环环系系统统关关联联，H(s)为为对对角角阵阵，则则必须且只须使开环传递函数矩阵解耦。必须且只须使开环传递函数矩阵解耦。多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性(续续续续)实实际际上上，除除了了某某些些特特殊殊的的场场合合外外，理理论论上上得得出出的的控控制制器器K(s)通通常常十十分复
4、杂，甚至于物理上不能实现。例如如下的被控对象；分复杂，甚至于物理上不能实现。例如如下的被控对象；多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性(续续续续)多多变变量量系系统统的的频频域域设设计计方方法法中中，一一般般都都不不要要求求完完全全消消除除系系统统的的关关联联，而而是是采采用用将将闭闭环环系系统统的的关关联联性性减减小小到到可可以以接接受受的的程程度度的的做做法法，以以此此来换取控制器的简单结构。来换取控制器的简单结构。多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性(续续续续)RosenbrockRosenbrock的的的的INAIN
5、A设设设设计计计计方方方方法法法法 反反馈馈矩矩阵阵F(s)取取为为实实对对角角阵阵，而而控控制制器器K(s)是是分成两部分来设计的：分成两部分来设计的：达到对角优势，近似解耦达到对角优势，近似解耦达到对角优势，近似解耦达到对角优势，近似解耦则当则当Di(s)1时时,为行对角优势阵为行对角优势阵则当则当Di(s)1时时,为列对角优势阵为列对角优势阵多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性(续续续续)MacFarlaneMacFarlane特征轨迹设计方法特征轨迹设计方法特征轨迹设计方法特征轨迹设计方法 因因因因此此此此在在在在控控控控制制制制器器器器K(s)K(
6、s)中中中中引引引引入入入入积积积积分分分分作作作作用用用用1/s1/s可减小系统在低频段的关联。可减小系统在低频段的关联。可减小系统在低频段的关联。可减小系统在低频段的关联。多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性多变量系统的关联性(续续续续)即闭环系统与开环系统具有相近程度的关联性即闭环系统与开环系统具有相近程度的关联性即闭环系统与开环系统具有相近程度的关联性即闭环系统与开环系统具有相近程度的关联性中频段中频段系系统统也也将将达达到到近近似似解解耦耦，“增增益益平平衡衡原原则则”，通通过过设设计计控控制制器器K(s)使开环系统使开环系统Q(s)的的m个特征值大致平衡。个特征值
7、大致平衡。多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标(1)(1)稳定性稳定性稳定性稳定性稳稳定定性性是是控控制制系系统统最最为为基基本本的的一一项项性性能能要要求求。设设计计时时必必须须首首先先保保证证系系统统的的稳稳定定性性，然然后后再再考考虑虑其其它它各各项项性性能能指指标标。通通常常我我们们不不仅仅要要求求闭闭环环系统稳定而且还要求它具有充分的稳定裕度。系统稳定而且还要求它具有充分的稳定裕度。(2)(2)关联性关联性关联性关联性 对对于于多多变变量量控控制制系系统统来来说说，总总是是要要求求闭闭环环系系统统具具有有弱弱关关联联性性。在在系系统统设设计
8、计时时往往往往需需要要综综合合考考虑虑开开环环与与闭闭环环的的关关联联性性，针针对对具具体体的的问问题题选选择最简单有效的方法来减小闭环系统的关联性。择最简单有效的方法来减小闭环系统的关联性。多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标(续续续续)(3)(3)整体性整体性整体性整体性整整体体性性指指闭闭环环系系统统当当其其中中某某些些部部件件发发生生了了故故障障，致致使使若若干干回回路路断断开开时仍保持稳定性的一种性能。时仍保持稳定性的一种性能。对对于于多多变变量量反反馈馈系系统统，可可能能涉涉及及的的部部件件故故障障主主要要包包括括：误误误误差差差差检检检
9、检测测测测器器器器故障、执行器故障以及传感器故障故障、执行器故障以及传感器故障故障、执行器故障以及传感器故障故障、执行器故障以及传感器故障。(4)(4)暂态和稳态响应特性暂态和稳态响应特性暂态和稳态响应特性暂态和稳态响应特性多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标多变量系统的性能指标(续续续续)系统稳态误差为零的充分必要条件是系统稳态误差为零的充分必要条件是H(0)Im，或等价地，或等价地，H-1(0)Im 稳稳态态误误差差为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是K-1(0)0，亦亦即即控控制制器器K(s)中中包包含积分环节。含积分环节。第二节第二节 增益空间增益空间为为了
10、了具具体体考考察察反反馈馈增增益益对对稳稳定定性性的的影影响响，我我们们可可以以把把反反馈馈矩矩阵阵中中包包含含的的m个个反反馈馈增增益益视视为为m维维实实数数空空间间中中的的一一个个点点，这这个个m维维空空间间即即称称为为“增增益空间益空间”(gain space)。完全解耦系统的增益空间完全解耦系统的增益空间完全解耦系统的增益空间完全解耦系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间(举例举例举例举例1)1)关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间
11、(举例举例举例举例2)2)第三节第三节 INA设计方法设计方法INAINA设计方法基本原理设计方法基本原理设计方法基本原理设计方法基本原理对角优势化对角优势化对角优势化对角优势化预补偿器的设计预补偿器的设计预补偿器的设计预补偿器的设计(1)(1)初等变换设计方法初等变换设计方法初等变换设计方法初等变换设计方法【解解】(A)不是对角阵，通过行互换不是对角阵，通过行互换对角优势化对角优势化对角优势化对角优势化(续续续续)(B)不是对角阵不是对角阵对角优势化对角优势化对角优势化对角优势化(续续续续)(C)对角优势化对角优势化对角优势化对角优势化(续续续续)(2)(2)分频段补偿法分频段补偿法分频段补
12、偿法分频段补偿法(A)(A)低频段预补偿低频段预补偿低频段预补偿低频段预补偿对角优势化对角优势化对角优势化对角优势化(续续续续)(B)(B)高频段预补偿高频段预补偿高频段预补偿高频段预补偿矩阵逆是不存在的矩阵逆是不存在的对角优势化对角优势化对角优势化对角优势化(续续续续)(C)(C)高、低频段同时补偿高、低频段同时补偿高、低频段同时补偿高、低频段同时补偿(D)(D)中频段预补偿中频段预补偿中频段预补偿中频段预补偿HawkinsHawkins准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法第第i行为对角优势：行为对角优势：HawkinsHawkins准对角优势化算法准对角优势化算
13、法准对角优势化算法准对角优势化算法(续续续续)正半定实对称阵正半定实对称阵HawkinsHawkins准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法(续续续续)HawkinsHawkins准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法(举例举例举例举例)容易看出容易看出G(s)不是对角优势阵不是对角优势阵HawkinsHawkins准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法(举例举例举例举例)HawkinsHawkins准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法准对角优势化算法(举例举例举例举例)HawkinsHawkins准对角
14、优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进HawkinsHawkins准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进(续续续续)HawkinsHawkins准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进(续续续续)（9-77）JohnsonJohnson准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进JohnsonJohnson准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进(续续续续)JohnsonJohnson准对角优势化算法改
15、进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进(续续续续)JohnsonJohnson准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进准对角优势化算法改进(续续续续)前前面面介介绍绍以以定定常常预预补补偿偿器器Kp来来实实现现对对角角优优势势化化。在在多多数数情情况况下下这这是是可可行行的的，系系统统结结构构较较为为简简单单。然然面面对对于于某某些些十十分分复复杂杂的的被被控控对对象象G(s)，仅仅凭凭定定常常补补偿偿有有可可能能还还得得不不到到理理想想的的对对角角优优势势化化效效果果，为为此此需需要要设设计计更更为为复复杂的动态补偿器。相应的设计算法被学者提出。杂
16、的动态补偿器。相应的设计算法被学者提出。反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定(续续续续)反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定(续续续续)反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定反馈增益的确定(续续续续)【定定定定理理理理6-26-2】(Ostrowski(Ostrowski定定定定理理理理)若若 和和 在在Nyquist D围围线线上均行对角优势，则：上均行对角优势，则：若若 和和 在在Nyquist D围线上均列对角优势，则：围线上均列对角优势，则：OstrowskiOstrowski定理定理定
17、理定理(续续续续)第四节第四节 特征轨迹设计方法特征轨迹设计方法一、特征轨迹的概念与性质一、特征轨迹的概念与性质一、特征轨迹的概念与性质一、特征轨迹的概念与性质特征向量、特征方向特征向量、特征方向特征向量、特征方向特征向量、特征方向特征轨迹的概念与性质特征轨迹的概念与性质特征轨迹的概念与性质特征轨迹的概念与性质(1)(1)(1)(1)特征轨迹的起点特征轨迹的起点特征轨迹的起点特征轨迹的起点(=0=0)(2)(2)特征轨迹的终点特征轨迹的终点特征轨迹的终点特征轨迹的终点(=)(3)(3)特征轨迹的对称性特征轨迹的对称性特征轨迹的对称性特征轨迹的对称性特征轨迹的概念与性质特征轨迹的概念与性质特征轨
18、迹的概念与性质特征轨迹的概念与性质(2)(2)特征轨迹设计方法特征轨迹设计方法二、基本设计原理二、基本设计原理二、基本设计原理二、基本设计原理H(s)与与Q(s)具有相同的特征方向矩阵具有相同的特征方向矩阵W(s)。特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理其特征值为其特征值为系统性能与系统性能与系统性能与系统性能与Q(s)Q(s)的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系(1)(1)稳定性稳定性稳定性稳定性(2)(2)关联性关联性关联性关联性(A)(A)(B)(B)系统性能与系统性能与系统性能
19、与系统性能与Q(s)Q(s)的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系如果如果如果如果Q(s)Q(s)的各个特征值接近相等的各个特征值接近相等的各个特征值接近相等的各个特征值接近相等闭环系统也将是弱关联的闭环系统也将是弱关联的闭环系统也将是弱关联的闭环系统也将是弱关联的(C)(C)闭环系统也将是弱关联的闭环系统也将是弱关联的闭环系统也将是弱关联的闭环系统也将是弱关联的系统性能与系统性能与系统性能与系统性能与Q(s)Q(s)的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系(A)(
20、A)低频段低频段低频段低频段 在控制器在控制器K(s)中引入积分环节中引入积分环节(B)(B)中频段中频段中频段中频段 适适当当设设计计控控制制器器K(s)，使使Q(s)的的各各个个待待征征值值在在中中频频段段大大致致平平衡衡，可有效地减小闭环系统在中频段的关联性。可有效地减小闭环系统在中频段的关联性。增益平衡原则增益平衡原则增益平衡原则增益平衡原则(C)(C)高频段高频段高频段高频段 适当设计控制器适当设计控制器K(s)，使，使Q(s)的各个特征方向满足：的各个特征方向满足：系统性能与系统性能与系统性能与系统性能与Q(s)Q(s)的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系的特征轨迹
21、及特征方向的关系的特征轨迹及特征方向的关系(3)(3)稳态误差稳态误差稳态误差稳态误差为为为为了了了了消消消消除除除除稳稳稳稳态态态态误误误误差差差差，应应应应在在在在控控控控制制制制器器器器K(s)K(s)中中中中引引引引入入入入积积积积分分分分作作作作用用用用1/s1/s，增增增增大大大大低低低低频频频频段段段段特特特特征征征征轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的模模模模。消消消消除除除除稳稳稳稳态态态态误误误误差差差差与与与与减减减减小小小小低低低低频频频频段段段段关关关关联联联联的的的的要要要要求求求求是是是是一一一一致致致致的的的的，可以通过引入积分作用来实现。可以通过引入积分作用来实现。可以通
22、过引入积分作用来实现。可以通过引入积分作用来实现。三、控制器三、控制器三、控制器三、控制器K(s)K(s)的设计步骤的设计步骤的设计步骤的设计步骤特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理(1)(1)高频控制器高频控制器高频控制器高频控制器K Kh h(2)(2)中频控制器中频控制器中频控制器中频控制器K Kmm(s)(s)控制器控制器控制器控制器K(s)K(s)的设计步骤的设计步骤的设计步骤的设计步骤(1)(1)交互控制器交互控制器交互控制器交互控制器控制器控制器控制器控制器K(s)K(s)的设计步骤的设计步骤的设计步骤的设计步骤(2)(2)(2)(2)
23、低频控制器低频控制器低频控制器低频控制器K Kl l(s)(s)控制器控制器控制器控制器K(s)K(s)的设计步骤的设计步骤的设计步骤的设计步骤(3)(3)四、近似配正方法四、近似配正方法四、近似配正方法四、近似配正方法(ALIGN(ALIGN算法）算法）算法）算法）特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理特征轨迹设计基本原理 考虑某个实数矩阵：考虑某个实数矩阵：近似配正方法近似配正方法近似配正方法近似配正方法(ALIGN(ALIGN算法）算法）算法）算法）反映实向量反映实向量ai与复向量与复向量wi(j)之间的近似程度，之间的近似程度，i越大则表明两者越大则表明两者之间越
24、接近。之间越接近。近似配正方法近似配正方法近似配正方法近似配正方法(ALIGN(ALIGN算法）算法）算法）算法）近似配正方法近似配正方法近似配正方法近似配正方法(ALIGN(ALIGN算法）算法）算法）算法）a ai i则为与最大特征值则为与最大特征值则为与最大特征值则为与最大特征值 i i相应的特征向量。相应的特征向量。相应的特征向量。相应的特征向量。特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例设计过程：设计过程：设计过程：设计过程：开环极点开环极点特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例(1)(1)特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实
25、例特征轨迹设计实例(1)(1)特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例(2)(2)设计高频控制器设计高频控制器设计高频控制器设计高频控制器K Kh h，以减小高频关联，以减小高频关联，以减小高频关联，以减小高频关联利用利用ALIGN算法可以求得算法可以求得h=30rad/s时的时的G-1(s)的近似实矩阵为：的近似实矩阵为：特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例(2)(2)特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例(3)(3)设计低频控制器设计低频控制器设计低频控制器设计低频控制器K Kl l(s)(s)特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例(4)(4)特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例(5)(5)特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例特征轨迹设计实例(6)(6)