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1、 第八章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度10/28/2022一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 10/28/2022定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故10/28/2022机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数为,)的方向
2、导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角10/28/2022例例1.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:向量 l 的方向余弦为10/28/2022例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022例例3.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022二、梯度二、梯度 方向
3、导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/20221.定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义10/28/2022函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线等值线.则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处
4、的法向量为指向函数增大的方向.10/28/20223.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022例例4.证证:试证机动 目录 上页 下页 返回 结束 处矢径 r 的模,10/28/2022三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022例例5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位
5、为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/20222.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影.10/28/2022思考与练习思考与练习1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的
6、梯度梯度与(1)中切线方切线方向向 的夹角 .2.P73 题 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022曲线1.(1)在点解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量10/28/2022机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.P73 题 1610/28/2022P51 2，3，6，7，8，9，10 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022备用题备用题 1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示提示:则(96考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/28/2022