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1、经济与金融中动态方法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望课程说明评估方法：作业：20%；考勤与课堂表现：20%期末闭卷考试：60%基本要求：不无故迟到、早退或者缺课按时完成作业，积极参加课堂讨论回答问题2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法课程说明授课方式：讲授、学生报告（课时未定）先修课程：数学分析、线性代数教材和参考书：常微分方程(东北师大)高等教育出版社，第一版动态经济学罗纳德.肖恩,中国人民大学出版社数理经济学的基本方法蒋中一常微分方
2、程中山大学(第二版)，高等教育出版社 2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法课程说明教学目的和内容熟练掌握简单常微分方程组和高阶常微分方程的初等解法；掌握微分方程解的基本理论；对微分方程（组）的定性理论、差分方程和偏微分方程的基础理论有一定的了解；了解如何利用微分方程描述经济金融生活中的实际问题；了解一些简单的数值解法，会利用matlab求解简单的（偏）微分方程；2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法第一章 绪论什么是数学模型如何建立数学模型一个消费模型的例子经济模型的构成要素微分方程理论的产生与发展；微分方程与经济金融的关系；微分方程模型2011-2012第一学期经济与金
3、融中的动态方法 数学模型的概念数学模型是对于一个特定的对象为了一个特定的目标，根据事物的内在规律，作出一些必需的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构 2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 数学模型的桥梁作用实际问题数学实现数学模型2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 数学建模的过程实际问题简化问题建立模型求解模型模型检验是否符合实际？完成yesno2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法建立消费与收入关系的消费模型目的：建立消费与收入关系的消费模型选择变量：消费C和收入Y可依据的理论：凯恩斯消费理论收入是决定消费的决定因素边际消费倾向在0和1之间边际消
4、费倾向随收入增加而降低验证2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法数学（经济）模型的构成要素变量外生变量和内生变量建立一个反应消费和收入关系的模型建立一个现实经济的消费预测模型变量之间的关系变量间作用的方向性变量间作用的数量关系2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法如何确定变量之间的关系一、根据可遵循的相关理论或规则来确定变量之间的关系例：GDP与产业增加值之间的关系二、根据相关经验来确定变量之间的关系例：财政收入和GDP之间的关系2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法蛛网模型假设在单一商品市场中，需求函数是D=D(p),供求函数是S=S(p),则均衡价格是多少？如
5、果供求方面存在滞后，则会出现什么情况？如果考虑连续时间呢？2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程理论的产生和发展微分方程是17世纪与微积分同时诞生的学科，是连接物质科学乃至社会科学与数学科学的主要桥梁；1676年，莱布尼兹在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”的数学名词2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程理论的产生和发展1743年，瑞士数学家和自然科学家，欧拉定义通解和特解概念，完整地解决了n阶 常系数线性齐次 方程的问题，对于 非齐次方程；提出 了降阶的解法；1707-17832011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程理论的产生和发展1
6、743年，达朗贝尔首先提出了波动方程，1763年，进一步讨论不均匀弦的震动，提出广义的波动方程；1752年，达朗贝尔第一次用微分方程表示场；1717-17832011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程理论的产生和发展拉普拉斯变换1822年，傅立叶 (1768-1830)在研究 热传导问题时，发 明用傅立叶级数求 解偏微分方程的边 值问题；拉普拉斯1749-18232011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程理论 的产生和发展柯西（1789-）1836年，柯西证明了，解析系数微分方程的解的存在唯一性，通常以为是柯西利普西次法，逐渐逼近法和强级数法；1870年，挪威的
7、李发现李群，并用以讨论微分方程的求积问题；2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程理论的产生和发展1881-1886年，连续发表了四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论；开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”1954-19122011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程理论的产生和发展1927年，美国的毕尔霍夫建立动力系统的系统理论；2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程的应用牛顿和莱布尼兹共同创建微积分，成为天体力学的数学基础；1846年，根据勒威耶和亚当斯的计算，发现了海王星；哈罗德-多马经济增
8、长模型，模型的结论经济增长是不稳定的；2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程与诺贝尔1969，弗里西和丁伯根弗里西1895-1973丁伯根1903-19942011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程与诺贝尔1987 索洛新古典增长模型；1997 Black-Scholes期权定价公式2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程模型微分方程模型例例1 求平面上求平面上过点点(1,3)且每点切且每点切线斜率斜率为横坐横坐标2倍的曲倍的曲线方方程程.解:设所求的曲线方程为由导数的几何意义,应有即2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法微分方程
9、模型又由条件:曲线过(1,3),即于是得故所求的曲线方程为:2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法例例2 物理冷却物理冷却过程的数学模型程的数学模型 将某物体放置于空气中,在时刻时,测得它的温度为10分钟后测量得温度为 试决定此物体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度.这 里假设空气的温度保持在 微分方程模型微分方程模型2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法微分方程模型解:Newton 冷却定律冷却定律:1.热量量总是从温度高的物体向温度低的物体是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范在一定的温度范围内内,一个物体的温度一个物体的温度变化速度与化
10、速度与这一物体的温度与其所在的介一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比的温度之差成正比.2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法微分方程模型 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义,则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律,得到 其中 为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式,以后再介绍.2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程模型例例3 数学数学摆 数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点M.在重力作用下,
11、它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程模型微分方程模型解:Newton第二定律第二定律:取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方向.则由Newton第二定律,得到摆的运动方程为 2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法 微分方程模型 附注:如果研究摆的微小振动,即当 比较小时,可以取 的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法经济增长分析经济增长分析 国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于
12、投资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产以反过来促进生产,试在储蓄全部用于投资下，考察国试在储蓄全部用于投资下，考察国民收入增长规律。民收入增长规律。2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法当自然科学家急于尝试将其专业思维习惯应用与考虑社会问题时，却常常会不可避免地带来灾难性的后果经济学家未能成功地指导政策与他们倾向于尽可能地模仿得到光辉成功的物理科学的方法有密切的关系，在我们的领域中可能导致直接的错误的一种尝试，他是一种被称为“科学的”态度的方法，但表面上看来像科学的方法，常常是不科学的 哈耶克2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法夫围棋之品有九：一曰入神，二曰坐照，三曰具体，四曰通幽，五曰用智，六曰小巧，七曰斗力，八曰若愚，九曰守拙，九品之外不可胜计，未能入格，今不复云。棋经十三篇2011-2012第一学期经济与金融中的动态方法