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1、第六章第六章方差分析方差分析第一节 方差分析的基本原理一、方差分析的意义一、方差分析的意义 u检验检验或或t检验检验法适用于样本平均数与总体法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处多个处理理优劣的问题，优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时，若仍采用显著性检验。这时，若仍采用t检验法就不适宜检验法就不适宜了。这是因为：了。这是因为：1、u或或t 检验过程烦琐检验过程烦琐例如，一试验包含例如，一试验包含5个处理，采用个
2、处理，采用t检验法要检验法要进行进行=10次两两平均数的差异显著性检验；次两两平均数的差异显著性检验；若有若有k个处理，则要作个处理，则要作=k(k-1)/2 次类似的次类似的检验。检验。2、无统一的试验误差，误差估计的准确、无统一的试验误差，误差估计的准确性和检验的灵敏性低性和检验的灵敏性低(1)(1)t 检验要进行两两比较，每次仅用检验要进行两两比较，每次仅用2 2个样本信个样本信息估计总体方差，误差估计的息估计总体方差，误差估计的准确性低准确性低(2)k个处理平均值的自由度为个处理平均值的自由度为k(n-1)，而而t 检验检验查查t值的自由度为值的自由度为2(n-1)，从而，从而降低了检
3、验的降低了检验的灵敏性灵敏性两两比较合并均方两两比较合并均方：k 个样本合并均方个样本合并均方：3、t检验增大犯检验增大犯错误的概率错误的概率 t 检验时对具有不同秩次的平均数采用同一检验时对具有不同秩次的平均数采用同一个个t，会增大犯会增大犯 错误的概率，降低推断的可错误的概率，降低推断的可靠性。靠性。2个平均数比较：个平均数比较：=0.055个平均数比较：个平均数比较：=1-(1-0.05)10=0.401310个平均数比较：个平均数比较：”=1-(1-0.05)45=0.9006因此，多个平均数的差异显著性检验不宜因此，多个平均数的差异显著性检验不宜用用t(或或u)检验，须采用检验，须采
4、用方差分析法方差分析法。方差分析方差分析(analysisofvariance)由英国统计学由英国统计学家家R.A.Fisher于于1923年提出的。年提出的。将多个样本将多个样本(处理处理)的观测值作为一个总的观测值作为一个总体，用方差来表示变异，把引起事件总的变异体，用方差来表示变异，把引起事件总的变异分解为各种因素的变异，并对每个因素引起的分解为各种因素的变异，并对每个因素引起的变异作数量估计，从而说明各因素的变异幅度变异作数量估计，从而说明各因素的变异幅度及其在总变异中的重要程度；并用剩余变异无及其在总变异中的重要程度；并用剩余变异无偏估计随机误差，进而比较处理均值间的差异。偏估计随机
5、误差，进而比较处理均值间的差异。有关术语：1、试验指标(experimental index)为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。由于试验目的不同，选择的试验指标也不相同。在畜禽、水产试验中常用的试验指标有：日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等。2、试验因素(experimental factor)试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配方、猪的品种、饲养方式、环境温湿度等都对日增重有影响，均可作为试验因素来考虑。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因
6、素试验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验因素常用大写字母A、B、C、等表示。3、因素水平(level of factor)试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。研究某种饲料中4种不同能量水平对肥育牛瘦肉率的影响，这4种特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。因素水平用代表该因素的字母加添足标1，2，来表示。如A1、A2、，B1、B2、，等。4、试验处理(treatment)事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫试验处理，简称处理。在单因素试验中，实施在试验单位上的具体项目就是试验因素的某一水平。例如进行饲料的比较
7、试验时，实施在试验单位(某种畜禽)上的具体项目就是喂饲某一种饲料。所以进行单因素试验时，试验因素的一个水平就是一个处理。在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，整个试验共有33=9个水平组合，在多因素试验时，试验因素的一个水平组合就是一个处理。5、试验单位(experimental unit)在试验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。在畜禽、水产试验中，一只家禽、一头家畜、一只小白鼠、一尾鱼，即一个动物；或几只家禽、几头家畜、几只小白鼠、几尾鱼，即一组动物都可作为试验单位。试验单位往往也是观测数据的单位
8、。6、重复(repetition)在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理(饲料)有4次重复。二、方差分析的基本原理二、方差分析的基本原理1、线性模型与基本假定线性模型与基本假定假设某单因素试验有假设某单因素试验有k个处理，每个处理有个处理，每个处理有n次重复，共有次重复，共有nk个观测值。这类试验资料的个观测值。这类试验资料的数据模式如表数据模式如表7.1所示。所示。表表7.1k个处理每处理有个处理每处理有n个观测值的数据模式个观测值的数据模式处理处理观察值观察值(xij,i=1k;j
9、=1n)总和总和 平均平均1x11x12 x1j x1nT1.2x21x22 x2j x2nT2.ixi1xi2 xij xinTi.kxk1xk2 xkj xknTk.Tx1.x2.xi.xk.x注：注：xij指第指第i个处理第个处理第j个观察值（个观察值（i=1k;j=1n）xij 可以分解为可以分解为:其中其中:表示全试验观测值总体的平均数；表示全试验观测值总体的平均数；i 是是第第i 个个处理的效应处理的效应（treatmenteffects）表示处理）表示处理i对试验结果产生的影响。对试验结果产生的影响。显然有显然有ij 是试验误差，相互独立，且服从是试验误差，相互独立，且服从正态分
10、布正态分布N（0，2）。）。（7-1）式叫做）式叫做单因素试验的单因素试验的线性模型线性模型，亦称，亦称数学模型数学模型。在这个模型中在这个模型中xij表示为总平均数表示为总平均数、处理效应、处理效应 i、试、试验误差验误差ij之和。之和。(7-1)(7-2)由由ij相相互独立且服从正态分布互独立且服从正态分布N（0，2），），可知各处理可知各处理i(i=1，2，k)所属总体亦应具正所属总体亦应具正态性，即服从正态分布态性，即服从正态分布N(i,2)。尽管各总体。尽管各总体的均数的均数i 可以不等或相等，可以不等或相等，2则必须是相等则必须是相等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：的。所以
11、，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性效应的可加性(additivity)、分布的正态分布的正态性性(normality)、方差的同质性方差的同质性(homogeneity)。这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。定。若将表若将表7.1中的观测值中的观测值xij（i=1,2,k;j=1,2,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则的数据结构（模型）用样本符号来表示，则(7-3)（7-1）、（）、（7-3）两式告诉我们：）两式告诉我们：每每个个观观测测值值都包含处理效应都包含处理效应(i 或或)，与误差与误差(ij或或)，故，故kn个观测值的
12、总变异个观测值的总变异可分解为可分解为处理处理间间的变异的变异和和处理处理内内的变异的变异两部分。两部分。药剂药剂 A(xA(x1 1)B(xB(x2 2)C(xC(x3 3)D(xD(x4 4)19 19212120202222 23 23242418182525 21 21272719192727 13 13202015152222总和总和T Ti.76 76929272729696平均平均 19 19232318182424观察值观察值【例7.1】-22-33药剂药剂 A(xA(x1 1)B(xB(x2 2)C(xC(x3 3)D(xD(x4 4)19192121202022222323
13、24241818252521212727191927271313202015152222总和总和T Ti.7676929272729696平均平均1919232318182424观察值观察值2、自由度与平方和的剖分自由度与平方和的剖分在方差分析中是用样本方差即在方差分析中是用样本方差即均方均方（MS）来度）来度量资料的变异程度的。量资料的变异程度的。表表7.1中全部观测值的总变异可以用总均方来度中全部观测值的总变异可以用总均方来度量。量。将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将要将总总均方均方分解为处理间均方和处理内均方。但分解为处理间均方和处理
14、内均方。但这种分解是通过将总均方的分子这种分解是通过将总均方的分子称为总离均差平称为总离均差平方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处理内平方和两部分；将总均方的分母理内平方和两部分；将总均方的分母称为总自由称为总自由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。实现的。(1)平方和的剖分平方和的剖分在表在表7.1中，反映中，反映全部观测值总变异的总平方全部观测值总变异的总平方和是各观测值和是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，与总平均数的离均差平方和，记为记为SST。即。即（7-4）因为因为
15、其中其中所以所以（7-5）（7-5）式中，）式中，为各处理平均数与总为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数平均数的离均差平方和与重复数n的乘积的乘积，反映，反映了重复了重复n 次的处理间变异次的处理间变异，称为处理间平方和，称为处理间平方和，记为记为SSt，即，即:（7-6）(7-5)式中，式中，为各处为各处理内离均差平方理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即，即:（7-7）于是有于是有 SST=SSt+SSe（7-8）这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：
16、这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：其中，其中，C=T2/(kn)称为矫正数。称为矫正数。（7-9）CTnSSikit-=S=2.11CxSSijnjkiT-=SS=211(2)自由度的剖分自由度的剖分在计算总平方和时，资料中的各个观测值要在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受受这一条件的约束，故总自由度这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减等于资料中观测值的总个数减1，即，即kn-1。总自由度记为总自由度记为dfT，即，即:dfT=kn 1（7-10）在计算处理间平方和时，各处理均数要受在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度这一条件的约束，故
17、处理间自由度为处理数减为处理数减1，即，即k-1。处理间自由度记为处理间自由度记为dft，即：即：dft=k-1（7-11）在计算处理内平方和时，要受在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束，即个条件的约束，即,(i=1k)。故处理内自由度为资料中观。故处理内自由度为资料中观测值的总个数减测值的总个数减k，即，即kn-k。处理内自由度记为。处理内自由度记为dfe，即：，即：dfe=kn k=k(n-1)（7-12）因为因为所以所以 综合以上各式得：综合以上各式得：(7-13)(7-14)即：即：总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。各部分平方和除以各自
18、的自由度便得到总均各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，方、处理间均方和处理内均方，分别记为分别记为MST（或（或）、）、MSt（或（或）和）和MSe（或（或）。）。（7-15）(3)均方的计算均方的计算 计算均方后，通过比较处理间均方相对误差计算均方后，通过比较处理间均方相对误差均方的大小即可判断处理效应所引起的变异均方的大小即可判断处理效应所引起的变异所占比重，从而可以判断试验是否存在明显所占比重，从而可以判断试验是否存在明显处理效应。处理效应。三、三、方差分析中的方差分析中的F 测验测验方差分析的方差分析的F 检验用于测验某项变异因素的检验用于测验某项变异因素
19、的效应是否真实存在效应是否真实存在将要测验的那一项变异因素的均方作分子，将要测验的那一项变异因素的均方作分子，另一项变异因素（例如另一项变异因素（例如误差项误差项）的均方作分）的均方作分母（母（具体情况与所用试验设计和模型有关具体情况与所用试验设计和模型有关）如果如果F0.05，应该接受应该接受H0F测验需具备的条件：测验需具备的条件：（1）被抽样总体的变数）被抽样总体的变数x服从正态分布，即服从正态分布，即xN(,2 2)（2）和和彼此相互独立。彼此相互独立。注：当试验资料不符合这些条件时，需要作注：当试验资料不符合这些条件时，需要作适当转换。适当转换。第二节 方差分析的一般步骤一、一、平方
20、和平方和与与自由度自由度的的分解分解二、二、列列出出方差分析表方差分析表，作，作F测验测验三、若三、若F检验显著，则进行检验显著，则进行多重比较多重比较四、四、结果结果的的解释解释/说明说明【例】【例】以A（CK）、B、C、D共4种药剂处理水稻种子，测得苗高结果如下表：药剂药剂苗高观测值苗高观测值总和总和平均平均A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T.=33621一、一、平方和平方和与与自由度自由度的的分解分解1、平方和的计算方法一：方法一：方法二：方法二：，C=T2/(kn)CTnSSikit-=S=2.11CxSSijn
21、jkiT-=SS=211方法二：C=T2/(kn)=3362/(44)=7056CxSSijnjkiT-=SS=211CTnSSikit-=S=2.11=(182+212+322)C=602=(722+922+562+1162)/4C=504SSe=SSTSSt=602504=982、自由度的分解tTedfdfdf-=-=tkdf1Tkndf-=1=441=15=41=3=153=12二、二、列列出出方差分析表方差分析表，作，作F测验测验表表7.5药剂处理后水稻苗高的方差分析表药剂处理后水稻苗高的方差分析表变异来源dfSS药剂处理间3504随机误差1298总15602MS168.008.17F
22、20.56显著F值F0.05=3.49F0.01=5.95*三、若三、若F检验显著，则进行检验显著，则进行多重比较多重比较1、最小显著差数最小显著差数法（法（LSD法法）到底哪些处理间存在真实差异？如何判断？到底哪些处理间存在真实差异？如何判断？多重比较多重比较将这一判断标准记作：将这一判断标准记作：LSD0.05=2.1792.02=4.40(cm)LSD0.01=3.0552.02=6.17(cm)处理处理平均数平均数与对照的差数与对照的差数A（CK）18-LSD0.05=4.40D2911*LSD0.01=6.17B235*C14-42、最小显著极差最小显著极差法（法（LSR法）法）Le
23、astSignificantRanges根据根据极差极差抽样分布原理，将一组抽样分布原理，将一组k个平均个平均数由大到小排列后，依所比较的两个处理平均数由大到小排列后，依所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差显著极差LSR值的多重比较方法。值的多重比较方法。用于比较任意两个处理间的平均数的差异显著性，两用于比较任意两个处理间的平均数的差异显著性，两平均数的差数的绝对值大于或等于平均数的差数的绝对值大于或等于LSR则差异差异显著著与与LSD法相比，不同处理间的差数进行比较时需要根法相比，不同处理间的差数进行比较时需要根据差数所
24、包含的平均数个数据差数所包含的平均数个数(m)不同确定不同的比较标不同确定不同的比较标准准LSR法根据其比较标准此方法包括两种：法根据其比较标准此方法包括两种：复极差法复极差法（q法）法）新复极差法新复极差法（SSR法，法，shortestsignificantranges)*这里的q、SSR由、df、m三因素确定。*SE指标准误，随检验的对象不同（平均数或指标准误，随检验的对象不同（平均数或总和数）而不同。总和数）而不同。计算计算SE（比较四种药剂处理的平均数）（比较四种药剂处理的平均数）据据ve=12查附表查附表6得得SSR，计算，计算LSR，并列表并列表m234SSR0.053.083.
25、233.33SSR0.014.324.554.68LSR0.054.404.624.76LSR0.016.186.516.69 按从大到小的顺序排列各处理平均数，并按从大到小的顺序排列各处理平均数，并 用应定方法标识其差异显著性用应定方法标识其差异显著性处理处理平均数平均数D29B23A18C14P=4P=3P=2P=2P=3P=2字母标记法字母标记法 原则：原则：凡是两个平均数无共同字母则表示差异凡是两个平均数无共同字母则表示差异显著，只要有一个字母相同就说明其间差异不显著显著，只要有一个字母相同就说明其间差异不显著字母标记法标记步骤字母标记法标记步骤(0.050.05标记小写字母，标记小写
26、字母，0.010.01标记大写字母标记大写字母)：a)首先将全部平均数从大到小依次排列首先将全部平均数从大到小依次排列b)在最大的平均数标上字母在最大的平均数标上字母ac)将该平均数与以下的平均数依次比较，凡将该平均数与以下的平均数依次比较，凡不显著的都标上相同字母不显著的都标上相同字母a，直到显著，直到显著，标上下一字母标上下一字母b3、多重比较结果的表示方法多重比较结果的表示方法d)以标上字母以标上字母b的平均数作为标准，从下向的平均数作为标准，从下向上与上方各自比其大的平均数比较，凡上与上方各自比其大的平均数比较，凡是不显著的都标以是不显著的都标以b，直到显著为止直到显著为止注意：向上比
27、较显著时不标新字母，向下比注意：向上比较显著时不标新字母，向下比较较显著时显著时要要标以新字母标以新字母e)再以标有再以标有b的最大平均数为标准，向下依的最大平均数为标准，向下依次比较，直到显著，标以字母次比较，直到显著，标以字母c，再以标再以标c平均数向上比较直到显著为止平均数向上比较直到显著为止f)重复上述步骤，直到所有平均数都比较完重复上述步骤，直到所有平均数都比较完用字母标记法标用字母标记法标记四种药剂试验记四种药剂试验的平均数差异关的平均数差异关系系p234SSR0.053.083.233.33SSR0.014.324.554.68LSR0.054.404.624.76LSR0.01
28、6.186.516.69处理处理差异显著性差异显著性=0.05=0.01D29B23A18C14abcAcABBCC四种药剂处理效应间存在显著差异四种药剂处理效应间存在显著差异在在0.050.05显著性水平上有显著性水平上有D D与与其它药剂之间其它药剂之间差异显著，差异显著，B B药剂显著高于药剂显著高于A A和和C C药剂，而药剂，而A A和和C C药剂间差异不显著药剂间差异不显著而在而在0.010.01显著性水平上，显著性水平上，D D与与A A、C C药剂药剂处理间差异极显著，处理间差异极显著，B B药剂则极显著高药剂则极显著高于于C C药剂的处理效果。药剂的处理效果。四、四、结果结果
29、的的解释解释/说明说明另另一一例例p23456789SSR0.053.00 3.15 3.23 3.30 3.34 3.37 3.39 3.41LSR0.051.24 1.30 1.33 1.36 1.38 1.39 1.40 1.40处理处理差异显著性差异显著性=0.05=0.01A3B39.3A2B18.7A1B18.0A3B27.7A2B27.3A2B37.0A1B26.7A3B16.7A1B35.7aabbbccccccdddda)凡是与对照比较或与预定的比较对象的比凡是与对照比较或与预定的比较对象的比较，一般可选用较，一般可选用LSD法法关于多重比较方法的选择关于多重比较方法的选择b
30、)选用时考虑到否定一个正确的选用时考虑到否定一个正确的H0和接受和接受一个不正确的一个不正确的H0的相对重要性的相对重要性显著尺度：显著尺度：LSD法最低，法最低，SSR法次之，法次之，q法最高法最高犯第一类错误概率：犯第一类错误概率：LSD法最大，法最大，SSR法次之，法次之，q法最小法最小*所以，当试验结论事关重大或要求较严格所以，当试验结论事关重大或要求较严格时，宜采用时，宜采用q测验，一般试验可采用测验，一般试验可采用LSD法法第三节 数学模型一、一、方差分析的模型方差分析的模型据其中据其中 i 的不同可将模型分为两类：的不同可将模型分为两类：(1)固定模型固定模型(2)随机模型随机模
31、型1、固定模型固定模型 指试验的各处理均抽自特定的处理总体，这些总体指试验的各处理均抽自特定的处理总体，这些总体遵循遵循N(m mi,s s )的分布，处理效应的分布，处理效应 i=m mi m m 是固定的是固定的,试验的目的在于研究试验的目的在于研究 i 的大小，如果重复做试验，所用的大小，如果重复做试验，所用处理不变，试验的假设为：处理不变，试验的假设为：m mm m=iiH或或：00e2*在在F 测验测验H0被否定后，进一步的工作是多重比较，被否定后，进一步的工作是多重比较，用于比较每个处理的效应大小用于比较每个处理的效应大小*每次重复试验时所用材料和试验处理都是固定的，每次重复试验时
32、所用材料和试验处理都是固定的，即即 i =m mi-m m是固定的是固定的*固定模型所做出的推断仅限于试验所用处理范围之固定模型所做出的推断仅限于试验所用处理范围之内，不可推而广之内，不可推而广之*用于效应比较一类的试验，包括多数栽培试验（如用于效应比较一类的试验，包括多数栽培试验（如肥料、密度、农药肥料、密度、农药.）以及很多室内效应比较试）以及很多室内效应比较试验等验等指试验的各处理是从同一个总体指试验的各处理是从同一个总体N(0,)抽得的一抽得的一组随机样本，组随机样本，i =m mi m m 是随机变量，随试验的不同而是随机变量，随试验的不同而不同。试验的目的不在于研究不同。试验的目的
33、不在于研究 i的大小，而在于研究的大小，而在于研究 i的变异度的变异度 ；如果重复做试验，所用处理会改变。如果重复做试验，所用处理会改变。试验的假设为：试验的假设为：2、随机模型随机模型2 s s00220=s ss s：AHH*在在F 测验测验H0被否定后，进一步的工作是被否定后，进一步的工作是是计算是计算 的大小，然后估计遗传力等遗传参数的大小，然后估计遗传力等遗传参数2 s s2 s s*每次重复试验时都要再次随机抽取样本，因此每次重复试验时都要再次随机抽取样本，因此 i =m mi m m 会发生变化会发生变化*随机模型所做出的推断不仅限于试验所用处理，其随机模型所做出的推断不仅限于试
34、验所用处理，其目的在于推断抽出这些处理的整个总体，因而其推目的在于推断抽出这些处理的整个总体，因而其推断可以在一定条件下推而广之断可以在一定条件下推而广之*在育种和生态一类的试验中应用较为广泛，目的在在育种和生态一类的试验中应用较为广泛，目的在于总体特征的研究于总体特征的研究比较项目比较项目固定模型固定模型随机模型随机模型 处理来源处理来源 试验目的试验目的 统计假设统计假设 H0被否的被否的进一步工作进一步工作 推断范围推断范围两类模型的比较两类模型的比较判断两类模型的标准：判断两类模型的标准：(1)(1)看处理因素的水平是否可以完全控制：看处理因素的水平是否可以完全控制：随机模型的处理因素
35、水平不可以控制随机模型的处理因素水平不可以控制固定模型的处理因素水平可以完全控制固定模型的处理因素水平可以完全控制温度菌落生长的影响化肥植物产量的提高农家肥植物产量的提高判断两类模型的标准判断两类模型的标准:*欲通过试验看一个地区辣椒产量的整体水平欲通过试验看一个地区辣椒产量的整体水平(2)看研究目的：看研究目的：固定模型：特定个体的比较固定模型：特定个体的比较随机模型：总体变异情况的研究随机模型：总体变异情况的研究*欲通过试验从一批辣椒品种中选出几个产量水平欲通过试验从一批辣椒品种中选出几个产量水平较高的品种在某地区推广较高的品种在某地区推广如前面四种药剂试验的例子如前面四种药剂试验的例子
36、第三节 单因素方差分析适用于适用于单因素完全随机试验设计单因素完全随机试验设计一、一、每个处理每个处理观察值观察值数目数目相等相等的的单向分组资料单向分组资料处理盆1盆2盆3盆4总和总和平均A氨水12430282610827.0B氨水2272421269824.5C碳酸氢铵3128253011428.5D尿素3233332812631.5E对照212216218020.0T.=526 26.3【例例】表 水稻盆栽施肥试验产量结果(g/盆)表表 不同肥料处理后水稻产量的方差分析表不同肥料处理后水稻产量的方差分析表变异来源变异来源DFSSMSFF0.01处理间处理间4301.275.30 11.1
37、9*4.89误差误差15101.06.73总和总和19402.2LSR:LSD:资料的LSR值(n=15)多重比较结果p2345SSR0.053.013.163.253.31SSR0.014.174.374.504.58LSR0.053.904.104.224.29LSR0.015.415.675.845.94施施N法法均值均值5%水平水平 1%水平水平尿素尿素31.5碳酸氢铵碳酸氢铵28.5氨水氨水1 127.0氨水氨水2 224.0对照对照20.0aabbbAAABBBCCc资料的LSR值(n=15)多重比较结果p2345Q0.053.013.674.084.37Q0.014.174.84
38、5.255.56LSR0.053.904.765.295.67LSR0.015.416.286.817.21施施N法法均值均值5%水平水平 1%水平水平尿素尿素31.5碳酸氢铵碳酸氢铵28.5氨水氨水1 127.0氨水氨水2 224.0对照对照20.0aaabbbcAAABBBCCLSD:多重比较结果施施N法法均值均值与与CK差值差值D尿素尿素31.511.5*C碳酸氢铵碳酸氢铵28.58.5*A氨水氨水1 127.07.0*B氨水氨水2 224.04.0*E对照对照20.0-v=15时，时，t0.05=2.131;t0.01=2.947LSD0.05=3.91;LSD0.01=5.40二、每
39、个处理每个处理观察值观察值数目数目不不相等相等的的单向分组资料单向分组资料每个处理观察值数目不相等时每个处理观察值数目不相等时平方和平方和与与自由度自由度的分解的分解每个处理观察值数目不相等时的每个处理观察值数目不相等时的多重比较多重比较 5 5个不同品种羊的育肥试验，后期个不同品种羊的育肥试验，后期3030天增重天增重(kg)(kg)如表如表7.127.12所示。试比较品种间增重有无差异。所示。试比较品种间增重有无差异。品种品种增增 重重 (kg)(kg)niTi.B1 121.519.520.022.018.020.06121.020.2B2 216.018.517.015.520.016
40、.06103.017.2B3 319.017.520.018.017.0591.518.3B4 421.018.519.020.0478.519.6B5 515.518.017.016.0466.516.6合计合计25460.5【例例】1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度2、列方差分析表，进行、列方差分析表，进行F测验测验变异来源变异来源自由度自由度 平方和平方和 均方均方F值值F0.05F0.01EMS品种间品种间误差误差总变异总变异方差分析显示方差分析显示F=5.99F0.01(4,20)，P0.01，表明品，表明品种间差异极显著，此试验为固定模型，下一步需种间差异极显著，此
41、试验为固定模型，下一步需要进行品种间的多重比较要进行品种间的多重比较3、多重比较、多重比较假设用假设用SSR法（可用其它多重比较方法）法（可用其它多重比较方法）因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数n0来代替标准误来代替标准误SE中的中的n秩次距秩次距(p)SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.954.021.8442.51333.104.221.9382.63843.184.331.9882.70653.254.402.0312.750羊品种平均增重多重比较梯形表羊品种平均增重多重比较梯形表 品种品种-16.6-17.
42、2-18.3-19.6B120.23.63.01.90.6B419.63.02.41.3B318.31.71.1B217.20.6B516.6处理处理12il总总亚处理亚处理12jm观观察察值值 xi11xi21 xij1 xim1xi12xi22 xij2 xim2 xi1kxi2k xijk ximk xi1nxi2n xijn ximn亚组总和亚组总和Ti1.Ti2.Tij.Tim.亚组平均亚组平均组总和组总和T1.T2.Ti.Tl.T组平均组平均三、系统分组资料三、系统分组资料系统分组资料系统分组资料平方和与自由度平方和与自由度的的分解分解二级分组资料的二级分组资料的方差分析方差分析及
43、其及其期望均方期望均方变异来源变异来源自由度自由度SSMSFEMS混合模型混合模型随机模型随机模型组间组间l-1SStMStMSt/MSe1亚组间亚组间l(m-1)SSe1MSe1MSe1/MSe2亚组内亚组内(误差误差)lm(n-1)SSe2MSe2总变异总变异lmn-1SST*若组间差异显著，则进行多重比较若组间差异显著，则进行多重比较*若亚组间差异不显著，可将亚组间和亚组内的平方若亚组间差异不显著，可将亚组间和亚组内的平方和进行合并，求其合并均方：和进行合并，求其合并均方：*首先对亚组间进行首先对亚组间进行F 测验测验*若亚组间差异显著，然后对组间进行若亚组间差异显著，然后对组间进行F
44、测验测验系统分组资料的多重比较系统分组资料的多重比较F测验中的测验中的备比量备比量被比较平均数所包被比较平均数所包含的观察值个数含的观察值个数【例例】表 4种培养液下株高增长量（mm）【例】【例】资料的方差分析表资料的方差分析表第四节 两向分组资料的方差分析两向分组两向分组(交叉分组交叉分组)资料资料:试验包括两个因素试验包括两个因素两个因素的每个水平均衡相遇两个因素的每个水平均衡相遇其水平组合总数即为处理数其水平组合总数即为处理数按组合观察值是否有重复其方差分析分两种情况按组合观察值是否有重复其方差分析分两种情况组合内有重复观察值组合内有重复观察值组合内无重复观察值组合内无重复观察值A因素因
45、素B因素因素总和总和 平均平均B1B2 BjBbA1x11x12 x1j x1bT 1.A2x21x22 x2j x2bT 2.Aixi1xi2 xijxibT i.Aaxa1xa2 xajxabT a.总和总和T.1T.2 T.jT.bT.平均平均A因素水平数为因素水平数为i=1,2,aB因素水平数为因素水平数为j=1,2,b共有处理组合数共有处理组合数ab个个,即观察值总数为即观察值总数为ab个个一、组合内无重复观测值的两向资料一、组合内无重复观测值的两向资料x.1xa.x.bx.jx.2x1.xi.x2.x.1、模型模型2、平方和与自由度的分解平方和与自由度的分解3、方差分析及其期望均方
46、方差分析及其期望均方变异来源变异来源自由度自由度SSMSFEMS混合模型混合模型随机模型随机模型固定模型固定模型A因素因素a-1SSAMSAMSA/MSeB因素因素b-1SSBMSBMSB/MSe误差误差(a-1)(b-1)SSeMSe总变异总变异ab-1SST4、多重比较多重比较【例例7.9】（P119）采用采用5种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种子发芽后，分别每盆中移植子发芽后，分别每盆中移植4组，每组组，每组6盆，试验共有盆，试验共有4组组24盆，并按组排于温室中，使同组各盆条件一致。盆，并按组排于温室中，使同组各盆条件一致。当各盆见第一朵花时记录总
47、结间数，见下表：当各盆见第一朵花时记录总结间数，见下表：【例7.9】资料的方差分析表变异来源变异来源DFSSMSFF0.05F0.01光照组间光照组间35.451.821激素间激素间565.87 13.17 4.56*2.904.56误差误差1543.302.89总和总和23 114.62二、组合内有重复观测值的两向资料二、组合内有重复观测值的两向资料A因素因素B因素因素总和总和Ti.平均平均B1B2BjBbA1 x1j1x1j2 x1jk x1jnT1.A2 x2j1x2j2 x2jk x2jnT2.Ai xij1xij2 xijkxijnTi.Aa xaj1xaj2 xajk xajnTa
48、.总和总和Tj.T.1.T.2.T.j.T.b.T平均平均A因素水平数为因素水平数为i=1,2,aB因素水平数为因素水平数为j=1,2,b每个处理重复观察值数为每个处理重复观察值数为k=1,2,n共有处理组合数共有处理组合数ab个个,则观察值总数为则观察值总数为abn个个1、模型模型2、平方和与自由度的分解平方和与自由度的分解3、方差分析及其期望均方方差分析及其期望均方变异来源变异来源自由度自由度SSMSFEMS固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型A因素因素a-1SSAMSAB因素因素b-1SSBMSBAB互作互作(a-1)(b-1)SSABMSAB误差误差ab(n-1)SSeMS
49、e总变异总变异abn-1SST因不同模因不同模型而异型而异4、多重比较多重比较【例例】表7.15 3种肥料施于3种土壤的小麦产量表7.16 表7.15资料的方差分析表肥类平均数的比较组合平均数的比较表7.17 表7.15资料的多重比较（肥类均值）表7.18 表7.15资料的多重比较（组合均值）如互作不存在，两个因素各最好水平的组如互作不存在，两个因素各最好水平的组合为最优处理合为最优处理如存在互作，两个因素各最好水平的组合如存在互作，两个因素各最好水平的组合不一定为最优处理不一定为最优处理第五节 方差分析的基本假定和数据转换一、方差分析的三个基本假定方差分析的三个基本假定1、处理效应和环境处理
50、效应和环境(误差误差)效应具有效应具有“可加可加性性”SST=SSt+SSe效应的效应的可加性可加性与与倍加性倍加性处理处理可加性可加性倍加性倍加性环境环境1环境环境2环境环境1环境环境2A10201020B30403060处理与环境彼此独立，处理与环境彼此独立，其效应是线性可加的其效应是线性可加的处理与环境不是彼此独立处理与环境不是彼此独立的，其效应非线性可加的，其效应非线性可加2、试验误差是独立的随机变量，且符合试验误差是独立的随机变量，且符合N(0,2)“正态性正态性”*误差的随机性是误差的随机性是F测验的基本假定测验的基本假定*ij 相互之间是独立的相互之间是独立的 严格遵循试验设计的