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1、第第1010章章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路l重点重点 1.1.互感和互感电压互感和互感电压 2.2.有互感电路的计算有互感电路的计算 3.3.空心变压器和理想变压器空心变压器和理想变压器10.1 10.1 互感互感1.1.互感互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。这
2、类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。线线圈圈1 1中中通通入入电电流流i i1 1时时，在在线线圈圈1 1中中产产生生磁磁通通(magnetic flux)，同同时时，有有部部分分磁磁通通穿穿过过临临近近线线圈圈2 2，这这部部分分磁磁通通称称为为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。互感磁通。两线圈间有磁的耦合。+u11+u21i1 11 21N1N2定义定义 ：磁链磁链(magnetic linkage)，=N 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时时，与与i 成正比成正比,当只有当只有一个线圈时：一个线圈时：当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与当两个线圈
3、都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：互磁链的代数和：注注（1 1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足线圈中的电流无关，满足M12=M21（2 2）L L总为正值，总为正值，M值有正有负值有正有负.2.2.耦合系数耦合系数(coupling coefficient)用耦合系数用耦合系数k 表示两个线表示两个线圈磁耦合的紧密程度圈磁耦合的紧密程度。当当 k=1 称全耦合称全耦合:漏磁漏磁 s1=s2=0即即 11=21，22=12一般有：一般有：耦合系数耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关与线
4、圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关互感现象互感现象利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。当当i i1 1为为时时变变电电流流时时，磁磁通通也也将将随随时时间间变变化化，从从而而在在线线圈圈两端产生感应电压。两端产生感应电压。当当i1、u11、u21方方向向与与 符符合合右右手手螺螺旋旋时时，根根据据电电磁磁感感应定律和楞次定律：应定律和楞次定律：当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：均包
5、含自感电压和互感电压：自感电压自感电压互感电压互感电压3.3.耦合电感上的电压、电流关系耦合电感上的电压、电流关系在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：否则取负。表明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关。）与电流的参考方向有关。（2）与线圈的相对位置和绕向有关。）与线圈的相对位置和绕向有关。注注4.4.互感线圈的同名端互感线圈的同名端对对自自感感电电压压，当当u,i 取取关关联联参参考考方方向向，u、i与与 符符合合右螺旋定则，其表达式
6、为右螺旋定则，其表达式为 上上式式 说说明明，对对于于自自感感电电压压由由于于电电压压电电流流为为同同一一线线圈圈上上的的，只只要要参参考考方方向向确确定定了了，其其数数学学描描述述便便可可容容易易地地写写出，可不用考虑线圈绕向。出，可不用考虑线圈绕向。i1u11对对互互感感电电压压，因因产产生生该该电电压压的的的的电电流流在在另另一一线线圈圈上上，因因此此，要要确确定定其其符符号号，就就必必须须知知道道两两个个线线圈圈的的绕绕向向。这这在在电电路路分分析析中中显显得得很很不不方方便便。为为解解决决这这个个问问题题引引入入同同名名端端的的概念。概念。当两个电流分别从两个线圈的对应端子同当两个电
7、流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。*同名端同名端i1+u11+u21 11 0N1N2+u31N3 si2i3注意：线圈的同名端必须两两确定。注意：线圈的同名端必须两两确定。确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1)(1)当当两两个个线线圈圈中中电电流流同同时时由由同同名名端端流流入入(或或流流出出)时时，两两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。i1122*112233*例例(2)(2)当当随随时时间间增增大大的的时时变变电电
8、流流从从一一线线圈圈的的一一端端流流入入时时，将将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时，时，i增加，增加，当当两两组组线线圈圈装装在在黑黑盒盒里里，只只引引出出四四个个端端线线组组，要要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。由同名端及由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考有了同名端，以后表示两个线
9、圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。i1*u21+Mi1*u21+Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写写出出图图示示电电路路电电压、压、电电流流关关系系式式例例i1*L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s解解10.2 10.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算1.1.耦合电感的串联耦合电感的串联（1 1）顺接串联顺接串联iRLu+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效电路去耦
10、等效电路（2 2）反接串联反接串联互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。iM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：全耦合时全耦合时 当当 L1=L2 时时 ,M=L4M 顺接顺接0 反接反接L=互感的测量方法：互感的测量方法：在正弦激励下：在正弦激励下：*+R1R2j L1+j L2j M +相量图：相量图：(a)(a)顺接顺接(b)(b)反接反接（1）同侧并联同侧并联i=i1+i2 解得解得u,i 的关系：的关系：2.2.耦合电感的并联耦合电感的并联*Mi2i1L1L2ui+等效电感：等效
11、电感：如全耦合：如全耦合：L1L2=M2当当 L1 L2 ，Leq=0 (物理意义不明确物理意义不明确)L1=L2，Leq=L(相当于导线加粗，电感不变相当于导线加粗，电感不变)（2）异侧并联异侧并联*Mi2i1L1L2ui+i=i1+i2 解得解得u,i 的关系：的关系：等效电感：等效电感：3.3.耦合电感的耦合电感的T T型等效型等效（1 1）同名端为共端的同名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效*j L1123j L2j Mj(L1-M)123j Mj(L2-M)（2 2）异名端为共端的异名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效*j L1123j L2j Mj(L1M)123j Mj(L2
12、M)*Mi2i1L1L2ui+*Mi2i1L1L2u+u+j(L1M)j Mj(L2M)j(L1M)j Mj(L2M)4.4.受控源等效电路受控源等效电路*Mi2i1L1L2u+u+j L1j L2+例例M=3H6H2H0.5H4HabM=4H6H2H3H5HabM=1H9H2H0.5H7Hab-3HLab=5H4H3H2H1Hab3HLab=6H解解5.5.有互感的电路的计算有互感的电路的计算(1)(1)有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的 相量分析的方法均适用。相量分析的方法均适用。(2)(2)注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包
13、含互感注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感 电压。电压。(3)(3)一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例1MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1解解例例2 2求图示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。M12+_+_*M23M31L1L2L3R1解解1 1作出去耦等效电路，作出去耦等效电路，(一对一对消一对一对消):):M12*M23M13L1L2L3*M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12+M23 M13 L2M12M23+M13 L3+M
14、12M23 M13 解解2 2L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M13L1M12+M23 M13 L2M12M23+M13 L3+M12M23 M13 R1+_例例3 3要使要使i=0，问电源的角频率为多少？问电源的角频率为多少？ZRCL1L2MiuS+L1 L2C R+MZ*L1M L2MC R+ZM解解10.3 10.3 空心变压器空心变压器*j L1j L2j M+R1R2Z=R+jX 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来
15、实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1.1.空心变压器电路空心变压器电路原边回路原边回路副边回路副边回路2.2.分析方法分析方法（1 1）方程法分析方程法分析*j L1j L2j M+R1R2Z=R+jX令令 Z11=R1+j L1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：回路方程：+Z11原边等效电路原边等效电路+Z22副边等效电路副边等效电路（2 2）等效电路法分析等效电路法分析Zl=Rl+j Xl+Z11副边对原边的引入阻抗。副边对原
16、边的引入阻抗。引入电阻。引入电阻。恒为正恒为正,表示副边回表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。路吸收的功率是靠原边供给的。引入电抗。引入电抗。负号反映了引入电抗负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。与付边电抗的性质相反。原边等效电路原边等效电路引引入入阻阻抗抗反反映映了了副副边边回回路路对对原原边边回回路路的的影影响响。从从物物理理意意义义讲讲，虽虽然然原原副副边边没没有有电电的的联联系系，但但由由于于互互感感作作用用使使闭闭合合的的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。从能量角度来说从能量角度来说:电源发出有功电源发出有功 P=I
17、12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在付边，由互感传输。消耗在付边，由互感传输。证证明明原边对副边的引入阻抗。原边对副边的引入阻抗。利用戴维宁定理可以求得利用戴维宁定理可以求得空心变压器副边的等效电路空心变压器副边的等效电路。副边开路时，副边开路时，原边电流在副边产原边电流在副边产 生的互感电压。生的互感电压。+Z22副边等效电路副边等效电路（3 3）去耦等效法分析去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。路，再进行分析。已知已知 US=20 V,原边引入阻抗原边引入阻抗 Zl=10j1
18、0.求求:ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.此时负载获得的功率：此时负载获得的功率：实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：解：解：*j10 j10 j2+10 ZX+10+j10 Zl=10j10 例例1解解L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20 ,R2 ,RL=42 ,=314=314rad/s,应用原边等效电路应用原边等效电路+Z11例例2*j L1j L2j M+R1R2RL解解1应用副边等效电路应用副边等效电路解解2+Z22例例3全耦合互感电路如图，求电路初级端全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。间的等效阻抗。*L1aM+bL2解解1解
19、解2画出去耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+Mab例例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10 ,C1=C2 F,问问：R2=？能吸收最大功能吸收最大功率率,求最大功率。求最大功率。解解1 =10=106 6rad/s,*j L1j L2j M+R1C2R2C1应用原边等效电路应用原边等效电路+10 当当R2=40 时吸收最大功率时吸收最大功率解解2应用副边等效电路应用副边等效电路+R2当当时吸收最大功率时吸收最大功率例例5图示互感电路已处于稳态，图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，时开关打开，求求t 0+时开路电压时开路电压u2(t)。*0.2H0.4HM=0.1
20、H+10 40Vu2+10 5 10 解解*0.2H0.4HM=0.1H+10 40Vu2+10 5 10 副边开路，对原边回路无影响，开路电压副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有中只有互感电压。先应用三要素法求电流互感电压。先应用三要素法求电流i(t).i10 解解例例6*uS(t)Z100 CL1L2M问问Z为何值时其上获得最大为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。功率，求出最大功率。（1）判定互感线圈的）判定互感线圈的同名端。同名端。（2）作去耦等效电路）作去耦等效电路j100 j20 j20 100 j(L-20)j100 100 j(L-20)j100 100 j(
21、L-20)uocj100 100 j(L-20)uoc 理想变压器理想变压器1.1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（2）全耦合）全耦合（1）无损耗）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁导率无限大。（3）参数无限大）参数无限大 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范
22、围内，把实际变压器当理际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。想变压器对待，可使计算过程简化。i1122N1N22.2.理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能（1）变压关系）变压关系*n:1+_u1+_u2*n:1+_u1+_u2理想变压器模型理想变压器模型若若（2）变流关系）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2M考虑到理想化条件：考虑到理想化条件：0若若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：n:1理想变压器模型理想变压器模型（3）变阻抗关系）变阻抗关系*+n:1Z+n2Z 理想变压器的阻
23、抗变换性质只改变阻抗的理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。大小，不改变阻抗的性质。注注（b）理理想想变变压压器器的的特特性性方方程程为为代代数数关关系系，因因此此它是无记忆的多端元件。它是无记忆的多端元件。*+n:1u1i1i2+u2（a a）理理想想变变压压器器既既不不储储能能，也也不不耗耗能能，在在电电路路中只起传递信号和能量的作用。中只起传递信号和能量的作用。（4）功率性质）功率性质表明：表明：例例1已已知知电电源源内内阻阻RS=1k，负负载载电电阻阻RL=10。为为使使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。n2RL+uSRS
24、当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100，n=10.*n:1RL+uSRS应用变阻应用变阻抗性质抗性质例例2*+1:1050+1 方法方法1：列方程：列方程解得解得方法方法2：阻抗变换：阻抗变换+1 方法方法3：戴维南等效：戴维南等效*+1:10+1 求求Req：Req=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+100 50 Req*1:101 例例3理想变压器副边有两个线圈，变比分别为理想变压器副边有两个线圈，变比分别为5:15:1和和6:16:1。求原边等效电阻求原边等效电阻R。*+5:14*6:15+把次级线圈看作串联把次级线圈看作串联*+5:
25、14*6:15+把次级线圈看作并联把次级线圈看作并联例例4已已知知图图示示电电路路的的等等效效阻阻抗抗Zab，求求理理想想变变压压器器的的变比变比n。解解+1.5+应用阻抗变换应用阻抗变换外加电源得：外加电源得：Zab*n:11.5 10+例例5求电阻求电阻R 吸收的功率吸收的功率解解应用回路法应用回路法解得解得*+1:10+1 1 1 R=1 123例例6*+n1:1R1n2:1R2+R3ab求入端电阻求入端电阻Rab解解10.5 10.5 实际变压器的电路模型实际变压器的电路模型实实际际变变压压器器是是有有损损耗耗的的，也也不不可可能能全全耦耦合合，k 1。且且 L1，M，L2 ,。除除了
26、了用用具具有有互互感感的的电电路路来来分分析析计计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。1.1.理想变压器理想变压器(全耦合，无损，全耦合，无损，m m=线性变压器线性变压器)i1*+_u1+_u2i2n:1理想变压器模型理想变压器模型2.2.全耦合变压器全耦合变压器(k=1，无损无损，m m，线性线性)由于全耦合，所以仍满足：由于全耦合，所以仍满足：*j L1j L2j M+全耦合变压器的等值电路图全耦合变压器的等值电路图*j L1+n:1理想变压器理想变压器L1：激磁电感激磁电感 (magnetizing inductance)（空载激
27、磁电流）空载激磁电流）又因又因3.3.无损非全耦合变压器无损非全耦合变压器(忽略损耗忽略损耗，k 1，m m 线性线性)21i1i2+u1u2 12 1s 2sN1N2 线圈中的磁通看成是漏磁线圈中的磁通看成是漏磁通加全耦合磁通，即：通加全耦合磁通，即：全耦合全耦合 磁通磁通在线性情况下，有：在线性情况下，有：由此得无损非全耦合变压器的电路模型：由此得无损非全耦合变压器的电路模型：*L1+n:1L1SL2Si1u1u2i2+u1+u2L1S,L2S：漏电感漏电感(leakage inductance)4.4.有有损损耗耗的的非非全全耦耦合合变变压压器器(k 1，m m，线线性性)*L1+n:1
28、L1SL2Si1u1u2i2RmR1R2考虑了导线考虑了导线和铁芯损耗和铁芯损耗全耦合变压器全耦合变压器以以上上是是在在线线性性情情况况下下讨讨论论实实际际变变压压器器。实实际际上上铁铁心心变变压压器器由由于于铁铁磁磁材材料料 B BH H特特性性的的非非线线性性,初初级级和和次次级级都都是是非非线线性性元元件件，原原本本不不能能用用线线性性电电路路的的方方法法来来分分析析计计算算，但但漏漏磁磁通通是是通通过过空空气气闭闭合合的的，认认为为漏漏感感L LS1S1，L LS2 S2 基基本本上上是是线线性性的的，磁磁化化电电感感L L1 1虽虽是是非非线线性性的的，但但其其值值很很大大，并并联联在在电电路路上上只只取取很很小小的的电电流流影影响很小，电机学中常用这种等值电路。响很小，电机学中常用这种等值电路。例例图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。*j2 k=1+j8 8 解解做全耦合变压器等效电路做全耦合变压器等效电路*j2+n:18 j2+2