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1、误差理论与测量平差SurveyingAdjustment误差理论与测量平差第六章附有参数的条件平差第二章精度指标与误差传播第三章平差最小二乘模型与最小二乘原理第四章条件平差第五章间接平差第一章绪论第七章附有限制条件的间接平差第八章概括平差函数模型退出第九章误差椭圆测绘工程专业主干课：专业基础主要课程：测量学（5）、测量平差基础（5）、控制测量学（5）、摄影测量学（4）、测绘数据计算机处理（3）专业课：GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、数字制图（3）、近代平差（2）等测绘科学与技术v大地测量与测量工程v摄影测量与遥感v地图制图与地理信息系统工程数学政治英语测量平差课程安排l前修课程：高
2、数、几何与代数、概率与数理统计l课程分两个学期进行：第二学年上学期：3学分第三学年下学期：2学分l后续课程：测绘数据的计算机处理、控制测量、近代平差教学方式与内容l讲授为主，例题、习题相结合。l内容：本学期主要讲前五章的内容。l参考书目：测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社误差理论与测量数据处理，测量平差教研室，测绘出版社。第一章 绪论第一节观测误差第二节补充知识停止返回第一章 绪论第一节：概述1、测量平差的研究对象误差任何量测不可避免地含有误差v闭合、附合水准路线v闭合、附合导线v距离测量v角度测量.停止返回误差：测量值与真值之差l由于误差的存在，使测量数据之间产生矛盾，测量平差的任务就是消除
3、这种矛盾，或者说是将误差分配掉，因此称为平差。停止返回产生误差的原因产生误差的原因l测量仪器：i角误差、2c误差l观测者：人的分辨力限制l外界条件：温度、气压、大气折光等三者综合起来为观测条件停止返回误差的分类l系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。停止返回系统误差的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数误差的分类l偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称
4、为偶然误差。不可避免，测量平差研究的内容l粗差：错误停止返回停止返回测量平差的任务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果的质量停止返回测量平差产生的历史最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘1806年，A.M.Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。决定彗星轨道的新方法1809年，C.F.GUASS，天体运动的理论停止返回测量平差产生的历史最小二乘法原理的两次证明形成测量平差的最基本模型1912年，A
5、.A.Markov，对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：测量平差理论的扩展补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：停止返回(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22ann称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于对角阵，若a11=a22=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。停止返回（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。停止返回矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元
6、素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止返回二、矩阵的转置l对于任意矩阵Cmn:将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。用：停止返回矩阵转置的性质：（6）若则A为对称矩阵。停止返回三、矩阵的逆l给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：lA矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A
7、的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵停止返回矩阵的逆的性质停止返回矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法：设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。停止返回矩阵求逆方法则：（2）初等变换法：经初等变换：停止返回概率与数理统计内容l随机变量l误差分布曲线l概率密度曲线l数学期望l方差停止返回第一节概述第二节偶然误差的规律性第三节衡量精度的指标第四节协方差传播律停止返回第五节协方差传播律在测量上的应用第六节协方差传播律第七节权与定权的常用方法第八节协因数与协因数传播律第二节偶然误差的规律性观测值：对该量观测所
8、得的值，一般用观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示表示。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用小的数值，一般用表示。表示。一、几个概念一、几个概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差，一般用一般用 i=-Li表表示。示。第一节概述停止返回观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：停止返回 二、偶然误差的特性l例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔秒进行统计。误差区间+个数
9、K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051
10、770.495停止返回l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151
11、.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501停止返回(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:停止返回面积=(K/n)/d*d=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭
12、合差停止返回提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：停止返回第三节衡量精度的指标精度：所谓精度是指精度：所谓精度是指偶然误差偶然误差分布的密集离散程度。分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度
13、相同。不同组观测值，分布不同，精度也就精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。误差各不相同。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高且陡峭，精度高且陡峭，精度高右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低且平缓，精度低且平缓，精度低一、方差一、方差
14、/中误差中误差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差面积为1第三节第三节衡量精度的指标衡量精度的指标停止返回方差：方差：中误差：提示：提示：越小，误差曲越小，误差曲线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。方差的估值：二、平均误差二、平均误差停止返回在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。学期望。与中误差的关系：与中误差的关系：三、或然误差三、或然误差f()0闭合差50%停止返回四、极限误差四、极限误差四、相对误差四、相对误差中误差与观测值之比，一般用
15、中误差与观测值之比，一般用1/M表示。表示。第四节 协方差传播律一、协方差对于变量对于变量X，Y，其协方差为：，其协方差为：停止返回表示表示X、Y间互不相关，对于正态分布间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。而言，相互独立。表示表示X、Y间相关间相关对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方，将其元素间的方差、协方差阵表示为：差、协方差阵表示为：停止返回矩阵表示为：矩阵表示为：方差协方差阵方差协方差阵特点特点：I对称对称II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元对角元相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。若：若若DXY=0，
16、则，则X、Y表示为相互独立的观测量。表示为相互独立的观测量。二、观测值线性函数的方差已知：那么：停止返回证明：证明：设：设：那么：那么：停止返回例1:设 ，已知 ，求 的方差 。mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里?停止返回二、多个观测值线性函数的协方差阵已知：停止返回停止返回例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求四、非线性函数的情况设有观测值设有观测值X的非线性函数：的非线性函数：已知：停止返回将Z按台劳级数在X0处展开：例例4、根据极坐标法测设、根据极坐标
17、法测设P点的坐标，设已知点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为点无误差，测角中误差为m，边长中误差，边长中误差ms，试推导，试推导P点的点位中误差。点的点位中误差。ABPmssmump停止返回协方差传播应用步骤:l根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式l写出观测量的协方差阵l对函数进行线性化l协方差传播停止返回a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)N(s)ABTP1TP2TPN-1协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度停止返回作业1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路线，如下图，路线长分别为，设每公里观测高差的中误差为，试求：（1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间
18、高差的中误差；（2）分配闭合差后P1点的高程中误差。AP1P2B作业2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差）为3，问观测9个测回的精度为多少？停止返回第七节权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。二、单位权中误差三、常用的定权方法三、常用的定权方法1、水准测量的权、水准测量的权或2、边角定权、边角定权停止返回第八节协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵不难得出：QXX为协因数阵特点特点
19、：I对称，对角元素为权倒数对称，对角元素为权倒数II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。为等精度观测，单位阵。二、权阵二、权阵第一节测量平差概述第二节测量平差的数学模型第三节参数估计与最小二乘原理停止返回一、必要观测、多余观测确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有种选择确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。停止返回必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个
20、数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示。停止返回特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示，r=n-t。确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发
21、现粗差。二、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3停止返回实际上：第二节测量平差的数学模型一、条件平差法条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。即为条件平差的函数模型。条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法间接平差法选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。停止返回三、三、附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可
22、列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定ut个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。停止返回五、五、平差的随机模型平差的随机模型数学模型数学模型停止返回函数模型函数模型随机模型：随机模型：第三节函数模型的线性化条件方程的综合形式为：条件方程的综合形式为：为了线性化，取X的近似值：取的初值：将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：停止返
23、回一、条件平差法条件平差法二、间接平差法间接平差法三、三、附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法四、四、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法第四节参数估计与最小二乘原理为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。一、一、参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：条件的个数r=n-tn，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。数理统计中所述的估计量最优
24、性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。停止返回例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：实际上：写成矩阵：写成矩阵：间接平差函数模型间接平差函数模型二、二、最小二乘原理最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：停止返回其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的作为X
25、的估计量。停止返回由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条件：即最小二乘原则。停止返回第 四 章 条件平差第一节条件平差原理第二节条件方程第三节精度评定第四节水准网平差示例停止返回第一节条件平差原理一、基础方程和它的解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：停止返回数学模型求其一阶偏导数，并令其为0：上式也称为法方程式停止返回二、条件平差的计算步骤停止返回1.根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。2.根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。3.解算法
26、方程，求出联系数K值。4.将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值5.为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。BADh1h4h2h3CBADh1h4h2h3Ch1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第二节条件方程一、水准网列条件的原则：1、闭合水准路线2、附合水准路线包含的线路数最少为原则停止返回h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3停止返回二、测角网4个必要的起算数据为：一个已知点（2个坐标）一个方位（1个）一个尺度（1个
27、两已知点（4个坐标）停止返回列条件的原则：将复杂图形分解成典型图形。条件类型：图形条件、圆周条件、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件三角形大地四边形中心多边形扇形停止返回AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T第三节精度评定一、计算单位权中误差二、协因数阵停止返回第四节水准网平差示例例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.363
28、2.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回解：1、列条件方程停止返回2、定权取C=1，则：3、形成法方程停止返回4、解算法方程5、计算改正数6、计算平差值7、计算高程平差值停止返回作业1：如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表。线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.000253.404263.4524AoooBC123456P1P2
29、P3如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值。第一节间接平差原理第二节误差方程第三节精度评定第四节平差示例第 五 章 间 接 平 差停止返回第一节间接平差原理一、基础方程和它的解按函数极值的求法，极值函数：求其一阶偏导数，并令其为0：停止返回代入误差方程：即为法方程式停止返回二、间接平差法平差步骤1、选择t个独立的未知参数2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、计算改正数6、精度评定一、确定待定参数的个数一、确定待定参数的个数水
30、准网测角网测边网边角网第二节误差方程停止返回GPS网采用GPS尺度与方位不采用GPS尺度与方位二、参数的选取二、参数的选取高程控制网：待定点的高程平面控制网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标停止返回三、误差方程的组成三、误差方程的组成1、水准路线的误差方程、水准路线的误差方程ijXiXjhij当i点已知时：当j点已知时：停止返回2、方向的误差方程N零方向jkl定向角未知数设j、k的坐标为未知参数：即：零方向的方位角jk的方位角为：停止返回为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回停止返回停止返回停止返回停止返回停止返回
31、当j点已知时：停止返回当k点已知时：停止返回2、距离的误差方程jk设j、k的坐标为未知参数：jk的距离为：停止返回为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回停止返回停止返回停止返回当j点已知时：停止返回当k点已知时：第三节精度评定二、协因数阵一、计算单位权中误差停止返回测角网间接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的坐标及精度。已知数据见下表。第四节平差示例停止返回点名坐标
32、（m）边长方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.602743938.4C19063.6637818.8610232.16344056.3D17814.6349923.1912168.60955329.1A10156.112164906.5角度编号观测值角度编号观测值角度编号观测值11261424.17220243.013463856.42233946.981300314.214663454.73300546.79275359.315664608.241172246.210655500.816295835.55312650.01167
33、0249.4171200831.16311022.612470211.418295255.4停止返回解：n=18,t=2*6-4-4=4,r=18-4=14设P1、P2点的坐标作为未知参数X1、Y1、X2、Y2，根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标：根据角度的误差方程：停止返回VBxl停止返回定权，P为单位阵，形成法方程为：停止返回精度评定：停止返回例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0
34、.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B解：1、列误差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4设P1、P2点的高程为未知参数求相应的近似值列误差方程：h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B写成矩阵的形式：定权，取C=1例：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.85-0.5774.26-0.7862.5BoooAC165423P1P2P3如图所示的水准网，A、B、C已知
35、水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用间接平差法求P1、P3、P3点高程的平差值估算精度。解：1、列误差方程n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3设P1、P2、P3点的高程为未知参数求相应的近似值列误差方程：BoooAC165423P1P2P3定权，取C=1第一节基础方程和它的解第二节精度评定第 六 章 附有参数的条件平差停止返回一、测量平差方法回顾（1）条件平差法条件平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，条件方程个数条件方程个数c。停止返回在最小二乘原则下有：在最小二乘原则下有：（2）
36、间接平差法间接平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，设设t个相互独立的未知参数，则条件个数个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即即n个误差方程：个误差方程：在最小二乘原则下有：在最小二乘原则下有：（3）附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut，则，则u个未知参数间肯定存在个未知参数间肯定存在u-t个个函数关系，称为约束条件。函数关系，称为约束条件。联合基础方程基础方程基础方程线性化形式：基础方程线性化形式：按求函
37、数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：停止返回求其一阶偏导数，并令其为求其一阶偏导数，并令其为0：法方程式法方程式停止返回写成矩阵形式：写成矩阵形式：显式表示：显式表示：第二节精度评定一、计算单位权中误差一、计算单位权中误差二、协因数阵二、协因数阵停止返回三、平差值函数的协因数三、平差值函数的协因数四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤1.根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与限制条件。2.根据观测值的权组成法方程式。3.解算法方程，求出联系数X与K值。4.将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。5.精度评定。例：
38、如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号路线号观测高差观测高差（m）路线长度路线长度（km）已知高程已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016hAB=1.0002+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P2B解：1、列误差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数相应的近似值列误差方程：列误差方程：U=4，S=1h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P
39、2B定权，取C=1限制条件：限制条件：第 八 章 概括平差函数模型停止返回第二节基础方程和它的解第三节精度评定第一节概述一、平差模型的回顾（1）条件平差法）条件平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，条件方程个数条件方程个数c。停止返回（2）间接平差法间接平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，设设t个相互独立的未知参数，则条件个数个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即即n个误差方程：个误差方程：（3）附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法观测值个数为观测值个数为n，t为必要观
40、测数，则可列出为必要观测数，则可列出r=n-t个个条件方程，现有条件方程，现有u个独立量作为参数，而个独立量作为参数，而0ut，包含，包含t个独立参数，则条件个数个独立参数，则条件个数r+u,其中，有其中，有s个限制条件：个限制条件：二、条件方程式形式二、条件方程式形式停止返回一般条件方程式一般条件方程式,用用C表表示个数示个数限制条件式限制条件式（1）条件平差法）条件平差法:停止返回（2）间接平差法间接平差法:（3）附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法（4）附有限制条件的间接平差法）附有限制条件的间接平差法三、概括平差模型的引入三、概括平差模型的引入停止返回对于一个几何模型，独立参数的个
41、数对于一个几何模型，独立参数的个数u满足满足：条件平差条件平差间接平差间接平差附有参数的条件附有参数的条件平差平差停止返回对于一个几何模型，可选参数的个数对于一个几何模型，可选参数的个数u：相关相关包含独立参包含独立参数数数数t包含独立参包含独立参数数数数=t附有限制条件附有限制条件的间接平差的间接平差概括平差概括平差观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测，多余观测数数r=n-t，现有，现有u个参数，则条件个数个参数，则条件个数r+u,其中，设其中，设u个参数中其中可以形成个参数中其中可以形成s个限个限制条件，一般条件个数为：制条件，一般条件个数为：c=r+u-s:四、概括
42、平差模型四、概括平差模型停止返回线性化线性化c+s=r+u一、基础方程一、基础方程：第二节第二节基础方程和它的解基础方程和它的解条件平差条件平差间接平差间接平差独立独立附有参数的附有参数的条件平差条件平差独立独立包含包含t个个独立独立附有限制附有限制条件的间条件的间接平差接平差二、基础方程的解二、基础方程的解：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：代入第二式得：代入第二式得：条件平差条件平差独立独立间接平差间接平差附有参数的附有参数的条件平差条件平差独立独立包含包含t个个独立独立附有限制条件的附有限制条件的间接平差间接平差第三节精度评定一、计算
43、单位权中误差一、计算单位权中误差二、协因数阵二、协因数阵停止返回第九章 误差椭圆第一节概述第二节点位误差停止返回第三节误差曲线yox第一节：概述第一节：概述真位置真位置平差后平差后位置位置点位真位差点位真位差对对两边取数学期望：两边取数学期望：点位方差点位方差yoxX/y/同理：同理：点位中误差与坐标系的选点位中误差与坐标系的选择无关。择无关。第二节第二节点位误差点位误差一、一、点位误差的计算点位误差的计算在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：测角网间接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的点位精度。停止返回平差得：停止返回停止返回yxp二、任意方向的位差xEyFOP第三节第三节误差曲线误差曲线yxEPDFo第四节误差椭圆