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1、 理想理想单色平面光波在晶体中的色平面光波在晶体中的传播播 (The transmission of ideal nonochrome planar lightwave in crystals)光在晶体中光在晶体中传播的解析法描述播的解析法描述 (analytic description of transmission of light in crystals)光光 在在 晶晶 体体 中中 传 播播 的的 几几 何何 法法 描描 述述 (Geometric description of transmission of light in crystals)光在晶体中光在晶体中传播的解析法描述播的
2、解析法描述 根据光的根据光的电磁理磁理论，光在晶体中的，光在晶体中的传播特性仍然由播特性仍然由麦麦克斯克斯韦方程方程组描述描述。1.麦克斯麦克斯韦方程方程组均匀、不均匀、不导电、非磁性、非磁性的各向异性介的各向异性介质(晶体晶体)中，中，若没有自由若没有自由电荷存在，麦克斯荷存在，麦克斯韦方程方程组为我我们只只讨论单色平面光波在晶体中的色平面光波在晶体中的传播特性播特性。1)单色平面光波在晶体中的色平面光波在晶体中的传播特性播特性(1)晶体中光晶体中光电磁波的磁波的结构构式中，式中，设晶体中晶体中传播的播的单色平面光波色平面光波为对于于这样一种光波，在一种光波，在进行公式运算行公式运算时，可以
3、以，可以以 -i 代替代替 ，以，以 (in/c)k 代代换算符算符 。经过运算，运算，(17)式式(20)式式变为(1)晶体中光晶体中光电磁波的磁波的结构构由由这些关系式可以看出：些关系式可以看出：(1)晶体中光晶体中光电磁波的磁波的结构构 D 垂直于垂直于 H 和和 k，H 垂直于垂直于 E 和和 k，所以，所以 H垂直于垂直于 E、D、k，因此，因此，E、D、k 在垂直于在垂直于 H 的的同一平面内同一平面内。波波阵面面波波阵面面kHDEsvpvr(1)晶体中光晶体中光电磁波的磁波的结构构由能流密度的定由能流密度的定义可可见，H 垂直于垂直于 E 和和 s(能流方向上的能流方向上的单位矢
4、量位矢量)，故故 E、D、s、k 同在一个平面上同在一个平面上。波波阵面面波波阵面面kHDEsvpvr(1)晶体中光晶体中光电磁波的磁波的结构构可以得到一个重要可以得到一个重要结论：在晶体中，光的：在晶体中，光的能量能量传播方播方向通常与光波法向通常与光波法线方向不同方向不同。波波阵面面波波阵面面kHDEsvpvr(2)能量密度能量密度根据根据电磁能量密度公式及磁能量密度公式及(23)式、式、(24)式，有式，有(2)能量密度能量密度总电磁能量密度磁能量密度为对于各向同性介于各向同性介质，因，因 s 与与 k 同方向，所以有同方向，所以有(3)相速度和光相速度和光线速度速度相速度相速度 vp
5、是光波是光波等相位面的等相位面的传播速度播速度，其表示式，其表示式为波波阵面面波波阵面面kHDEsvpvr(3)相速度和光相速度和光线速度速度光光线速度速度 vr 是是单色光波能量的色光波能量的传播速度播速度，其方向，其方向为能流密度能流密度(玻印亭矢量玻印亭矢量)的方向的方向 s，大小等于，大小等于单位位时间内流内流过垂直于能流方向上的一个垂直于能流方向上的一个单位面位面积的能量除以的能量除以能量密度，即能量密度，即(3)相速度和光相速度和光线速度速度由由(27)式式(30)式可以得到式可以得到单色平面光波的相速度是其光色平面光波的相速度是其光线速度在波速度在波阵面法面法线方方向上的投影。向
6、上的投影。ABABksvrvp(3)相速度和光相速度和光线速度速度在一般情况下，光在晶体中的在一般情况下，光在晶体中的相速度和光相速度和光线速度分离速度分离,其大小和方向均不相同。其大小和方向均不相同。对于各向同性介于各向同性介质，单色平色平面光波的相速度也即是光面光波的相速度也即是光线速度。速度。波波阵面面波波阵面面kHDEsvpvr2)光波在晶体中光波在晶体中传播持性的描述播持性的描述(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程由麦克斯由麦克斯韦方程方程组出出发，将，将(23)式和式和(24)式的式的H 消去消去,可以得到可以得到(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程再利用矢量恒等式再利
7、用矢量恒等式变换为(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程ksDDEE(kE)k(sD)s方括号方括号Ek(kE)实际上表示上表示 E 在垂直于在垂直于 k(即平行即平行于于D)方向上的分量，方向上的分量，记为 。(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程(32)式可以写成式可以写成ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程我我们还可以将可以将(32)式、式、(33)式写成另外一种形式。式写成另外一种形式。因因为所以所以(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程根据折射率的定根据折射率的定义可以在形式上定可以在形式上定义“光光线折射率折射率”(或射或射线折射率
8、、折射率、能流折射率能流折射率)nr：(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程由此可将由此可将(34)式表示式表示为ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程或或ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程ksDDEE(kE)k(sD)s(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程(32)、(33)和和(36)、(37)式式给出了沿某一出了沿某一k(s)方向方向传播播的光波的光波电场E(D)与晶体特性与晶体特性n(nr)的关系，的关系，因而是描述因而是描述晶体光学性晶体光学性质的基本方程的基本方程。(2)菲涅耳方程菲涅耳方程为了考察
9、晶体的光学特性，了考察晶体的光学特性，我我们选取主取主轴坐坐标系系，因，因而物而物质方程方程为(2)菲涅耳方程菲涅耳方程波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)光光线菲涅耳方程菲涅耳方程(光光线方程方程)ksDDEE(kE)k(sD)s波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)将基本方程将基本方程(32)式写成分量形式式写成分量形式并代入并代入 Di Ei 关系，关系，经过整理可得整理可得将将(39)式代入后，得到式代入后，得到波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)由于由于 D k0，所以有，所以有描述了在晶体中描述了在晶体中传播的光波法播的光波法线方向方向
10、 k 与与相相应的折的折射率射率n 和晶体的主介和晶体的主介电张量量 之之间的关系的关系。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)(40)式式还可表示可表示为另外一种形式根据另外一种形式根据 pc/n，可以，可以定定义三个描述晶体光学性三个描述晶体光学性质的的主速度主速度：波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)它它们实际上分上分别是光波是光波场沿三个主沿三个主轴方向方向 x1、x 2、x3 的的相速度相速度。由此可将。由此可将(40)式式变换为上式描述了在晶体中上式描述了在晶体中传播的光波法播的光波法线方向方向 k
11、与相与相应的的相速度相速度P 和晶体的主速度和晶体的主速度1、2、3 之之间的关系的关系。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)通常将通常将(40)式和式和(41)式称式称为波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程。由波法由波法线菲涅耳方程可菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，于一定的晶体，光的光的折射率折射率(或相速度或相速度)随光波方向随光波方向 k 变化化。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)这种沿种沿不同方向不同方向传播的光波具有不同的折射率播的光波具有不同的折射率(或相或相速度速度)的特性，即是晶体的光学各向异性。的特性，即是晶体的光学各向异性。它它们是是 n2 或或
12、 p2 的的二次方程二次方程，一般有两个独立的，一般有两个独立的实根根 n、n 或或 p、p，因而，因而，对应每一个波法每一个波法线方向方向 k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)在由在由(40)式、式、(41)式得到与每一个波法式得到与每一个波法线方向方向 k 相相应的折射率或相速度后，的折射率或相速度后，为了确定与波法了确定与波法线方向方向 k 相相应的光波的光波 D 和和 E 的振的振动方向方向，可将，可将(38)式展开式展开波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)将由将
13、由(40)式解出的两个折射率式解出的两个折射率值 n 和和 n 分分别代入代入(42)式，即可求出相式，即可求出相应的两的两组比比值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分分别对应的的 E 和和 E 方向。方向。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)由由物物质方程方程的分量关系，求出相的分量关系，求出相应的两的两组比比值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分分别对应的的 D 和和 D 的方向。的方向。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)由于相由于相应于于 E、E 及及D、D 比比值均均为实数数，所，所以以 E 和和 D 都是都
14、是线偏振偏振的。的。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)当当 Ex、Ey 二分量的相位差二分量的相位差 时，椭圆退化退化为一条直一条直线，称，称为线偏振光。此偏振光。此时有有进而可以而可以证明，相明，相应于每一个波法于每一个波法线方向方向 k 的两个的两个独立折射率独立折射率 n 和和 n 的的电位移矢量位移矢量 D 和和 D 相互垂直相互垂直。证明明过程如下：程如下：波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)上式方括号中的第一、三、五上式方括号中的第一、三、五项之和之和为零，第二、零，第二、四、六四、六项之和也之和也为零。零。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法
15、线方程方程)对应于晶体中每一于晶体中每一给定的波法定的波法线方向方向 k，只允，只允许有有两个特定振两个特定振动方向的方向的线偏振光偏振光传播，播，它它们的的D 矢量矢量相互垂直相互垂直，具有不同的折射率或相速度。，具有不同的折射率或相速度。kssDEDE因此，因此，波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)由于由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及四矢量共面，以及 E s，所以，所以这两个两个线偏振光有不同的光偏振光有不同的光线方向方向(s 和和 s )和光和光线速度速度(vr 和和 vr )。波法波法线菲涅耳方程菲涅耳方程(波法波法线方程方程)kssDEDE 光光线菲涅耳方程菲涅
16、耳方程(光光线方程方程)上面上面讨论的波法的波法线菲涅耳方程确定了在菲涅耳方程确定了在给定的某个波定的某个波法法线方向方向 k 上，上，特特许的两个的两个线偏振光的折射率和偏振偏振光的折射率和偏振态。光光线菲涅耳方程菲涅耳方程(光光线方程方程)类似地，也可以得到确定相似地，也可以得到确定相应于光于光线方向方向为 s 的两的两个特个特许线偏振光的光偏振光的光线速度和偏振速度和偏振态的方程的方程光光线菲涅菲涅耳耳方程方程。光光线菲涅耳方程菲涅耳方程(光光线方程方程)或或(43)式和式和(44)式描述了在晶体中式描述了在晶体中传播的播的光光线方向方向 s 与与相相应的光的光线折射折射 nr、光、光线
17、速度速度 r 和晶体的光学参量和晶体的光学参量 、主速度、主速度 1、2、3 之之间的关系。的关系。光光线菲涅耳方程菲涅耳方程(光光线方程方程)类似得出如下似得出如下结论：在：在给定的晶体中，相定的晶体中，相应于每一于每一个光个光线方向方向 s，只允，只允许有两个特定振有两个特定振动方向的方向的线偏振偏振光光传播，播，这两个光的两个光的 E 矢量相互垂直矢量相互垂直。skkDEDE 光光线菲涅耳方程菲涅耳方程(光光线方程方程)注意到注意到(32)式和式和(37)式在形式上的相似性，可以得到式在形式上的相似性，可以得到如下如下两行两行对应的的变量量光光线菲涅耳方程菲涅耳方程(光光线方程方程)将式中的各量用将式中的各量用(45)关系中另一行关系中另一行对应的量代替，就的量代替，就可以得到可以得到相相应的另一个有效的关系式的另一个有效的关系式。光光线菲涅耳方程菲涅耳方程(光光线方程方程)应用用这一一规则，(43)式和式和(44)式可以由式可以由(40)式和式和(41)式式直接通直接通过变量代量代换得出得出。