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1、上一页 下一页 返回首页 图是一种限止最少的数据结构，因此更接近现实，实际问题中很多数据关系都可以抽象成图，相关问题则可利用图的基本算法进行求解，很早就有专门研究图的是一门数学学科“图论”；其中的计算问题包括图的搜索、路径问题、连通性问题、可平面性检验、着色问题、网络优化等。图论中的著名算法有：求最小生成树的Kruskal算法、求最短路径的Dijkstra算法和Floyd算法、求二部图最大匹配（指派问题）的匈牙利算法、求一般图最大匹配的Edmonds“花”算法、求网络最大流和最小割的算法等。其中的一些算法在数据结构课程中已经学习过了。第1页/共155页1显式图与隐式图 在路径问题、连通性问题、
2、可平面性检验、着色问题和网络优化等问题中，图的结构是显式给出的，包括图中的顶点、边及权重，这类图我们称为显式图，也就是一般意义上的图。隐式图是由问题的初始结点，为了求解或求证问题，根据题目的规则（一般是由题目的意思隐含给出的），也就是生成子结点的约束条件，逐步扩展结点，直到得到目标结点为止的一个隐式的图。511 图及其术语第2页/共155页2.显式图的常用术语 如图5-1所示的，均为显式图(Graph)。图中的这些点(v1,v2,vn)被称为顶点(vertex)或结点，连接顶点的曲线或直线称为边(edge)。通常将这种由若干个顶点以及连接某些顶点的边所组成的图形称为图，顶点通常被称作是图中的数
3、据元素.上一页 下一页 返回首页图5-1图5-2第3页/共155页图带权图：j即图5-2给图5-1中各图的边上附加一个代表性数据(比如表示长度、流量或其他)，则称其为带权图。环(cycle)：图5-1中图中的v1点本身也有边相连，这种边称为环。有限图：顶点与边数均为有限的图，如图5-1中的三个图均属于有限图。简单图：没有环且每两个顶点间最多只有一条边相连的图，如图5-1中的图。邻接与关联：当（v1，v2）E，或E，即v1，v2间有边相连时，则称v1和v2是相邻的，它们互为邻接点（adjacent），同时称（v1，v2）或是与顶点v1、v2相关联的边。上一页 下一页 返回首页第4页/共155页顶
4、点的度数(degree)：从该顶点引出的边的条数，即与该顶点相关联的边的数目，简称度。入度（indegree）：有向图中把以顶点v为终点的边的条数称为是顶点v的入度。出度（outdegree）：有向图中把以顶点v为起点的边的条数称为是顶点v的出度。终端顶点：有向图中把出度为0的顶点称为终端顶点，如图5-1中图的v3。路径与路长：在图G=(V，E)中，如果存在由不同的边(vi0，vi1)，(vi1，vi2)，(vin-1，vin)或是，)组成的序列，则称顶点vi0，vin是连通的，顶点序列（vi0，vi1，vi2，vin）是从顶点vi0到顶点vin的一条道路。路长是道路上边的数目，vi0到vin
5、的这条道路上的路长为n。连通图：对于图中任意两个顶点vi、vjV，vi、vj之间有道路相连，则称该图为连通图。如5-1中的图。网络：带权的连通图，如图5-2所示。第5页/共155页3 3隐式图术语隐式图术语 1 1）子集树子集树 当要求解的问题需要是在n 个元素的子集中进行搜索，其搜索空间树被称作子集树（subset tree）。这n个元素都有在子集中或被选取记为1，不在子集中或被舍去记为0，这样搜索空间为：（0，0，0，0），（0，0，0，1），（0，0，1，0），（0，0，1，1），（1，1，1，1）。共2n 个状态。若表示为树形结构就是一棵有2n个叶结点的二叉树，对树中所有分支进行遍历的
6、算法都必须耗时O（2n）。上一页 下一页 返回首页第6页/共155页图5-3n=3的子集树上一页 下一页 返回首页第7页/共155页2）排列树）排列树 上一页 下一页 返回首页 当要求解的问题需要在n 元素的排列中搜索问题的解时，解空间树被称作排列树（permutation tree）。搜索空间为：（1，2，3，n-1，n）,（2，1，3，n-1，n）,（2，3，1，n-1，n）,（2，3，4，1，n-1，n）,（n，n-1，3，2，1）第一个元素有n种选择，第二个元素有n-1种选择，第三个元素有n-2种选择，第n个元素有1种选择，共计n!个状态。若表示为树形就是一个n度树，这样的树有n!个叶
7、结点，所以每一个遍历树中所有节点的算法都必须耗时O(n!)第8页/共155页上一页 下一页 返回首页图5-3n=4的部分子集树第9页/共155页4 4图的存储图的存储 1 1）邻接矩阵法邻接矩阵法 上一页 下一页 返回首页 邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵，设G=(V,E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵可定义为：Ai,j=1,若（Vi,Vj)或是E(G)中的边。Ai,j=0,若(Vi,Vj)或不是E(G)中的边。若G是网络，则邻接矩阵可定义为：Ai,j=Wij 若（Vi,Vj)或属于E(G);Ai,j=0或若（Vi,Vj）或不属于E(G);其中，Wij表示边上的权值，表示一个计算机允许
8、的，大于所有边上权值的数；第10页/共155页 上一页 下一页 返回首页第11页/共155页2 2）邻接表）邻接表 上一页 下一页 返回首页 例1 对于图G中的每个结点Vi,把所有邻接于Vi的顶点Vj链成一个单链表，这个单链表就称为顶点Vi的邻接表。邻接表由边表和顶点两部分组成。边表为一个单链表，每个表结点均有两个域：邻接点域adjvex，存放与vi相邻接的顶点vj的序号j。链 域 next，将 邻 接 表 的 所 有 表 结 点 链 在 一 起。顶 点 表 为 一 数 组，每 个 元 素 均 有 两 个 域：顶点域vertex，存放顶点vi的信息 指针域firstedge，vi的边表的头指针
9、。对于无向图来说，Vi的邻接表中每个表结点都对应于与Vi相关联的一条边，对于有向图来说，Vi的邻接表中每个表结点对应于Vi为始点射出的一条边。第12页/共155页图7.1 上一页 下一页 返回首页图5-5图5-1中（1）图的邻接表第13页/共155页 512 图搜索及其术语1穷举搜索与启发式搜索 穷举搜索是对图的最基本的搜索算法，是蛮力策略的一种表现形式。即不考虑给定问题的特有性质，按事先定好的顺序，依次运用规则，盲目搜索的方法。启发式搜索是利用一些启发信息，提前判断出先搜索哪些状态可能尽快找到问题的解或某些情况不可能取到最优解，从而可以提前舍弃对这些状态的尝试。即考虑给定问题的特有性质，选用
10、合适的细则，提高搜索的效率。上一页 下一页 返回首页第14页/共155页2相关概念和术语 上一页 下一页 返回首页 问题状态:树中的每一个结点确定所求解问题的一个问题状态。状态空间:由根结点到其它结点的所有路径（分支），就确定 了这个问题的状态空间。解状态:是这样一些问题状态S，对于这些问题状态，由根到S的那条路径确定了这解空间中的一个元组。答案状态:是这样的一些解状态S，对于这些解状态而言，由 根到S的这条路径确定了这问题的一个解状态空间树:解空间的树结构又称隐式图。第15页/共155页活结点：如果已生成一个结点而它的所有儿子结点还没有全部生成，则这个结点叫做活结点。E-结点：当前正在生成其
11、儿子结点的活结点叫E-结点（正 扩展的结点）。死结点：不再进一步扩展或者其儿子结点已全部生成的生成结点就是死结点。第16页/共155页521 算法框架 1算法的基本思路算法设计的基本步骤为：1）确定图的存储方式；2）图的遍历过程中的操作，其中包括为输出问题解而进行的存储操作；3）输出问题的结论。上一页 下一页 返回首页第17页/共155页2 2算法框架算法框架 上一页 下一页 返回首页 例1从广度优先搜索定义可以看出活结点的扩展是按先来先处理的原则进行的，所以在算法中要用“队”来存储每个E-结点扩展出的活结点。为了算法的简洁，抽象地定义：queue为队列类型，InitQueue()为队列初始化
12、函数，EnQueue(Q，k)为入队函数，QueueEmpty(Q)为判断队空函数，DeQueue(Q)为出队函数。实际应用中，用数组或链表实现队列。开辟数组visited记录visited结点的搜索情况。在算法框架中以输出结点值表示“访问”。第18页/共155页1 1）邻接表表示图的广度优先搜索算）邻接表表示图的广度优先搜索算法法 intvisitedn;/n 为结点个数/bfs(intk,graphhead)inti；queueQ；edgenode*p；/定义队列/InitQueue(Q)；/队列初始化/print(“visitvertex”，k)；/访问源点vk/visitedk=1；E
13、nQueue(Q，k)；/vk已访问，将其入队。/while(!QueueEmpty(Q)/队非空则执行/i=DeQueue(Q)；/vi出队为E-结点/p=headi.firstedge；/取vi的边表头指针/while(pnull)/扩展E-结点/if(visitedp-adjvex=0)/若vj未访问过/print(“visitvertex”，p-adjvex)；/访问vj/visitedp-adjvex=1；EnQueue(Q，p-adjvex)；/访问过的vj人队/p=p-next；/找vi的下一邻接点/第19页/共155页2）邻接矩阵表示的图的广度优先搜索算）邻接矩阵表示的图的广度
14、优先搜索算法法上一页 下一页 返回首页bfsm(intk,graphg100，intn)inti，j；CirQueueQ；InitQueue(Q)；print(visitvertex，k)；/访问源点vk/visitedk=1；EnQueue(Q，k)；while(notQueueEmpty(Q)i=DeQueue(Q)；/vi出队/for(j=0;jn;j+)/扩展结点/if(gij=1andvisitedj=0)print(visitvertex，j)；visitedj=1；EnQueue(Q，j)；/访问过的vj人队/第20页/共155页522 广度优先搜索的应用 【例1】已知若干个城市
15、的地图，求从一个城市到另一个城市的路径，要求路径中经过的城市最少 【例2】走迷宫问题 上一页 下一页 返回首页第21页/共155页【例1】已知若干个城市的地图，求从一个城市到另一个城市的路径，要求路径中经过的城市最少。算法设计：上一页 下一页 返回首页 例2 例3 图的广度优先搜索类似与树的层次遍历，逐层搜索正好可以尽快找到一个结点与另一个结点相对而言最直接的路径。第22页/共155页 如图如图5-6表示的是从城市表示的是从城市A到城市到城市H的的交通图。从图中可以看出，从城市交通图。从图中可以看出，从城市A到城市到城市H要经过若干个城市。现要找出一条经过城要经过若干个城市。现要找出一条经过城
16、市最少一条路线。市最少一条路线。上一页 下一页 返回首页 例2 例3图5-6表5-1图5-6的邻接距阵第23页/共155页具体过程如下：1）将城市A（编号1）入队，队首qh置为0、队尾qe置为1。2）将队首所指的城市所有可直通的城市入队(如果这个城市在队中出现过就不入队),然后将队首加1，得到新的队首城市。重复以上步骤，直到城市H入队为止。当搜到城市H时，搜索结束。3）输出最少城市线路。上一页 下一页 返回首页 例2 例3第24页/共155页数据结构设计：1）线性数组a作为活结点队的存储空间。2）队列的每个结点有两个成员：ai.city记录入队的城市，ai.pre记录该城市的前趋城市在队列中的
17、下标，这样通过ai.pre就可以倒推出最短线路。3）设置数组visited记录已搜索过的城市。上一页 下一页 返回首页 例2 例3第25页/共155页算法如下：search()qh=0;qe=1;sq1.city=1;sq1.pre=0;visited1=1;while(qhqe)/当队不空/qh=qh+1;/结点出队/for(i=1;i=n,i+)/扩展结点/if（jzsqqh.cityi=1 and visitedi=0）qe=qe+1;/结点入队/sqqe.city=i;sqqe.pre=qh;visitedqe=1;if(sqqe.city=8)out();print(“No aval
18、iable way.”);上一页 下一页 返回首页 例2 例3第26页/共155页算法分析：时间复杂度是O（n）；空间复杂性为（n2），包括图本身的存储空间和搜索时辅助空间“队”的存储空间。out();/输出路径/print(sqqe.city);while(sqqe.pre0)qe=sqqe.pre;print(-,sqqe.city);第27页/共155页【例2】走迷宫问题 上一页 下一页 返回首页 例1 例3 迷宫是许多小方格构成的矩形，在每个小方格中有的是墙（图中的“1”）有的是路（图中的“0”）。走迷宫就是从一个小方格沿上、下、左、右四个方向到邻近的方格，当然不能穿墙。设迷宫的入口是
19、在左上角(1,1)，出口是右下角(8,8)。根据给定的迷宫，找出一条从入口到出口的路径。第28页/共155页算法设计：上一页 下一页 返回首页 例1 例3 从入口开始广度优先搜索可到达的方格入队，再扩展 队首的方格，直到搜索到出口时算法结束。对于迷宫中任意一点A（Y，X），有四个搜索方向：向上A（Y-1，X）向下A（Y+1，X）向左A（Y，X-1）向右A（Y，X+1）当对应方格可行（值为0），就扩展为活结点。第29页/共155页数据结构设计：数据结构设计：上一页 下一页 返回首页 例1 例3 用数组做队的存储空间，队中结点有三个成员：行号、列号、前一个方格在队列中的下标。搜索过的方格不另外开辟
20、空间记录其访问的情况，而是用迷宫原有的存储空间置元素值为“-1”时，标识已经访问过该方格。为了构造循环体，用数组fx=1,-1,0,0、fy=0,0,-1,1 模拟上下左右搜索时的下标的变化过程。第30页/共155页intjz88=1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,1,0,0,0,1;structintcity,pre;sq100;intqh,qe,i,visited100;main()inti
21、,n=8;for(i=1;i=n,i=i+1)visitedi=0;search();第31页/共155页search()qh=0;qe=1;sq1.city=1;sq1.pre=0;visited1=1;while(qhqe)/当队不空/qh=qh+1;/结点出队/for(i=1;i=n,i=i+1)/扩展结点/if（jzsqqh.cityi=1andvisitedi=0）qe=qe+1;/结点入队/sqqe.city=i;sqqe.pre=qh;visitedqe=1;if(sqqe.city=8)out();print(“Noavaliableway.”);第32页/共155页out()
22、;/输出路径/print(sqqe.city);while(sqqe.pre0)qe=sqqe.pre;print(-,sqqe.city);算法分析：算法的时间复杂度并不复杂是O（n），算法的空间复杂性为O（n2），包括图本身的存储空间和搜索时辅助空间“队”的存储空间。上一页 下一页 返回首页 例1 例3第33页/共155页 深度优先遍历首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述
23、过程，直至图中所有顶点均已被访问为止。5.3 深度优先搜索第34页/共155页 深度搜索与广度搜索的相近，最终都要扩展一个结点的所有子结点.区别在于对扩展结点过程，深度搜索扩展的是E-结点的邻接结点中的一个，并将其作为新的E-结点继续扩展，当前E-结点仍为活结点，待搜索完其子结点后，回溯到该结点扩展它的其它未搜索的邻接结点。而广度搜索，则是扩展E-结点的所有邻接结点，E-结点就成为一个死结点。第35页/共155页 5 53 31 1 算法框架 1算法的基本思路 2算法框架第36页/共155页1算法的基本思路 算法设计的基本步骤为：1）确定图的存储方式；2）遍历过程中的操作，其中包括为输出问题解
24、而进行的存储操作；3）输出问题的结论。4）一般在回溯前的应该将结点状态恢复为原始状态，特别是在有多解需求的问题中。第37页/共155页2算法框架 1）用邻接表存储图的搜索算法 2）用邻接矩阵存储图的搜索算法第38页/共155页graph head100；dfs(int k)/head图的顶点数组/edgenode*ptr /ptr图的边表指针/visitedk=1;/*记录已遍历过*/print(“访问”,k);/*印出遍历顶点值*/ptr=headk.firstedge;/*顶点的第一个邻接点*/while(ptr NULL)/*遍历至链表尾*/if(visitedptr-vertex=0)
25、/*如过没遍历过*/dfs(ptr-vertex);/*递归遍历*/ptr=ptr-nextnode;/*下一个顶点*/算法分析：n图中有 n 个顶点，e 条边。扫描边的时间为O(e)。遍历图的时间复杂性为O(n+e)。返回 第39页/共155页graph g100100,int n；dfsm(int k)int j；print(“访问”,k);visitedk=1；for(j=1；j=n；j+)/依次搜索vk的邻接点 if(gkj=1 and visitedj=0)dfsm(g,j)/(vk，vj)E，且vj未访问过，故vj为新出发点 算法分析：查找每一个顶点的所有的边，所需时间为O(n)，
26、遍历图中所有的顶点所需的时间为O(n2)。返回第40页/共155页5 53 32 2 深度优先搜索的应用【例1】走迷宫问题：问题同522【例2】1、算法设计：深度优先搜索，就是一直向着可通行的下一个方格行进，直到搜索到出口就找到一个解。若行不通时，则返回上一个方格，继续搜索其它方向。第41页/共155页2、数据结构设计：我们还是用迷宫本身的存储空间除了记录走过的信息，还要标识是否可行：mazeij=3 标识走过的方格；mazeij=2 标识走入死胡同的方格，这样，最后存储为“3”的方格为可行的方格。而当一个方格四个方向都搜索完还没有走到出口，说明该方格或无路可走或只能走入了“死胡同”。第42页
27、/共155页3、算法int maze88=0,0,0,0,0,0,0,0,0,11,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0;fx4=1,-1,0,0,fy4=0,0,-1,1;int i,j,k,total;main()int total=0;maze11=3;/入口坐标设置已走标志/search(1,1);print(“Total is”,total);/统计总步数/第43页/共155页search(int i,int j
28、)int k,newi,newj;for(k=1;k=4;k+)/搜索可达的方格/if(check(i,j,k)=1)newi=i+fxk;newj=j+fyk;mazenewinewj=3;/来到新位置后,设置已走过标志/if(newi=8 and newj=8)/到出口则输出,否则下一步递归/Out();else search(newi,newj);mazeij=2;/某一方格只能走入死胡同/第44页/共155页Out()int i,j;for(i=1;i=8;i+)print(“换行符”);for(j=1;j=8;j+)if（mazeij=3）print(“V”);total+;/统计总
29、步数/else print(“*”);第45页/共155页check(int i,int j,int k)int flag=1;i=i+fxk;j=j+fyk;if(i8 or j8)/是否在迷宫内/flag=0;else if(mazeij0)/是否可行/flag=0;return(flag);第46页/共155页4、算法说明：1）和广度优先算法一样每个方格有四个方向可以进行搜索，这样一点结点（方格）就可多次成为“活结点”，而在广度优先算法一点结点（方格）就可一次成为“活结点”，一出队就成了死结点。2）用广度优先算法，搜索出的是一条最短的路径，而用深度优先搜索则只能找出一条可行的路径，而不能
30、保证是最短的路径。3）在空间效率上二者相近。都需要辅助空间。第47页/共155页【例2】有如图1所示的七巧板，试编写一源程序如下，使用至多四种不同颜色对七巧板进行涂色(每块涂一种颜色)，要求相邻区域的颜色互不相同，打印输出所有可能的涂色方案。第48页/共155页1、问题分析:为了让算法能识别不同区域间的相邻关 系，我们把七巧板上每一个区域看成一个顶点若两个区域相邻，则相应的顶点间用一条边相连，这样该问题就转化为图一个图的搜索问题了。第49页/共155页2、算法设计:按顺序分别对号、号、.、号区域进行试探性涂色，用、号代表种颜色。则涂色过程如下：1）对某一区域涂上与其相邻区域不同的颜色。2）若使
31、用种颜色进行涂色均不能满足要求，则回溯一步，更改前一区域的颜色。3）转步骤继续涂色，直到全部区域全部涂色为止，输出结果。已经有研究证明，对任意的平面图至少存在一种四色涂色法。第50页/共155页3、数据采用的存储结构：邻接矩阵存储 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0第51页/共155页4、算法如下:int data77,n,color7,total;main()int i,j;for(i=1;i=n;i+)for(j=1;j=n;j+)
32、input(dataij);for(j=1;j7)output();else for(i=1;i=4;i+)colors=i;if（colorsame(s)=0）try(s+1);第53页/共155页output()int i,;print(换行符，serial number：,total);for i:=1 to n do print(colori);total=total+1;第54页/共155页colorsame(int s)/判断相邻点是否同色/int i,flag;flag=0;for(i=1;iDFN(3)=3。同理，结点2、5也是关结点。第64页/共155页 按后根次序访问深度优
33、先生成树的结点，可以很容易地算出L（U）。于是，为了确定图G的关结点,必须既完成对G的深度优先检索，产生G的深度优先生成树T，又要按后根次序访问树T的结点。第65页/共155页算法ART计算DFN和L的算法如下：int DFNn，Ln，num，n ART（u，v）/u是深度优先检索的开始结点。在深度优先生成树中，u若有父亲，那末v就是它的父亲。假设数组DFN是全程量，并将其初始化为0。num是全程变量，被初始化为 1。n是 G的结点数第66页/共155页算法如下：intDFNn，Ln，num=1，n；TRY（u，v）DFNu=num；Lu=num；num=num1；while（每个邻接于u的结
34、点w）if（DFN（w）=0）TRY（w，u）；if(L（u）L（w）L（u）=L（w）；elseif（wv）if(L（u）DFN（w）)L（u）=DFN（w）；第67页/共155页算法说明：算法ART实现了对图G的深度优先检索；在检索期间，对每个新访问的结点赋予深度优先数；同时对这棵树中每个结点的L（i）值也进行计算。如果连通图G有n个结点e条边，且G由邻接表表示，那末ART的计算时间为O（ne）。识别关结点的总时间不超过O（ne）。第68页/共155页3非重连通图的加边策略 G=(V,E)是G的最大重连通子图，指的是G中再没有这样的重连通子图G=(V,E)存在，使得VV且EE。最大重连通子
35、图称为重连通分图第69页/共155页图5-10 图5-6所示的重连通分图两个重连通分图至多有一个公共结点，且这个结点就是割点。因而可以推出任何一条边不可能同时出现在两个不同的重连通分图中（因为这需要两个公共结点）。选取两个重连通分图中不同的结点连结为边，则生成的新图为重连通的。多个重连通分图的情况依此类推。第70页/共155页 使用这个方法将图5-6变成重连通图，需要对应于关结点3增加边（4，10）和（10，9）；对应关结点2增加边（1，5）；对应关结点5增加（6，7），结果如图5-11。图5-11 (图5-6改进为重连通图）第71页/共155页54 回 溯 法回溯算法实际是一个类似枚举的搜索
36、尝试方法，它的主题思想是在搜索尝试中找问题的解，当不满足求解条件就”回溯”返回，尝试别的路径。回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的一种算法，其采用了一种“走不通就掉头”的思想，作为其控制结构。第72页/共155页541 认识回溯法【例1】八皇后问题模型建立 要在8*8的国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃掉。规则：皇后能吃掉同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。如图5-12为一种方案，求所有的解。第73页/共155页 模型建立 不妨设八个皇后为xi，她们分别在第i行（i=1，2，3，4，8），这样问题的解空间，就是一个八个皇后所在列的序号，为n元一维向量（x1,x2,x3,x4,
37、x5,x6,x7,x8）,搜索空间是1xi8（i=1，2，3，4，8），共88个状态。约束条件是八个（1,x1）,(2,x2),(3,x3),(4,x4),(5,x5),(6,x6),(7,x7),(8,x8)不在同一行、同一列和同一对角线上。第74页/共155页 虽然问题共有88个状态，但算法不会真正地搜索这么多的状态，因为前面已经说明，回溯法采用的是“走不通就掉头”的策略，而形如(1,1,x3,x4,x5,x6,x7,x8）的状态共有86个，由于1，2号皇后在同一列不满足约束条件，回溯后这86个状态是不会搜索的。第75页/共155页 算法设计1：加约束条件的枚举算法 最简单的算法就是通过八
38、重循环模拟搜索空间中的88个状态，按深度优先思想，从第一个皇后从第一列开始搜索，每前进一步检查是否满足约束条件,不满足时，用continue语句回溯，满足满足约束条件，开始下一层循环，直到找出问题的解。第76页/共155页 约束条件不在同一列的表达式为xi xj；而在同一主对角线上时xi-i=xj-j,在同一负对角线上时xi+i=xj+j，因此，不在同一对角线上的约束条件表示为abs(xi-xj)abs(i-j)（abs（）取绝对值）。第77页/共155页算法1：queen1（）int a9;for(a1=1;a1=8;a1+)for(a2=1;a2=8;a2+)if（check(a,2)=0
39、）continue;for(a3=1;a3=8;a3+)if（check(a,3)=0）continue;for(a4=1;a4=8;a4+)if （check(a,4)=0）continue;for(a5=1;a5=8;a5+)if（check(a,5)=0）continue;for(a6=1;a6=8;a6+)if （check(a,6)=0）continue;第78页/共155页 for(a7=1;a7=8;a7+)if（check(a,7)=0）continue;for(a8=1;a8=8;a8+)if（check(a,8)=0）continue;else for(i=1;i=8;i+
40、)print(ai);第79页/共155页check(int a,int n)int i;for(i=1;i=n-1;i+)if(abs(ai-an)=abs(i-n)or(ai=an)return(0);return(1);第80页/共155页算法分析1：若将算法中循环嵌套间的检查是否满足约束条件的:“if （check(a,i)=0）continue;i=2,3,4,5,6,7“语句都去掉，只保留最后一个检查语句：“if （check(a,8)=0）continue;”第81页/共155页相应地check（）函数修改成：check*(a,n)int i,j;for(i=2;i=n;i+)f
41、or(j=1;j0)ak=ak+1;while(ak=n)and(check(k)=0)/搜索第k个皇后位置/ak=ak+1;if（ak=n）if(k=n)output(n);/找到一组解/else k=k+1;继续为第k+1个皇后找到位置/ak=0;/注意下一个皇后一定要从头开始搜索/else k=k-1;/回溯/第85页/共155页check(int k)int i;for(i=1;i=k-1;i+)if(abs(ai-ak)=abs(i-k)or (ai=ak)return(0);return(1);output()int i;for(i=1;i=n;i+)print(ai);第86页/
42、共155页 算法设计3：递归算法 这种方式也可以解决任意的n皇后问题。这里我们用第三章323“利用数组记录状态信息”的技巧，用三个数组c,b,d分别记录棋盘上的n个列、n个主对角线和n个负对角线的占用情况。第87页/共155页 以四阶棋盘为例，如图5-13，共有2n-1=7个主对角线，对应地也有7个负对角线。图5-13 四皇后棋盘示意图第88页/共155页 用i，j分别表示皇后所在的行列，同一主对角线上的行列下标的差一样，若用表达式i-j编号，则范围为-n+1n-1，所以我们用表达式i-j+n对主对角线编号，范围就是12n-1。同样地，负对角线上行列下标的和一样，用表达式i+j编号，则范围为2
43、2n。第89页/共155页算法3：int a20,b20,c40,d40;int n,t，i,j,k;/t记录解的个数/queen3（）int i,input(n);for(i=1;i=n;i+)bi=0;ci=0;cn+i=0;di=0;dn+i=0;try（1）;第90页/共155页try(i:integer)int j;for(j=1;j=n;j+)/第i个皇后有n种可能位置/if(bj=0)and(ci+j=0)and(di-j+n=0)ai=j;/摆放皇后/bj=1;/占领第j列/ci+j=1;di-j+n=1;/占领两个对角线/if(i8)try(i+1);/n个皇后没有摆完，递归
44、摆放下一皇后/else output();/完成任务，打印结果/bj=0;ci+j=0;di-j+n=0;/回溯/第91页/共155页output()t=t+1;print(t,);for(k=1;k0(有路可走)and(未达到目标)/还未回溯到头/if(in)/正在处理第i个元素/搜索到一个解，输出;else ai第一个可能的值；while(ai在不满足约束条件 且 在在搜索空间内)ai下一个可能的值；if(ai在搜索空间内)标识占用的资源;i=i+1;/扩展下一个结点/else 清理所占的状态空间；i=i-1;/回溯/第100页/共155页3）递归算法框架 一般情况下用递归函数来实现回溯法
45、比较简单，其中i为搜索深度。int an;try(int i)if（in）输出结果;else for（j=下界;jn or xm or x1 or y1)print(x,y error!);return;for(i=1;i=;i+)for(j=1;j=;j+)aij=0;axy=1;find(x,y,2);if (count=0)print(“No answer!”);else print(“count=!”,count);第106页/共155页find(int y,int x,int dep)int i,xx,yy;for i=1 to 8 do /加上方向增量,形成新的坐标/xx=x+fx
46、i;yy=y+fyi;if(check(xx,yy)=1)/判断新坐标是否出界,是否已走过?/axx,yy=dep;/走向新的坐标/if(dep=n*m)output();else find(xx,yy,dep+1);/从新坐标出发,递归下一层/axx,yy=0;/回溯,恢复未走标志/第107页/共155页 output（）count=count+1;print(“换行符”);print(count=,count);for y=1 to n do print(“换行符”);for x=1 to m do print(ay,x:3);第108页/共155页 【例3】素数环问题 把从1到20这20
47、个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。第109页/共155页1、算法设计 尝试搜索从1开始，每个空位有220共19种可能，约束条件就是填进去的数满足：与前面的数不相同；与前面相邻数据的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。第110页/共155页2、算法 main（）int a20,k;for(k=1;k=20;k+)ak=0;a1=1;try(2);第111页/共155页 try(int i)int k for(k=2;k=20;k+)if(check1(k,i)=1 and check3(k,i)=1)ai=k;if（i=20）output();else try(
48、i+1);ai=0;第112页/共155页check1(int j,int i)int k;for(k=1;k=i-1;k+)if(ak=j)return(0);return(1);check2(int x)int k,n;n=sqrt(x);for(k=2;k=n;k+)if(x mod k=0)return(0);return(1);第113页/共155页check3(int j,int i)if(i20)return(check2(j+ai-1);else return(check2(j+ai-1)and check2(j+a1);output()int k;for(k=1;k=r+1，
49、若ri+arin）print(“Input n,r error!”);else a0=r;comb(n,r);/调用递归过程/第118页/共155页comb2(int n,int r,int a)int i,ri;ri=1;a1=n;while(a1r-1)if（rir）/没有搜索到底/if（ri+arir）ari+1=ari-1;ri=ri+1;else ri=ri-1;ari=ari-1;/回溯/else for(j=1;j=r;j+)print(aj);print(“换行符”);/输出组合数/if（ar=1）ri=ri-1;ari=ari-1;/回溯/else ari=ari-1;/搜索
50、到下一个数/第119页/共155页 5 54 44 4 应用2 2 排列及排列树的回溯搜索 【例5】输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列 第120页/共155页 1、算法设计 n的全排列是一组n元一维向量:（x1，x2，x3，xn），搜索空间是：1xin i=1，2，3，n,约束条件很简单，xi互不相同。这里我们采用第三章“323 利用数组记录状态信息”的技巧，设置n个元素的数组d，其中的n个元素用来记录数据1n的使用情况，已使用置1，未使用置0。第121页/共155页2、算法 main（）int j,n,print(Input n=);input(n);for(j=1;j=r;j+