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1、1 1、如图、如图,在底面是菱形的四棱锥在底面是菱形的四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,ABC=60,ABC=600 0,PA,PA面面ABCD,PA=AC=aABCD,PA=AC=a，PB=PD=PB=PD=,点点E E在在PDPD上上,且且PE:ED=2:1,PE:ED=2:1,在棱在棱PCPC上是否存在上是否存在一点一点F,F,使使BF/BF/平面平面AEC?AEC?证明你的结论。证明你的结论。FEPADCB第1页/共28页解：建立如图所示的空间直角坐标系解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz。FEPADCB第2页/共28页FEPADCB小结：若用传统的几何证明的方法求这类探索性小
2、结：若用传统的几何证明的方法求这类探索性问题，需要猜测、寻找适合条件的点，然后证明，问题，需要猜测、寻找适合条件的点，然后证明，思维上造成困难。而用空间向量只要设出变量思维上造成困难。而用空间向量只要设出变量 ，就可利用向量运算解决很久以来的学生的难点，就可利用向量运算解决很久以来的学生的难点和困惑。和困惑。第3页/共28页2 2、如图、如图,已知四棱锥已知四棱锥S-ABCDS-ABCD的底面是边长为的底面是边长为4 4的正方形，的正方形，S S在底面上的射影在底面上的射影O O 落在正方形落在正方形ABCDABCD内，且内，且O O 到到ABAB、ADAD的距离分别为的距离分别为2 2，1
3、1（1 1）求证：）求证：ABABSCSC是定值是定值（2 2）已知）已知P P是是SCSC的中点，且的中点，且SO=3SO=3，问在棱，问在棱SASA上是否存在上是否存在一点一点Q Q，使异面直线，使异面直线OPOP与与BQBQ所所成角为成角为90900 0？若不存在，说明？若不存在，说明理由，若存在，求出理由，若存在，求出AQAQ的长。的长。OSDCABQP第4页/共28页（1 1）证明：在）证明：在SDCSDC内，作内，作SECDSECD交交CDCD于于E E，连接，连接OEOE，因为，因为SOSO平面平面ABCDABCD，所以所以SOCDSOCDCDCD平面平面SOESOE，CD OE
4、CD OE，所以所以OE/ADOE/AD，所以，所以DE=1DE=1，CE=3CE=3ABSC=12（2）以以O O为坐标原点为坐标原点,以平行于以平行于ADAD的直线为的直线为x x 轴轴,平行于平行于ABAB的直线为的直线为y y 轴轴,OSOS为为z z轴，建立轴，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系O-xyzO-xyz。OSDCABQPE第5页/共28页OSDCABQP则则A A（2 2，-1-1，0 0）B B（2 2，3 3，0 0）C C（-2-2，3 3，0 0），），S S（0 0，0 0，3 3），），P P（-1-1，3/23/2，3/23/2）设设Q Q
5、（x x，y y，z z），则存在），则存在t t，使，使AQ=tASAQ=tAS（X-2X-2，Y+1Y+1，Z Z）=t=t（-2-2，1 1，3 3）得：得：P P（-2t+2-2t+2，t-1t-1，3t3t）OPBQ=8t-6=0t=3/4t=3/4，Q Q（1/21/2，-1/4-1/4，9/49/4）AQ=3/4|AS|=314/4AQ=3/4|AS|=314/4第6页/共28页3 3、如图、如图,在正四棱柱在正四棱柱ABCD-AABCD-AB BC CD D中中,P,P是侧棱是侧棱AAAA上任意一点，上任意一点，（1 1）不论）不论P P在侧棱上任何位置，是否总有在侧棱上任何位
6、置，是否总有BDCPBDCP？说明你的理由；？说明你的理由；DCA BBACDP（2 2）若）若CCCC=AB=AB，是否存，是否存在在这样的点这样的点P P，使得异面直线，使得异面直线CPCP与与ABAB所成的角比异面直所成的角比异面直线线ACAC与与B BP P所成的角大？所成的角大？并并说明理由。说明理由。第7页/共28页解解:建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,A(0,0,0),P(O,O,Z),B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),P(O,O,Z),B(1,0,0),D(0,1,0)PC=(1,1,-z),BD=(-1,1,0),PCBD=0第8页/共28页（3 3
7、）若）若CCCC=2AB=2AB，则当点，则当点P P在侧棱在侧棱AAAA上何处时，上何处时，CPCP在在平面平面B BACAC上的射影是上的射影是 B B CA CA的平分线？的平分线？DCA BBACDP第9页/共28页4 4、如图、如图,直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-AB BC C中中,C,CC=CB=CA=2,ACCB,DC=CB=CA=2,ACCB,D、E E分别为棱分别为棱C CC C、B BC C的中点，（的中点，（1 1）求点）求点B B到平面到平面A AC CCACA的的距离；（距离；（2 2）求二面角）求二面角B-AB-AD-AD-A的大小；（的大小；（3 3）在线段在
8、线段ACAC上是否存在一点上是否存在一点F F，使得，使得EFEF平面平面A ABDBD？若存在，确定其位置并证明结论；若不？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由。存在，说明理由。EACABCBFD第10页/共28页5 5、如图、如图,在长方体在长方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中中,AA,AA=AD=1,AB1,=AD=1,AB1,点点E E为棱为棱ABAB上的动点上的动点,有一只小有一只小蚂蚁从点蚂蚁从点A A沿长方体表面爬到点沿长方体表面爬到点C C,所爬的最短路所爬的最短路程为程为 ,(1)(1)求求ABAB的长度的长度;(2)(2)在线段在线段ABAB上是否
9、存在上是否存在点点E,E,使得二面角使得二面角D D-EC-D-EC-D的大小为的大小为45450 0?若存在若存在,确定确定E E点位置点位置;若不存在若不存在,请说请说明理由。明理由。DDCABACBE第11页/共28页6 6、如图所示，四棱锥、如图所示，四棱锥S-ABCDS-ABCD的底的底面是矩形，面是矩形，AB=aAB=a，AD=2AD=2，SA=1SA=1，且，且SASA底面底面ABCDABCD，若边，若边BCBC上存在异于上存在异于B B、C C的一点的一点P P，使得，使得PSPDPSPD，（，（1 1）求求a a的最大值；（的最大值；（2 2）当）当a a取得最大取得最大值时
10、，求异面直线值时，求异面直线APAP与与SDSD所成角的所成角的大小；（大小；（3 3）当）当a a取得最大值时，求取得最大值时，求平面平面SCDSCD的一个单位法向量的一个单位法向量n n0 0及点及点P P到平面到平面SCDSCD的距离。的距离。PSDCABa=1第12页/共28页ABCDABCD7 7如图，在棱长为如图，在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-ABCD-A AB BC CD D中，中，P P是侧棱是侧棱CCCC上的一点，上的一点，CP=mCP=m。（。（）试确定）试确定m m，使直线，使直线APAP与平面与平面BDDBDDB B所成角的正切值为所成角的正切值为 ；（；（）
11、在）在线段线段A AC C上是否存在一个定点上是否存在一个定点Q Q，使得对任，使得对任意的意的m m，D DQ Q在平面在平面APDAPD上的射影垂直于上的射影垂直于APAP，并证明你的结论。，并证明你的结论。第13页/共28页 图形的展开与翻折问题展开与翻折问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.在历年高考中以图形的展开与折叠作为命题对象时常出现,因此,关注图形的展开与折叠问题是非常必要的.把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是翻折问题。第14页/共28页A AB BC CD DE EF FA AE EF FP(B,C,D)P(
12、B,C,D)例题分析:第15页/共28页A AE EF FP(B,C,D)P(B,C,D)M第16页/共28页 (1)先先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，(2)将不变的条件集中到立方体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立几问题。小结：求解翻折问题的基本方法：第17页/共28页A AB BC CD DA AB BC CD DH H第18页/共28页A AB BC CD DHA AB BC CD D第19页/共28页A AB BC CD DA AB BC CD DH第20页/共28页ADBCABCDXYZ第21页/共28页分析:(1)建系,以O为坐
13、标原点,OA、OB、OC所在直线为X轴、Y轴、Z轴，则有A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,)从而xABCDyz第22页/共28页第23页/共28页 1.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BMED；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DMBN以上四个命题中正确的序号是 ()(A)、(B)、(C)、(D)、D强化练习:第24页/共28页 2.2.如图，ABCDABCD是正方形，E E是ABAB的中点，如将DAEDAE和CBECBE沿虚线DEDE和CECE折起，使AEAE和BEBE重合,记A A与B B重合后的点为P P，则面PCDPCD与面ECDECD
14、所成的二面角为_._.ABCDE30ECDPF(A、B)第25页/共28页小结:1.要解决好折叠和展开这类问题需要较强的空间想象能力，并明确以下两点：(1)折叠前、后的平面图与立体图中各个元素间大小和位置关系，哪些发生变化，哪些不变 一般情况下，原图中的一部分仍在同一个半平面内，与组成这部分图形的元素保持着原有的数量及位置关系，抓住这些不变量和不变关系是解决折叠问题的关键 (2).根据不变量及有关定理、公式进行推理或计算 2.2.本节课主要培养学生的空间想象力,体现化归的数学思想.第26页/共28页 练习：如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B1、C1.将AB1C1沿B1C1折起到A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M.求（1）二面角A1-B1C1-M的大小；（2）异面直线A1B1与CC1所成角的大小.第27页/共28页谢谢您的观看！第28页/共28页