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1、第 6 章 自适应滤波器简介自适应滤波器简介 本章主要内容 最优滤波最优滤波 维纳滤波器维纳滤波器 卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器 自适应滤波自适应滤波 自适应滤波原理自适应滤波原理 最速下降法最速下降法 最小均方算法最小均方算法 自适应滤波器的应用自适应滤波器的应用最优滤波对滤波器有以下两条约束对滤波器有以下两条约束（1）滤波器是线性的，以使对滤波器的数学分析更为简便；（2）滤波器是离散时间的，这将使得滤波器可以采用数字硬件或软件来实现；滤波器规格的最终细节决定于滤波器规格的最终细节决定于（1）滤波器的脉冲响应是有限的还是无限的；（2）优化统计准则类型；最优滤波线性离散时间滤波器线性离散时间滤波器
2、 设计一个线性离散时间滤波器的系数 ，使在给定的输入样本 下滤波器的输出 为期望响应 的估计，并且能够使得误差 的均方值 为最小。典型的优化准则典型的优化准则 估计误差的均方值（估计误差的均方值（估计误差的均方值（估计误差的均方值（MMSEMMSE）估计误差绝对值的期望值估计误差绝对值的期望值估计误差绝对值的期望值估计误差绝对值的期望值 估计误差绝对值的三次或更高次幂的期望值估计误差绝对值的三次或更高次幂的期望值估计误差绝对值的三次或更高次幂的期望值估计误差绝对值的三次或更高次幂的期望值最优滤波正交性原理正交性原理 设线性离散时间滤波器 的期望响应为，则滤波器的估计误差为 为使滤波器为最优，则
3、在MMSE准则下，定义代价函数 为使最小，定义梯度算子将应用于最优滤波为了使最小，梯度向量的所有元素必须同时等于零，即根据的定义，可得其中可得最优滤波由此表明代价函数最小化的充分必要条件是估计误差与输入正交正交性原理正交性原理正交性原理正交性原理另外，由于可得上式说明当滤波器工作在最优条件时，由滤波器输出定义的期望响应的估计 与响应的估计误差 是彼此正交的。正交性原理的推论正交性原理的推论正交性原理的推论正交性原理的推论 维纳滤波器横向滤波器横向滤波器 设横向滤波器的抽头权系数 则在输入信号为 时，输出为由于是标量，所以 维纳滤波器展开展开定义 且有和，可得到均方误差函数 是滤波器权系数 的二
4、次方程，由此形成一个具有唯一最小值的多维超抛物曲面，称为误差性能曲面。维纳滤波器为了使滤波器工作在最优状态，滤波器抽头的权系数选取应使 取最小值由得由令，可得Wiener-Hopf Wiener-Hopf 方程方程方程方程 设 存在逆矩阵，得最优滤波系数（维纳解）卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器具有如下的特点：卡尔曼滤波器具有如下的特点：q 其数学公式用状态空间概念描述q 卡尔曼滤波是一个递推计算维纳解的过程 如一离散动态系统可由描述状态向量的状态方程和描述观测向量的观测如一离散动态系统可由描述状态向量的状态方程和描述观测向量的观测方程共同表示：方程共同表示：状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵状态转
5、移矩阵 观测矩阵观测矩阵观测矩阵观测矩阵 卡尔曼滤波问题可以叙述为：利用观测数据向量卡尔曼滤波问题可以叙述为：利用观测数据向量 对对 求状态向量求状态向量 各个分量的最小二乘估计。各个分量的最小二乘估计。一阶递归预测器一阶递归预测器 卡尔曼滤波器标量卡尔曼预测器 状态方程 则 时刻的预测均方误差为 标量卡尔曼滤波器的预测公式表示为卡尔曼滤波器将 代入 ，并对 和 求偏导数，并令其等于零，得 经推导，得到 从而得到标量卡尔曼预测器的定义 一阶标量卡尔曼预测器一阶标量卡尔曼预测器 自适应滤波器自适应滤波器中误差信号自适应滤波器中误差信号 被送被送入一个称为入一个称为“自适应算法自适应算法”单元，单
6、元，自适应算法根据自适应算法根据 自动地调整滤自动地调整滤波系数，使波系数，使 的估计值的估计值 与所期与所期望的响应望的响应 相等。相等。自适应滤波器与普通滤波器的不同之处在于其滤波系数是随着外部环境自适应滤波器与普通滤波器的不同之处在于其滤波系数是随着外部环境的变化而变化的，滤波系数经过一段时间的自动调整，收敛到最优值，从而的变化而变化的，滤波系数经过一段时间的自动调整，收敛到最优值，从而达到最优滤波的效果。达到最优滤波的效果。自适应滤波器线性自适应滤波器的递推算法分为 随机梯度方法随机梯度方法 随机梯度方法采用横向滤波器结构来实现自适应线性滤波器随机梯度方法采用横向滤波器结构来实现自适应
7、线性滤波器 由均方误差的梯度向量等于零得到最优的权系数向量由均方误差的梯度向量等于零得到最优的权系数向量 最小二乘估计方法最小二乘估计方法 最小二乘估计方法是以最小加权误差平方和为优化目标优化准则优化准则 自适应滤波器最速下降法 最速下降法是实现最佳搜索的一种优化技术，它利用均方误差的梯度信息来分析自适应滤波器性能和追踪最优滤波状态。也就是说，最速下降法是在梯度向量的负方向上接连地调整滤波系数，即滤波系数在误差性能曲面上以下降速度最快的路径移动，最终到达均方误差的最小点。维纳滤波的最速下降法数学表达式 自适应滤波器最小均方（LMS）算法 最小均方算法的计算步骤如下：最小均方算法的计算步骤如下：
8、（1）由当前时刻 的输入信号向量 、期望的响应 以及滤波器权系数向量估计 值 ，计算误差信号（2）计算滤波器权系数向量的更新估计值：（3）将 增加1，返回步骤（1），重复上述步骤，一直到达稳态为止。自适应滤波器的应用自适应建模自适应建模 建模目的是估计未知系统的模型的参数，使得自适应建模自适应建模 信号同时加到系统和自适应滤波器上，的响应作为所期望的信号。的输出与之间的误差反馈给，根据自适应算法动态调整其参数，逐渐变小。使得自校正调节器自校正调节器 自适应回声抵消自适应回声抵消 自适应滤波器的应用电话网络框图电话网络框图 自适应回声抵消器自适应回声抵消器 自适应滤波器的应用自适应反向建模自适应反向建模 自适应信道均衡器自适应信道均衡器 自适应滤波器起到反向建模的作用，即它的理想传递函数为，中复原出符号数据 从而可以从自适应滤波器的应用自适应线性预测自适应线性预测 自适应预测器自适应预测器线性预测的基本任务，就是根据已知的前 次观测值来预测当前时刻的信号 的估计值自适应滤波器的应用自适应干扰抵消自适应干扰抵消自适应干扰抵消器自适应干扰抵消器 干扰抵消指的是将混有干扰的信号中的干扰信号消除，所依据的原理是得到干扰信号的一个估计，然后用信号减去该估计，即得到所期望的信号。自适应滤波器的参数 受误差 控制，调整 使得滤波器的输出 趋于等于中的 ，于是 作为 与 之差就近似等于信号